1. Факториал 𝑛!

Факториал числа 𝑛, обозначаемый 𝑛!, — это произведение всех натуральных чисел от 1 до 𝑛:

𝑛! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × 𝑛

2. Двойной факториал 𝑛!!

Двойной факториал
𝑛!! — это произведение всех чисел, меньших или равных n, с одинаковой чётностью. Если
𝑛 — нечётное, то он равен произведению нечётных чисел от 𝑛 до 1:

𝑛!! = 𝑛 × (𝑛−2) × (𝑛−4) × ⋯ ×1

Если 𝑛 — чётное, то 𝑛!! равен произведению чётных чисел от 𝑛 до 2:

𝑛!! = 𝑛 × (𝑛−2) × (𝑛−4) × ⋯ × 2

3. Гиперфакториал 𝐻(𝑛)

Гиперфакториал 𝐻(𝑛) для натурального числа 𝑛 определяется как произведение чисел, каждое из которых возводится в степень, равную его значению:

𝐻(𝑛) = 1¹ × 2² × 3³ × ⋯ × 𝑛ⁿ

4. Суперфакториал Слоумена 𝑆𝑓(𝑛)

Суперфакториал Слоумена 𝑆𝑓(𝑛) определяется как произведение всех факториалов от 1 до 𝑛:

𝑆𝑓(𝑛) = 1! × 2! × 3! × ⋯ × 𝑛!

5. Суперфакториал Пиковера 𝑛$

Суперфакториал Пиковера - очень быстрорастущая функция. Он включает в себя возведение в степень (тетрацию):

𝑛$ = 𝑛! ↑↑ 𝑛!

6. Экспоненциальный факториал 𝑛$

Экспоненциальный факториал — это многократное возведение числа в степень 𝑛 - 1, затем 𝑛 - 2 и так до 1:

𝑛$ = 𝑛 ↑ (𝑛 - 1) ↑ (𝑛 - 2) ... 1

7. Фибоначчиал 𝐹!

Фибоначчиал числа 𝑛 определяется как произведение чисел Фибоначчи от 1 до 𝐹𝑛

𝐹! (𝑛) = 𝐹1 × 𝐹2 × ⋯ × 𝐹𝑛

8. Праймориал 𝑛#

Праймориал — это произведение всех простых чисел до 𝑛 - го простого числа включительно.

𝑛# = 2 × 3 × ... × 𝑛

9. Субфакториал !𝑛

Субфакториал, обозначаемый !𝑛, используется для подсчёта числа перестановок, в которых ни один элемент не остаётся на своём месте.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:
10. Возрастающий факториал (𝑥)𝑛

Возрастающий факториал используется для вычисления коэффициентов в комбинаторных задачах:

(x)𝑛 = x × (x+1) × (x+2) × … × (x+𝑛−1)

11. Убывающий факториал (𝑥)ⁿ

Убывающий факториал особенно полезен для представления различных комбинаторных выражений, таких как перестановки:

(x)n = x × (x−1) × (x−2) × ⋯ × (x−n+1)

Гиперболоид — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, который образован вращением гиперболы вокруг одной из её осей.

Гиперболический параболоид - это поверхность, которая имеет форму гиперболы в одном направлении и параболы в другом. Его уравнение может быть записано в виде: z = x^2 - y^2.

Эллиптический параболоид - это поверхность, которая имеет форму эллипса в одном направлении и параболы в другом. Уравнение этой поверхности имеет вид: z = x^2 + y^2.

Двуполостный гиперболоид - это поверхность, которая имеет две разделяющиеся ветви. Его уравнение имеет форму x^2/a^2 - y^2/b^2 = z^2/c^2.

Однополостный гиперболоид - это поверхность, образованная вращением гиперболы вокруг своей оси длинной. Его уравнение может быть записано как x^2/a^2 - y^2/b^2 = z^2/c^2.