55. Числовая характеристика случайных величин. Математическое ожидание, моменты и центральные моменты.

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X, принимающей конечное число значений x_i с вероятностями p_i, называется сумма:
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f(x):
Дисперсия. Дисперсией случайной величины  Х называется число:

Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х относительно ее среднего значения М(Х). 

Среднее квадратичное отклонение:

Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния. 

Моменты распределения. Понятия математического ожидания и дисперсии являются частными случаями более общего понятия для числовых характеристик случайных величин – моментов распределения. Моменты распределения случайной величины вводятся как математические ожидания некоторых простейших функций от случайной величины.

Так, моментом порядка k относительно точки х0 называется математическое ожидание М(Х  х0)^k.Моменты относительно начала координат х = 0 называются начальными моментамии обозначаются:

Начальный момент первого порядка есть центр распределения рассматриваемой случайной величины:

Моменты относительно центра распределения х m называются центральными моментами и обозначаются:

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю:

Центральные моменты не зависят от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на постоянное значение С ее центр распределения сдвигается на то же значение С, а отклонение от центра не меняется:  Х – m = (Х – С) – (m – С).

Теперь очевидно, что дисперсия  – это центральный момент второго порядка: