Неевклидова геометрия – это любая геометрия, более по-научному – геометрическая система, которая не является элементарной(евклидовой) геометрией. Традиционно, под неевклидовой геометрией подразумевают геометрию сферическую(отрицание 2-го постулата Евклида) или геометрию Лобачевского(отрицание 5-го постулата Евклида)

Про елементарную(евклидову) геометрию:

В знаменитых «Началах» Евклида было описано 5 аксиом(постулатов), на которых базируется вся евклидова геометрия (за исключением некоторых случаев, к примеру, теорема Паша).

Постулаты Евклида:

Допустим, …

1.  Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию.

2.  И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать по прямой.

3.  И что из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг.

4.  И что все прямые углы равны между собой.

5.  И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну
сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встре­тятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых.

Конечно же, эти первые 5 аксиом не совсем были не совсем строго сформулированы, но их было достаточно для того, чтобы один математик понял другого. Четкая система аксиом впервые была предложена только математиком Давидом Гильбертом в 1899 году.

Теперь перейдем к геометрии неевклидовой.

Сегодня мы рассмотрим геометрию Лобачевского, или «гиперболическую» геометрию.

В ней отрицается пятый постулат Евклида, а именно: если есть прямая r, к ней с точки В опущен перпендикуляр BC, то есть такая прямая s, которая пересекает ВС в точке В под острым углом, при этом ни в одной точке не пересекая прямую r. (см. рисунок)

Из этого следует, много интересных фактов: например, что сумма углов треугольника в гиперболической геометрии меньше 180 градусов, и многое другое.

Немного истории:

Как ни странно, первым «неевклидовым» геометром можно считать самого Евклида. Ведь первые 28 предложений(теорем) он вывел не используя «неочевидную» пятую аксиому. До 1820 года многие математики в мире пытались доказать аксиому, заменить ее на более очевидную, но ближе всех был Дж. Саккери, который доказывал теорему с помощью так называемого четырехугольника Саккери (см.рисунок)

Свойства данного четырехугольника: ВС=DЕ, углы при вершинах С и Е – прямые, а углы при вершинах В и D всегда равны.

Саккери рассмотрел 3 гипотезы: когда углы В и D являются острыми, прямыми и тупыми. Позже он отверг гипотезу о тупых углах, тем самым лишив себя возможности открыть эллиптическую геометрию, а потом и гипотезу об острых, перед этим открыв много интересных фактов и теорем, которые используются в современной геометрии Лобачевского.

К. Гаусс, один из величайших математиков, вклад которого в математику невозможно переоценить, заметил, что отрицая пятый постулат, не ожидая какого-то противоречия, можно построить совершенно новую геометрию. В своих письмах Гаусс писал, что смог абстрагироваться от тогдашних «геометрических» традиций, тем самым развив «антиевклидову» геометрию. Но, опасаясь насмешек о ненужности данных иследований, не опубликовал свои идеи.

Честь открытия гиперболической геометрии досталась двоим математикам: Я. Бойяи и Н. И. Лобачевскому, которые выпустили свои научные работы приблизительно в одно и то же время (примерно 1830-е гг.), даже не подозревая о существовании друг друга. Лобачевский даже получил одобрение самого Гаусса. Но оба прогрессивных математика умерли непризнанными, только спустя несколько десятилетий ситуация смогла измениться.

Почему геометрия Лобачевского «работает»?

Доказательством этого является то, что используя аксиомы Лобачевского (напомню, что 4 аксиомы Евклида не опровергаются, только пятая была замененной на противоположную аксиому), можно построить модель.

Первой такой моделью был круг:

Из точки A проведем хорду AB. Все точки, лежащие внутри круга и принадлежащие хорде AB являются неевклидовыми и мы их можем принять во внимание, но какое бы малое расстояние мы не брали приближаясь к точке A, все равно будет существовать еще более маленькое, еще более близкое к точке A. Отсюда можно сделать вывод: хорда AB не имеет четко определенного начала и конца, следовательно AB – прямая.

Пусть даны неевклидова прямая AB и точка C вне ее. Бесконечное множество прямых, проходящих через точку C , не пересекают хорду-прямую AB. Из этого следует, что аксиома Лобачевского верна для этой модели.

Пишите в обсуждение, было ли интересно и хотите ли вы продолжение серии статей про неевклидову геометрию😄

n(n+1)/2

В случае с первой сотней чисел у нас получится 5050. Давайте теперь попробуем найти произведение всех первых натуральных чисел до 100. Получится 158-значное число с 24-мя нулями. Для удобства обозначения таких огромных чисел математики придумали восклицательный знак, а именно факториал.

Решением комбинаторных задач зачастую являются огромные числа, например, количество расстановок дюжины книг на книжной полке близится к половине миллиарда. Если вы перетасуете колоду из 52 карт, то получится 52! варианта, то почти с 100-процентной вероятностью можно утверждать, что последовательность карт никогда не повторялась, и никогда не повторится. И это при условии, что все люди на Земле будут несколько лет тасовать каждый свою колоду!

Правило сумы и произведения

Вся комбинаторика базируется на этих двух правилах.

Правило сумы используется, когда нужно посчитать общее количество вариантов при наличии нескольких возможностей для выбора. Например, у нас есть 6 книг по математике и 5 книг по физике. Таким образом, количество вариантов почитать одну из книг 6+5=11.

Правило умножения применяется к заданиям на два действия. Например, если есть а вариантов исполнения первого действия и b вариантов для другого. Таким образом, общее количество вариантов будет равно a*b. Например, если в столовой есть 5 видов супа и 3 вида салата, то количество разных вариантов обеда будет 5*3=15. Если к этому прибавить еще 7 видов второго блюда, то количество этих вариантов возрастет в 7 раз: 15*7=105.

Поговорим о магическом числе «С из n по k». Это количество вариантов выбора k элементов из n элементов. Его вычисляют по формуле

n!/k!(n-k)!

Немного об азартных играх

Применим полученную информацию в свою пользу, а именно для подсчета шансов собрать какую-то комбинацию в покере.

Комбинация в покере – 5 карт из 52-х в колоде. Таким образом, количество возможных комбинаций в покере – C из 52 по 5. Таким образом, имеем 2 598 960 комбинаций.

Комбинация из 5 карт одной масти имеет название флэш.

Сколько всего комбинаций флэша? Всего карт каждой масти 13, то есть количество комбинаций равно Сиз 13 по 5, умноженное на 4= 5148.

То есть, шанс получить одну из них – 5148\2598960, то есть приблизительно 1 к 500.

Пишите в обсуждение, если хотите узнать больше о комбинациях в покере, игры для настоящих математиков!😉

Начнем с простого: круг и его площадь. Когда-то давно, умные люди в Древней Греции догадались измерить длину окружности, придумали число π доказали, что длина окружности равна 2πr. Но как теперь доказать, что площадь также зависит от π? Для этого будем использовать «метод пиццы».

Разделим круг на парное количество «кусочков» и сложим таким образом, как показано на рисунке, на примере 4 кусочков.

Далее разделим на большее количество кусочков.

Таким образом, чем больше будет кусочков, тем больше эта фигура будет похожа на прямоугольник со стороной πr и r, и она никогда не будет иметь стороны меньше этого значения. Таким образом, мы доказали, что площадь круга все-таки равна формуле πr^2.

Теперь перейдём непосредственно к стереометрии, а именно к сфере и её объёму.

Шаровой, или сферической поверхностью (иногда просто сферой) называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки - центра шара.

Объём шара в полтора раза меньше, чем объём описанного вокруг него цилиндра.

Очевидно, что объём описанного цилиндра равен произведению площади основания и высоты:

V=πr^2*h

Если цилиндр описан вокруг сферы, то его объём равен:

V=2πr^3

так как его высота равняется 2r.

Таким образом, имеем:

V сферы=4\3πr^3

В конце наведу лишь формулу площади сферы, дабы не растягивать и без этого длинное повествование.

S сферы=4πr^2

Если хотите увидеть доказательство, пишите в обсуждение, обязательно сделаем😉.

Что это вообще такое?👇

Как бы это ни звучало странно, названа в честь немецкого математика Бернхарда Римана. Служит она для представления бесконечно удаленной от центра координат точки на комплексной поверхности.

И как это работает?

Во-первых, необходимо напомнить что такое комплексное число. Комплексное число состоит из действительной и мнимой части и записывается как:

𝑧=𝑥+𝑖𝑦

где 𝑖= √−1 есть ни что иное, как мнимая единица. Число, которое не существует на множестве вещественных чисел. А сам 𝑦 вместе с 𝑥 как раз принадлежат множеству существенных чисел.

Как можно понять по записи, комплексное число можно представить на Декартовых координатах. Будет оно иметь вид радиус-вектора (вектор, начинающийся в точке (0, 0) ) в точке (𝑥,𝑦).

И все же, что за сфера Римана?

В основе действия лежит элементарная геометрия.

Представим Евклидово трехмерное пространство с координатами (ξ, η, θ) и совместим комплексную плоскость C с плоскостью Oξη так, чтобы

действительная ось (O𝑥) совпала с осью Oξ, а мнимая ось (O𝑦) с осью Oη, и положительные направления соответствующих осей совпадали.

В пространстве изобразим сферу с радусом 𝑅= 0.5 и центром в

точке (0, 0, 0.5). Уравнение сферы имеет вид:

𝜉2 + 𝜂2 + (𝜃 – 12 )2 = 14 ,

Точка P (0, 0, 1) будет называться полюсом сферы.

Теперь соеденим точки P (0, 0, 1) и Z (𝑥,𝑦). Отрезок PZ пересекает сферу только в одной точке M. Для удобства координаты точки М будут

взяты (ξ, η, θ). Точка M(ξ, η, θ) называется стереографической проекцией точки z на сферу.

Стереографическая проекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками комплексной плоскости C и точками сферы с выколотым полюсом P.

В силу колинеарности точек P(0, 0, 1), M(ξ, η, θ) и z(x, y, 0) имеем

ξx = 𝜂𝑦 = 1 − 𝜃1 ,

откуда выводим

x = 𝜉1 − θ , y = 𝜂1 − θ , z = 𝜉 + 𝑖𝜂1 − θ .

Поскольку

|𝑧|2 = 𝜉2 + 𝜂2(1 − 𝜃)2 ,

то из уравнения сферы получаем

|𝑧|2 = 𝜃1 − θ .

Из имеющихся уравнений можно найти так называемы формулы стереографической проекции (уравнения для 𝜉,𝜂,𝜃):

𝜉 = 𝑥1 − |𝑧|2 .

𝜂 = 𝑦1 − |𝑧|2 .

𝜃 = |𝑧|21 − |𝑧|2 .

Что это вообще такое?

Как бы это ни звучало странно, названа в честь немецкого математика Бернхарда Римана. Служит она для представления бесконечно удаленной от центра координат точки на комплексной поверхности.

И как это работает?

Во-первых, необходимо напомнить что такое комплексное число. Комплексное число состоит из действительной и мнимой части и записывается как:

𝑧=𝑥+𝑖𝑦

где 𝑖= √−1 есть ни что иное, как мнимая единица. Число, которое не существует на множестве вещественных чисел. А сам 𝑦 вместе с 𝑥 как раз принадлежат множеству существенных чисел.

Как можно понять по записи, комплексное число можно представить на Декартовых координатах. Будет оно иметь вид радиус-вектора (вектор, начинающийся в точке (0, 0) ) в точке (𝑥,𝑦).

И все же, что за сфера Римана?

В основе действия лежит элементарная геометрия.

Представим Евклидово трехмерное пространство с координатами (ξ, η, θ) и совместим комплексную плоскость C с плоскостью Oξη так, чтобы

действительная ось (O𝑥) совпала с осью Oξ, а мнимая ось (O𝑦) с осью Oη, и положительные направления соответствующих осей совпадали.

В пространстве изобразим сферу с радусом 𝑅= 0.5 и центром в

точке (0, 0, 0.5). Уравнение сферы имеет вид:

𝜉2 + 𝜂2 + (𝜃 – 12 )2 = 14 ,

Точка P (0, 0, 1) будет называться полюсом сферы.

Теперь соеденим точки P (0, 0, 1) и Z (𝑥,𝑦). Отрезок PZ пересекает сферу только в одной точке M. Для удобства координаты точки М будут

взяты (ξ, η, θ). Точка M(ξ, η, θ) называется стереографической проекцией точки z на сферу.

Стереографическая проекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками комплексной плоскости C и точками сферы с выколотым полюсом P.

В силу колинеарности точек P(0, 0, 1), M(ξ, η, θ) и z(x, y, 0) имеем

ξx = 𝜂𝑦 = 1 − 𝜃1 ,

откуда выводим

x = 𝜉1 − θ , y = 𝜂1 − θ , z = 𝜉 + 𝑖𝜂1 − θ .

Поскольку

|𝑧|2 = 𝜉2 + 𝜂2(1 − 𝜃)2 ,

то из уравнения сферы получаем

|𝑧|2 = 𝜃1 − θ .

Из имеющихся уравнений можно найти так называемы формулы стереографической проекции (уравнения для 𝜉,𝜂,𝜃):

𝜉 = 𝑥1 − |𝑧|2 .

𝜂 = 𝑦1 − |𝑧|2 .

𝜃 = |𝑧|21 − |𝑧|2 .

Теория игр подразумевает математическую теорию стратегий, которые, в свою очередь, подразумевают, что есть как минимум два игрока, а исход игры зависит от их ходов. Исход игры не всегда можно определить в ее начале, но каждый игрок может отталкиваться от ходов другого, чтобы увеличить свои шансы на победу. Теперь можем поговорить о некоторых интересных фактах и способах, которые встречаются в данной теме.

Равновесие Нэша

Есть два игрока. У каждого – своя стратегия. Если кто-то из них откажется от этой стратегии, проиграет. Но это все равно не означает наличие положительного исхода для обоих игроков.

На эту тему есть интереснейшая игра:

Дилемма заключенного

Два преступника находятся в раздельных камерах. Каждого спрашивают, виновен ли он в определенном преступлении.

Если оба признают, что виновны, каждый получит относительно тяжелое наказание — скажем, пять лет тюремного заключения.

Но если оба откажутся признать вину, то получат относительно хороший результат — например, один год тюремного заключения.

Но если один заключенный признает вину, а другой не признает, то результат будет очень печальным для того, кто признал вину, — десять лет в тюрьме. Его признают виновным, а второй преступник выйдет на свободу за то, что помог определить настоящего виновного.

Казалось бы, наиболее выгодным и стабильным является вариант, когда никто не сознается. Тогда оба заключенных не признаются(1 год тюрьмы). Но у каждого всегда будет соблазн предать другого. Если один признается, а другой – нет, то первого ждет очень печальный исход, а второго – наоборот, счастливая и свободная жизнь. Плохо так же будет, если они оба признаются(5 лет заключения). Таким образом, непонятно, что должны сделать заключенные: рисковать или сделать выбор в пользу признания?

А как считаете Вы?

Ответ – нет. Но, с бесконечностью можно выполнять арифметические действия:

∞+1=∞
∞+∞=∞
5*∞=∞
1/∞=0

Технически, наибольшего числа не может существовать, так как к нему всегда можно прибавить единицу и получить число еще больше. Поэтому ребята-математики сошлись на том, что символ ∞ это что-то произвольно большое(очень большое), больше, чем любое положительное число. Символ -∞ означает самое маленькое число, когда-либо существующее.
Выше вы увидели все математические действия с бесконечностью, кроме одного: вычитания.

Считайте, что операция ∞-∞ не определена.

Теперь рассмотрим такое равенство:

0.999999…=1

Не согласитесь с этим? Конечно, значения справа и слева очень близки, но это же не значит, что они равны? Давайте начнем с наиболее очевидного:

0.3333…=1/3

Теперь умножим обе части нашего выражения на 3

1=3/3=0.9999999…

В результате получаем первое равенство!

Двигаемся дальше. Два числа или две бесконечные суммы чисел считаются равными, если они близки друг к другу. То есть, разница между этими числами меньше, чем любая существующая положительная величина, математики допускают, что это равные числа.

1+1/2+1/4+1/8+1/16+…=2

Эту сумму можно интерпретировать физически. Допустим, мы стоим на расстоянии 2-х метров от стены. Делаем один шаг вперед, ровно на один метр. Каждый ваш последующий шаг – это половина предыдущего. Таким образом, когда-нибудь вы станете к стене вплотную, но никогда не выйдете за пределы этой стены. Суму бесконечного ряда этих чисел можно так же подать геометрически и алгебраически, но мы вернемся к этому в следующий раз.

Сейчас же рассмотрим последнее, и, самое интересное, выражение:

1+2+3+4+5+…=-1/12

Запишем одну и ту же сумму в начальном виде со смещением на один член:

S=1+1-1+1-1+1-…
S=__1+1-1+1-1+…

Найдем сумму этих двух формул:

2S=1
То есть, S=1/2.

Теперь же запишем сумму всех натуральных чисел, но изменяя знак перед каждым парным числом, в начальном виде, и со смещением:

T=1-2+3-4+5-6+7-8+…
T=__1-2+3-4+5-6+7-…

Теперь прибавим эти ряды:

2Т=1-1+1-1+1-1+1-….
То есть, 2Т= S=1/2
Тогда Т=1/4

Запишем сумму всех натуральных чисел, и обозначим ее, как U.

U=1+2+3+4+5+6+7+8…

Теперь отнимем от этой суммы уже знакомый нам ряд чисел Т:

U-T=4+8+12+16+…=4(1+2+3+4+…)
То есть,
U-T=4U
3U=-T
Тогда U=-1/12.

Именно это и требовалось доказать.

Напомним, что при суммировании бесконечного количества элементов сумма всегда будет разной. Но не спешите отбрасывать эти результаты, как неправильные! В теории струн, например, используется как раз эта формула. Как видите, если пофантазировать, можно найти новые и красивые результаты…

Ответ – нет. Но, с бесконечностью можно выполнять арифметические действия:

∞+1=∞
∞+∞=∞
5*∞=∞
1/∞=0

Технически, наибольшего числа не может существовать, так как к нему всегда можно прибавить единицу и получить число еще больше. Поэтому ребята-математики сошлись на том, что символ ∞ это что-то произвольно большое(очень большое), больше, чем любое положительное число. Символ -∞ означает самое маленькое число, когда-либо существующее.
Выше вы увидели все математические действия с бесконечностью, кроме одного: вычитания.

Считайте, что операция ∞-∞ не определена.

Теперь рассмотрим такое равенство:

0.999999…=1

Не согласитесь с этим? Конечно, значения справа и слева очень близки, но это же не значит, что они равны? Давайте начнем с наиболее очевидного:

0.3333…=1/3

Теперь умножим обе части нашего выражения на 3

1=3/3=0.9999999…

В результате получаем первое равенство!

Двигаемся дальше. Два числа или две бесконечные суммы чисел считаются равными, если они близки друг к другу. То есть, разница между этими числами меньше, чем любая существующая положительная величина, математики допускают, что это равные числа.

1+1/2+1/4+1/8+1/16+…=2

Эту сумму можно интерпретировать физически. Допустим, мы стоим на расстоянии 2-х метров от стены. Делаем один шаг вперед, ровно на один метр. Каждый ваш последующий шаг – это половина предыдущего. Таким образом, когда-нибудь вы станете к стене вплотную, но никогда не выйдете за пределы этой стены. Суму бесконечного ряда этих чисел можно так же подать геометрически и алгебраически, но мы вернемся к этому в следующий раз.

Сейчас же рассмотрим последнее, и, самое интересное, выражение:

1+2+3+4+5+…=-1/12

Запишем одну и ту же сумму в начальном виде со смещением на один член:

S=1+1-1+1-1+1-…
S=__1+1-1+1-1+…

Найдем сумму этих двух формул:

2S=1
То есть, S=1/2.

Теперь же запишем сумму всех натуральных чисел, но изменяя знак перед каждым парным числом, в начальном виде, и со смещением:

T=1-2+3-4+5-6+7-8+…
T=__1-2+3-4+5-6+7-…

Теперь прибавим эти ряды:

2Т=1-1+1-1+1-1+1-….
То есть, 2Т= S=1/2
Тогда Т=1/4

Запишем сумму всех натуральных чисел, и обозначим ее, как U.

U=1+2+3+4+5+6+7+8…

Теперь отнимем от этой суммы уже знакомый нам ряд чисел Т:

U-T=4+8+12+16+…=4(1+2+3+4+…)
То есть,
U-T=4U
3U=-T
Тогда U=-1/12.

Именно это и требовалось доказать.

Напомним, что при суммировании бесконечного количества элементов сумма всегда будет разной. Но не спешите отбрасывать эти результаты, как неправильные! В теории струн, например, используется как раз эта формула. Как видите, если пофантазировать, можно найти новые и красивые результаты…

В начале появились натуральные числа (для счета) 1, 2, 3… Потом к ним древние люди добавили ноль и дробные числа, по мере их надобности. Однако, в те временна уравнение типа

`` x + 3 = 2``

не имело бы решения. Имеющиеся тогда числа не позволяли решить это урванение.
Решением было умножение всех имеющихся чисел на ``-1``.

``-1`` было выбрано как число, которое не меняет абсолютного значения, но выводит числа в новое множество. Таким образом появились отрицательные числа.

И все вместе сложилось в множество рациональных чисел, которое встречается везде в повседневной жизни. Множество рациональных чисел можно представить как ось координат с нулем по центру.

Однако и в этом множестве появились те же грабли. Некоторые функции имеют так называемою область допустимых значений (ОДЗ), вне которой попытка нахождения значения функции со значением из рационального множества приводит к логической ошибке.

Велосипед не стали заново изобретать и поступили как и в случае выше. Просто взяли атомарное число, которое не может существовать во множестве рациональных чисел, умножили его на все рациональные числа, и к этому множеству прибавили рациональные числа. Резульатом данной каши стали комплексные числа.

Комплексное число имеет форму записи:

z = x + iy

где ``i`` как раз и есть тем числом, которого не сущестует во множестве рациональных чисел. Называется оно мнимой единицей и имеет значение

i= √-1

Как можно догадаться из записи выше, комплексное число можно изобразить на декартовых координатах. Как раз две оси представляют собой два множества рациональных чисел, причем одна из них повернута на 90 градусов относительно другой, за что и отвечает мнимая единица.

Геометрический смысл

В геометрическом смысле комплексное число - это радиус-вектор (вектор, начинающийся в точке (0, 0) ) с координатами (x, y) . Замечание: каждому комплексному числу соответствует только одна точка на плоскости и наоборот. Таким образом, все операции с комплексными числами можно описать и как операции с векторами.

В начале появились натуральные числа (для счета) 1, 2, 3… Потом к ним древние люди добавили ноль и дробные числа, по мере их надобности. Однако, в те временна уравнение типа

`` x + 3 = 2``

не имело бы решения. Имеющиеся тогда числа не позволяли решить это урванение.
Решением было умножение всех имеющихся чисел на ``-1``.

``-1`` было выбрано как число, которое не меняет абсолютного значения, но выводит числа в новое множество. Таким образом появились отрицательные числа.

И все вместе сложилось в множество рациональных чисел, которое встречается везде в повседневной жизни. Множество рациональных чисел можно представить как ось координат с нулем по центру.

Однако и в этом множестве появились те же грабли. Некоторые функции имеют так называемою область допустимых значений (ОДЗ), вне которой попытка нахождения значения функции со значением из рационального множества приводит к логической ошибке.

Велосипед не стали заново изобретать и поступили как и в случае выше. Просто взяли атомарное число, которое не может существовать во множестве рациональных чисел, умножили его на все рациональные числа, и к этому множеству прибавили рациональные числа. Резульатом данной каши стали комплексные числа.

Комплексное число имеет форму записи:

z = x + iy

где ``i`` как раз и есть тем числом, которого не сущестует во множестве рациональных чисел. Называется оно мнимой единицей и имеет значение

i= √-1

Как можно догадаться из записи выше, комплексное число можно изобразить на декартовых координатах. Как раз две оси представляют собой два множества рациональных чисел, причем одна из них повернута на 90 градусов относительно другой, за что и отвечает мнимая единица.

Геометрический смысл

В геометрическом смысле комплексное число - это радиус-вектор (вектор, начинающийся в точке (0, 0) ) с координатами (x, y) . Замечание: каждому комплексному числу соответствует только одна точка на плоскости и наоборот. Таким образом, все операции с комплексными числами можно описать и как операции с векторами.