Ответы на вопросы

by @thedollarsign
Ответы на вопросы

1.     Прямая задача НГ заключается в получение проекций ГО и неразрывно связана с операцией проецирования.

 Обратная задача НГ заключается в восстановление ГО по его проекции.

 Суть операций проецирования заключается в проведение через каждую точку фигуры проецирующей прямой и определении проекции точки как точки пересечения проецирующей прямой с ПП , а проекции фигуры как совокупности проекций всех ее точек.

 Чертеж, позволяющий решать обратную задачу НГ, называют обратимым.

 

2.  Двухкартинный комплексный чертеж точки – плоскость, содержащая две проекции точки на две взаимно перпендикулярные ПП.

   Для перехода к комплексному чертежу нужно повернуть плоскость П1  вокруг                             оси Х1=2  до совмещения с плоскостью П2    

     Прямая линия на КЧ, являющаяся отображением на нем линии пересечения ПП,               называется осью проекций.

     Прямая, соединяющая точки А1 и А2 и перпендикулярная оси проекции, называется линией связи.

 

3.   Суть этого способа заключается в том, что дополнительно к ПП П1 и П2 вводится новая ПП П3, проецируя на которую точечное пространство получают новое поле проекций, а проецируя ГО – получают его новую проекцию. На новую ПП накладывают только одно ограничение: она должна быть перпендикулярна хотя бы одной из ПП П1 или П2.

 

4. ПП, перпендикулярная одновременно обеим ПП П1 и П2, называется профильной ПП. 

     Для перехода к трехкартинному КЧ П1 и П2  разворачивают вокруг оси Х до  совмещения их с плоскостью чертежа, а затем П3 вокруг оси Z  до совпадения с П1 и П2.  

 

5.   Прямая общего положения – это прямая не параллельная и не перпендикулярная П1 и П2.

  Прямая уровня- это прямая, параллельная ПП. Прямую, параллельную П1, называют горизонтальной прямой и обозначают h; прямую, параллельную П2, называют фронтальной прямой и обозначают f; прямую, параллельную профильной ПП, называют профильной прямой и обозначают  p.

 

7.   Проецирующие прямые- это прямые, перпендикулярные ПП. Прямую, перпендикулярную П1 , называют горизонтально проецирующей прямой , перпендикулярную П2 – фронтально проецирующей прямой, а перпендикулярную П3 – профильно проецирующей прямой.

 

9. Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.

 

10. Если прямые пересекаются то точки пересечения их соответствующих проекций лежат на одной линии связи.

Если прямые параллельны , то параллельны их соответствующие проекции.

Если не выполняются эти условия , то прямые скрещиваются.

 

11. Теорема: прямой угол проецируется на ПП в прямой угол, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой ПП, а вторая не перпендикулярна ей. 

 

12. Плоскость обычно определяют тремя точками – ∑(А,В,D) , пересекающимися прямыми –∑(a∩b), параллельными прямыми - ∑(a║b), прямой и точкой - ∑(a,A), любой плоской фигурой.

 

13.  К плоскостям частного положения относятся проецирующие плоскости и плоскости уровня.

       Проецирующей плоскостью называется плоскость , перпендикулярная ПП. Если плоскость перпендикулярна плоскости П1 , то ее называют горизонтально проецирующей, а если перпендикулярна П2 – фронтально проецирующей.

       Плоскости уровня- это плоскости, параллельные ПП. Плоскость , параллельную П1 , называют горизонтальной, а параллельную П2 – фронтальной.

 

 14.   Признак параллельности прямой и плоскости:  прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой этой плоскости.

       Признак параллельности двух плоскостей:  две плоскости параллельны , если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой.

 

15.  Всякая задача, в условии или в процессе решения которой встречается численная характеристика, называется метрической задачей.

          1ОМЗ - задача на перпендикулярность прямой и плоскости.

         1ОМЗ имеет две возможные постановки:

               - построить прямую линию, проходящую через данную точку   перпендикулярно заданной плоскости;

               - построить плоскость , проходящую через данную точку перпендикулярно заданной прямой.  

      

16. Признак перпендикулярности прямой и плоскости для КЧ:

                - для первой постановки: чтобы построить прямую , перпендикулярную плоскости Г , в плоскости Г строят горизонталь и фронталь f   и проводят l1┴h1 и l2┴f2 ;

                - для второй постановки: плоскость Г, перпендикулярную прямой l1задают горизонталью и фронталью f , проводя h1┴l1 и   f2┴l2 .

   

17. 2ОМЗ- задача на определение натурального вида отрезка прямой или расстояния между двумя точками 

2ОМЗ решается по правилу прямоугольного треугольника.

Правило прямоугольного треугольника:   длина отрезка равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника , одним из катетов которого яв-ся проекция отрезка ПП , а вторым – разность расстояний концов отрезка до этой ПП.

 

18.    Правило прямоугольного треугольника:   длина отрезка равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника , одним из катетов которого яв-ся проекция отрезка ПП , а вторым – разность расстояний концов отрезка до этой ПП.

 

19.   Главные линии плоскости- горизонталь, фронталь, линия ската.

     Горизонталь проецируется на П2 в прямую параллельную оси , а на П1 в прямую общего положения.

   Фронталь проецируется на П1 в прямую параллельную оси, а на П2 в прямую общего положения.

  Линия ската- линия перпендикулярная горизонтали.

 

20. Решение любой задачи с применением преобразования чертежа в конечном итоге сводится к решению 4 задач или их комбинации. Эти задачи называют основными задачами преобразования чертежа.

1ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ , в результате которого прямая общего положения стала бы прямой уровня.

2ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ , при котором прямая уровня становится проецирующей прямой..

3ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ , при котором плоскость общего положения становится проецирующей..

4ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ , при котором проецирующая плоскость становится плоскостью уровня.


21. Кинематический способ образования поверхности – это движение в пространстве линии , перемещающейся по какому-либо закону.

Линия, перемещающаяся в пространстве и образующая при этом поверхность , называется образующей поверхности, а законом ее перемещения – законом образования поверхности.

Направляющая линия – линия , которую пересекают все образующие.

22. Проанализируем структуру формулы на примере формулы Ф{l (k,T)(li∩k; liÉT)}конической поверхности общего вида. Перед формулой пишется прописная буква греческого алфавита (Ф) обозначающая поверхность; после первой фигурной скобки строчной буквой латинского алфавита записывают образующую поверхности (l); в первой паре скобок перечисляются элементы определителя поверхности (k и T); во второй паре скобок приводится закон образования поверхности ( li∩k ; liÉT).

23. Критерий заданности поверхности: поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно однозначно ответить на вопрос о принадлежности точки поверхности и имеется возможность построить любую точку поверхности.

ОПЗ – задача на принадлежность точки поверхности .

Условие принадлежности точки поверхности:  чтобы задать точку на поверхности, следует сначала задать на поверхности линию , а затем на линии взять любую точку.

24. Элементарный чертеж поверхности – это самый простейший чертежповерхности , на котором может быть решена любая позиционная и метическая задача , с ней связанная.

Основным чертежом поверхности называют элементарный чертеж поверхности , дополненный изображениями контурных линий.

 

25. К контурным линиям поверхности относят линии видимости данной поверхности; линии обреза поверхности; ребра многогранных поверхностей ;

Крайние контурные лини – контурные линии или их части , все точки которых обладают следующим свойством : проецирующая прямая, проведенная через точку линии, не имеет больше общих точек с поверхностью на всем своем протяжении (искл. – конкурирующие контурные линии , принадлежащие проецирующей поверхности).

Проекцию крайних контурных линий называют очерком поверхности. 

26. Расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка перпендикуляра , опущенного из точки на эту плоскость.

Алгоритм: 1. nÉМ, n^∑

          2. К=n∩∑

          3. | M,K |

27. Ф{l (a , T)(li∩a , liÉT)}.

Если а – кривая линия , то это формула собственно конической поверхности; если а – ломаная линия , то это формула пирамидальной поверхности.

28. Ф{ l (a , l)(li∩a , li║l)}

Если а – кривая линия , не лежащая в одной плоскости с l , то это формула цилиндричекой поверхности; если а – ломаная линия , не лежащая в одной плоскости с l , или прямая линия , то это формула призматической поверхности или плоскости соответственно.

29. Линейчатыми поверхностями с плоскостью параллелизма называют поверхности, у которых образующие пересекают две направляющие линии и , при этом, остаются параллельными некоторой плоскости, называемой плоскостью параллелизма.

Ф{l(a,b,∑)(li∩a, li∩b, li ║∑)}

Если а и b – скрещивающиеся прямые , то поверхности называют гмпербалическим параболоидом или косой плоскостью ; если одна из направляющих а и b - прямая линия , а вторая - кривая , то поверхность называют коноидом; если обе направляющие а и b – кривые линии, то поверхность называют цилиндроидом.

30. Циклическими поверхностями называют поверхности, которые могут быть образованы перемещением окружности переменного или постоянного радиуса.

 Циклические поверхности с тремя направляющими и плоскостью параллелизма:

Ф{m(b,d,q,∑)(mi∩ b , mi∩d , mi∩q , miÉ∑i║∑)}


31. Торовые поверхности относятся к циклическим поверхностям , которые образуются путем вращения окружности или ее дуги.

  1. Открытый тор Ф{m(m,j;m,j∑)(mi =mOj)}- окружностьmиjось не имеют общей точки.
  2. Закрытый тор с одной конической точкой Ф{m(m,j;m,j∑;mj)(mi=mOj)}- окружностьmкасается с осьюj.
  3. Пересекающийся тор с двумя коническими точками Ф{m(m,j;m,j∑;m∩j)(mi=mOj)}- окружностьmпересекается с осьюj.













29.  ГМТ удаленных от одной точки- сфера с центром в данной точке и радиусом равным указанному расстоянию.

     ГМТ удаленных от прямой- цилиндрическая поверхность вращения осью которой яв-ся данная прямая , а радиусом- указанное расстояние.

     ГМТ удаленных от плоскости- плоскость параллельная данной плоскости и удаленная от нее на указанное расстояние.

 

30.   ГМТ равноудаленных от сторон треугольника- это прямя проходящая через центр вписанной окружности .

     ГМТ Равноудаленных от вершин треугольника- прямая проходящая через центр окружности описанной около треугольника.

 

34.  Угол между прямой а и плоскостью ∑ измеряется линейчатым углом φ между  прямой а и ее проекцией а∑  на плоскость ∑.

 

35. Угол между плоскостями ∑ и Г измеряется углом φ между прямыми q=∑∩Ω и  g=Г∩Ω , где Ω плоскость ^∑ и Г.

 

39.  Прямую, параллельную П1, называют горизонтальной прямой и обозначают h; прямую, параллельную П2, называют фронтальной прямой и обозначают f.

 


 

41. Проанализируем структуру формулы на примере формулы Ф{l (k,T)(li∩k; liÉT)}конической поверхности общего вида. Перед формулой пишется прописная буква греческого алфавита (Ф) обозначающая поверхность; после первой фигурной скобки строчной буквой латинского алфавита записывают образующую поверхности (l); в первой паре скобок перечисляются элементы определителя поверхности (k и T); во второй паре скобок приводится закон образования поверхности ( li∩k ; liÉT).

 

42. Критерий заданности поверхности: поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно однозначно ответить на вопрос о принадлежности точки поверхности и имеется возможность построить любую точку поверхности.

ОПЗ – задача на принадлежность точки поверхности .

Условие принадлежности точки поверхности:  чтобы задать точку на поверхности, следует сначала задать на поверхности линию , а затем на линии взять любую точку.

 

43. Элементарный чертеж поверхности – это самый простейший чертежповерхности , на котором может быть решена любая позиционная и метическая задача , с ней связанная.

Основным чертежом поверхности называют элементарный чертеж поверхности , дополненный изображениями контурных линий.

 

44. К контурным линиям поверхности относят линии видимости данной поверхности; линии обреза поверхности; ребра многогранных поверхностей ; линии пересечения поверхностей и т.д.

Крайние контурные лини – контурные линии или их части , все точки которых обладают следующим свойством : проецирующая прямая, проведенная через точку линии, не имеет больше общих точек с поверхностью на всем своем протяжении (искл. – конкурирующие контурные линии , принадлежащие проецирующей поверхности).

Проекцию крайних контурных линий называют очерком поверхности.

 

45. Линейчатые поверхности строятся с помощью образующих прямых.          

 

46. Ф{l (a , T)(li∩a , liÉT)}.

Если а – кривая линия , то это формула собственно конической поверхности; если а – ломаная линия , то это формула пирамидальной поверхности.

47. Ф{ l (a , l)(li∩a , li║l)}

Если а – кривая линия , не лежащая в одной плоскости с l , то это формула цилиндричекой поверхности; если а – ломаная линия , не лежащая в одной плоскости с l , или прямая линия , то это формула призматической поверхности или плоскости соответственно.

 

48. Линейчатыми поверхностями с плоскостью параллелизма называют поверхности, у которых образующие пересекают две направляющие линии и , при этом, остаются параллельными некоторой плоскости, называемой плоскостью параллелизма.

Ф{l(a,b,∑)(li∩a, li∩b, li ║∑)}

Если а и b – скрещивающиеся прямые , то поверхности называют гмпербалическим параболоидом или косой плоскостью ; если одна из направляющих а и b - прямая линия , а вторая - кривая , то поверхность называют коноидом; если обе направляющие а и b – кривые линии, то поверхность называют цилиндроидом.

 

 

51. Формула линейчатой поверхности с тремя направляющими:

Ф{ l(a,b,d)(li∩a , li∩b , li∩d)}.

 

 Винтовой называют поверхность, образованную таким перемещением образующей , когда хотя бы одна точка ее совершает винтовое движение.

Формула геликоида:

Ф{t(j,k,φ)(ti∩k, ti∩j; | ti ^ j |= φ)}

Если угол φ наклона образующей к оси равен 90 , то геликоид называют прямым,а если φ≠90, то наклонным.

 

Циклическими поверхностями называют поверхности, которые могут быть образованы перемещением окружности переменного или постоянного радиуса.

 Циклические поверхности с тремя направляющими и плоскостью параллелизма:

Ф{m(b,d,q,∑)(mi∩ b , mi∩d , mi∩q , miÉ∑i║∑)}

         Каналовые поверхности:

        Ф{m(b,d)(mi∩b, miÉ∑i ^ d, Cmi É d)}

Если угол φ наклона образующей к оси равен 90 , то геликоид называют прямым,а если φ≠90, тонаклонным.

  1. Циклическими поверхностями называют поверхности, которые могут быть образованы перемещением окружности переменного или постоянного радиуса.

Циклические поверхности с тремя направляющими и плоскостью параллелизма:

Ф{m(b,d,q,∑)(mi∩b,mi∩d,mi∩q,mi∑i║∑)}

Каналовые поверхности:

Ф{m(b,d)(mi∩b,mi∑id,Cmid)}

  1. Все поверхности вращения имеют единый закон образования , согласно которому поверхность вращения есть результат вращения образующей линии вокруг неподвижной оси . Поэтому для всех поверхностей вращения может быть записана общая формула:

Ф{b(b,j)(bi = bOj)}.

При вращение линии вокруг оси каждая ее точка вращается вокруг оси по окружностям называемым параллелями.

Параллель наименьшего радиуса называется горлом, а наибольшего –экватором.

Линии поверхности лежащие в плоскости проходящей через ось вращения называются меридианами.

  1. Формула линейчатых поверхностей вращения имеет вид:

Ф{t(t,j)(ti=tOj)}, гдеt– прямая линия. Еслиt∩j, то это формула конической поверхности вращения , еслиt║j– цилиндрической поверхности вращения , еслиtскрещивается сj– однополостного гиперболоида вращения.

  1. Торовые поверхности относятся к циклическим поверхностям , которые образуются путем вращения окружности или ее дуги.
  2. Открытый тор Ф{m(m,j;m,j∑)(mi =mOj)}- окружностьmиjось не имеют общей точки.
  3. Закрытый тор с одной конической точкой Ф{m(m,j;m,j∑;mj)(mi=mOj)}- окружностьmкасается с осьюj.
  4. Пересекающийся тор с двумя коническими точками Ф{m(m,j;m,j∑;m∩j)(mi=mOj)}- окружностьmпересекается с осьюj.
  5. Сфера образуется вращением полуокружности вокруг оси.

Формула: Ω{n(n,j;n∩j)(ni=nOj)}

  1. Поверхность считается проецирующей, если она проецируется в линию. Это могут быть цилиндрические поверхности, цилиндрические поверхности вращения и призматические поверхности.

Проецирующая поверхность проецируется на ПП, которой перпендикулярны ее образующие, в линию , называемую основной проекцией этой поверхности.

  1. Из множества позиционных задач выделяют две главные : 1ГПЗ – задача на пересечение линии и поверхности ; 2ГПЗ – задача на пересечение двух поверхностей.
  2. 1ГПЗ-1 и 2ГПЗ-1 решают по алгоритму: обе проекции точки пересечения (1ГПЗ) или линии пересечения (2ГПЗ) непосредственно заданы на чертеже; они принадлежат основным проекциям пересекающихся ГО ; решение задачи сводится к простановке соответствующих обозначений.
  3. Согласно алгоритму решения ГПЗ для 2-го случая известной яв-ся только одна проекция точки или линии пересечения, принадлежащая основной проекции проецирующего ГО , а вторая проекция точки или линии пересечения ищется из условия принадлежности их непроецирующему ГО.
  4. ПА решения 1ГПЗ в случае , когда пересекаются непроецирующая линия qи поверхностьФ:
  5. Линия qзаключается во вспомогательную поверхность:q
  6. Строится линия пересечения вспомогательной поверхностии заданной Ф :g=∩Ф.
  7. Искомая точка К есть точка пересечения построенной линии gи заданнойq:K=g∩q.
  8. ПА построения линии kпересечения двух непроецирующих поверхностей:
  9. Задается вспомогательная секущая поверхность i.
  10. Строятся линии пересечения gi=i∩Ф и еi=i∩Ω.
  11. Находятся точка Кik:Ki=gi∩ei.

Теорема Монжа: порядок поверхности определяется максимально возможным числом точек пересечения поверхности прямой линией.

  1. Поверхности вращения , имеющие общую ось вращения , называются соосными поверхностями.

Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям- параллелям.

  1. Частным случаем пересечения соосных поверхностей вращения яв-ся случай , когда центр сферы расположен на оси какой-то поверхности вращения, в результате чего сфера становится сосной с этой поверхностью вращения и пересекает ее по окружностям . Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения лежит в основе способа секущих концентрическмх сфер.(сфер, имеющих общий центр)
  2. Линия пересечения двух циклических поверхностей , имеющих общую плоскость симметрии , в которой расположены линии их центров, может быть построена способом эксцентрических секущих сфер(Сфер, проведенных из различных центров).
  3. При пересечении конической поверхности 2-го порядка плоскостью получится эллипс.
January 6, 2019
by @thedollarsign