May 12, 2019

18. Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Моменты и центральные моменты. Пример.

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайные величины, как правило, обозначают через X, Y, Z, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, x_1, x_2, x_3.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, которая может принимать конечное число изолированных друг о друга значений, т.е. если возможные значения этой величины можно пересчитать.
Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, все возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток числовой прямой.

Закон распределения дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина характеризуется значениями, которые она может принимать, и вероятностями, с которыми эти значения принимаются.

Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и соответствующими им вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Если известны все возможные значения x_1, x_2,..., x_n случайной величины Х и вероятности p_1, p_2,..., p_n появления этих значений, то считают, что закон распределения ДСВ Х известен и он может быть записан в виде таблицы:

Закон распределения ДСВ можно изобразить графически, если в прямоугольной системе координат изобразить точки (x_1, p_1), (x_2, p_2),..., (x_n, p_n) и соединить их отрезками прямых линий. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Математическое ожидание— это число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины.

Пусть известен закон распределения ДСВ Х:

Математическим ожиданием ДСВ Х называется сумма произведений каждого значения этой величины на соответствующую вероятность:

Математическое ожидание случайной величины приближённо равно среднему арифметическому всех её значений. Поэтому в практических задачах часто за математическое ожидание принимают среднее значение этой случайной величины.

Дисперсия случайной величины — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

В практических задачах для вычисления дисперсии используют равносильную формулу

Дисперсия характеризует разброс случайной величины около её математического ожидания и, как видно из формулы, измеряется в квадратных единицах по сравнению с единицами самой случайной величины. Поэтому для согласования единиц измерения разброса случайной величины с единицами измерения самой величины вводится среднее квадратическое отклонение.

Моменты и центральные моменты

Начальным моментом k-го порядкаслучайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой величины.

Для дискретной случайной величины


Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины X от ее математического ожидания M(X):
X^0 = X - M(X)

Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.


Центральным моментом k-го порядка случайной величины ξ называется математическое ожидание случайной величины

Для дискретной случайной величины центральные моменты вычисляют по формуле

Пример: