May 12, 2019

49. Условная вероятность. Формула полной вероятности, формула Байеса.

Условная вероятность.

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события B при дополнительном условии, что произошло событие А.

Условной вероятностью P_A(B) = P(B|A) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности:

Формула полной вероятности, формула Байеса.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий B_1, B_2, ..., B_n, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B_1, B_2, ..., B_n, вероятности появления которых P(B_1), P(B_2), ..., P(B_N). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B_1, B_2, ..., B_n, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности:

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез:

По теореме умножения вероятностей

откуда:

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез P(B_i | A) называются апостериорными вероятностями, тогда как P(B_i) - априорными вероятностями.