Темы для Mathematical Exploration

by Max Beketov
Темы для Mathematical Exploration

Я собрал здесь список идей для тем, о которых можно написать mathematical exploration, и ссылки на материалы, которыми можно руководствоваться. Иногда в качестве ресурсов я буду прикладывать книжки в формате .djvu – скорее всего, у вас на компьютере нет программы, чтобы открыть такой формат – программу можно скачать здесь для Windows и здесь для Mac OS. Я установил ее в прошлом году на компьютеры в библиотеке, можно читать там, если что.

Ресурсы (книги, брошюры) я буду складывать в папочку на Яндекс.Диске.

Прошлогодние работы ребят я сложил в другую папочку там же. В прошлом году я очень внимательно помогал ребятам с эссе, и результаты у всех хорошие (конкретно за каждое эссе я результатов не знаю, знаю только итоговые оценки по математике). Рекомендую посмотреть на работы ребят и понять, что от вас ожидается.

Уже выбранные темы:

  1. Настя Гредасова – математика в игре Resistance (это такая вариация на игру Мафия). Тема очень интересная, затрагивает идею равновесия в теории игр и такое понятие теории вероятностей, как likelihood (правдоподобие). Немного выходит за рамки нашей программы, но вполне посильно и может получиться очень хорошее exploration. Материала не очень много, потому что идея для темы родилась из вот этого недавнего поста.
  2. Кирилл Ячменев – задача выбора оптимального состава футбольной команды с точки зрения теории игр. Очень хорошая тема, довольно несложная, можно написать очень хорошее эссе. По пути разбираются понятие мат. ожидания и немного – задачи оптимизации. Материал – параграф 7.1 книги "Математика и спорт", которую я загрузил на наш Яндекс.Диск.
  3. Саша Кост – оценка точности стрелка по набору наблюдений (результатов стрельбы). Очень интересная тема, через которую можно лучше разобраться в особенностях нормального (Гауссова) распределения (оно будет у нас чуть позже в программе) и теореме Байеса. Будем следовать статье Колмогорова.
  4. Аня Лысенко – кинетика сложных (в несколько шагов) химических реакций. Тема в духе "Математика в Химии" – про то, как химические реакции протекают со временем. Математика здесь про производные и дифференциальные уравнения :) Будем ориентироваться на §6 брошюры "Математика в Химии". А вот хорошее видео по теме.

Идеи тем:

1) Задача византийских генералов. Тем, кто интересуется компьютерной безопасностью и криптографией, предлагаю такую тему. Она тесно связана с модной нынче технологией блокчейн :) Почитайте статью на Вики. Посмотрите вот это замечательное видео:

И вот это видео тоже посмотрите:

2) Логистическая кривая. Это хорошая тема для интересующихся биологией. Представьте, что в чашку с питательными веществами поселили небольшую популяцию бактерий. Бактерии кушают и делятся, и, казалось бы, рост популяции неограниченно растет по экспоненте – но на самом деле это не так, потому что питательного вещества не бесконечно много – говорят, что экспоненциальный рост бактерий выходит на насыщение. Вот хорошая статья на эту тему на Khan Academy. А вот хорошее видео с объяснением:

3) Мыльная пленка вместо компьютера. Представьте себе такую ситуацию: в городе, где живет мальчик Петя, выпала куча снега, а Пете надо идти в школу на уроки и потом еще зайти в магазин. Снегоуборочная машина не торопится, и Пете с товарищами (товарищи живут в том же доме, что и Петя) нужно прорыть дорожки в снегу. Сделать это нужно так, чтобы дорожки соединяли дом, школу и магазин, и при этом суммарная длина их была минимальной. Подумайте, как это сделать, если дом, школа и магазин – это три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой!

Это называется задача Штейнера, и для большого числа точек это очень сложная задача (даже на мощном компьютере ее становится сложно решить для огромного города). Но можно решить ее, если у вас есть мыльный раствор и несложное устройство:

За этим стоит интересный и глубокий раздел математики, называется вариационное исчисление, но для mathematical exploration очень глубоко погружаться не нужно :) Дополнительно очень хорошо посмотреть вот эту книгу.

4) Задача о цепной линии / Задача о брахистохроне. Эта тема очень близка к предыдущей. Задача о цепной линии – такая: представьте себе цепную изгородь, цепь висит между столбиками изгороди – что это за кривая, по которой она провисает? Посмотрите вот этот этюд. А вот ссылка на Вики.

Задача о брахистохроне немного поинтереснее: представьте, что есть гора снега, из которой ребята хотят сделать горку. Если не менять точку, где горка начинается и точку, где она заканчивается – какую горку сделать, чтобы из начала в конец попадать за наименьшее возможное время? Посмотрите видео:

А вот тут VSauce вместе с Адамом Сэвиджем из Mythbusters вам про нее расскажет и проведет эксперимент:

5) Цепные дроби. Мы умеем работать с обычными дробями (и даже иногда сталкивались с двухэтажными дробями). Все рациональные числа даются дробями. Но мы знаем, что есть и иррациональные числа – например, √2. Возьмите калькулятор и посчитайте на нем √2. А теперь посчитайте вот такое число: 665857/470832. Очень близко к √2, правда?

Такое хорошее рациональное приближение к √2 можно получить, используя вот такой факт:

такие бесконечные дроби называются цепными – это очень интересная тема, в которой много замечательных теорем :) Астрономы древности хорошо знали цепные дроби – они использовали их в своих вычислениях. Полезно читать вот эту книжку. А вот видео:

October 29, 2018
by Max Beketov