Это некая "волна", которая повторяется каждые 2π оборота (это можно заметить благодаря окружности, потому что sin (2π + x) = sinx). Уравнение графика синусоиды, которую мы будем разбирать - это

y = a * sin(b * x) + c

Есть 2 способа как ее чертить(как и любой график) - это по точкам и по коэффициентам

Для примера будем рассматривать y = 3sin2x

1 способ

Так как мы знаем, что при каждом обороте угол и его значение повторяются каждые 2π оборота, поэтому стоит рассматривать углы только до 2π. Соединяем точки, при этом откладываете π каждые 12 клеток (рисунок снизу), чтобы удобно было откладывать углы.

Получаем такой график

Таким образом, у нас получается такой график синусоиды. Можем заметить, что, по сравнению со стандартной синусоидой y = sinx, амплитуда увеличилась втрое, период уменьшился вдвое. Это нам поможет для чертежа графика по коэффициентам

2 способ: по коэффициентам

Стандартное уравнение синусоиды – это

y = a * sin(b * x) + с

Надо определить, что значит каждый коэффициент

a - отвечает за амплитуду графика, то есть насколько наш график растягивается по оси OY.

b - отвечает за период графика, то есть насколько наг график растягивается по оси OX

c - за пересечение графика с осью OY, то есть насколько наш график приподнят относительно стандартного значения.

В следующем посте можно увидеть наглядно как меняется график в зависимости от коэффициентов.

Когда определились за что отвечает каждый коэффициент можно приступить к чертежу графика.

Первым делом определяем амплитуду и период графика. Как мы уже знаем, амплитуда - коэффициент а, то есть в зависимости от a, меняется значения максимальной и минимальной точки. Рассмотрим график y = 3sin2x + 2

Зеленые точки - максимальное значение графика по y

Синие точки - минимальное значение графика по y

Для того чтобы найти максимальное значение, надо вычислить с + |a|

Для того чтобы найти минимальное значение, надо вычислить с - |a|

Для нашего графика сверху, максимальное значение будет в точке 3 + 2 = 5, минимальное значение в точке 2 - 3 = -1. Это видно по графику. Также из-за такого соотношения можно легко определять коэффициенты c и a.

Также выполняется следующее соотношение:

где Tновый - это новый период. Если что, в стандратной функции y = sinx, T = 2π, от сюда и идет это отношение.
Теперь когда мы научились определять главные компоненты построения графика синусоиды, приступим к алгоритму

1. Определяем коэффициенты
2. Отмечаем на оси точку (0, c) - это точка пересечения с OY
3. Определяем максимальное значение
4. Определяем минимальное значение
5. Определяем период
6. Вычисляем значения T/4, T/2, 3T/4, T

Дальше алгоритм делится на 2 пути

1. Если a > 0:

1. максимальная точка будет (T/4, max_значение)
2. минимальная точка будет (3T/4, min_значение)
3. также будет принадлежать точка (T/2, c)

1. Если a < 0:

1. максимальная точка будет (3T/4, max_значение)
2. минимальная точка будет (T/4, min_значение)
3. также будет принадлежать точка (T/2, c)

Может быть, не совсем понятно, что это вообще такое и как с эти работать, давайте разберем на примере y = 3sin2x + 2

1. a = 3, b = 2, c = 2
2. отмечаем точку (0, 2) - пусть это точка a
3. максимальное значение = c + |a| = 5
4. минимальное значение = c - |a| = -1
5. T = 2π/|b| = π
6. T/4 = π/4, T/2 = π/2, 3T/4 = 3π/4, T = π

Теперь так как a > 0:

1. максимальная точка будет (π/4, 5)
2. минимальная точка будет (3π/4, -1)
3. точка (π/2, 2) и точка (T, c) - это точка конца периода и начала нового

Отмечаем все точки

И так как мы знаем как выгляди стандартный график y = sinx (волна), соединяем и точки и получается волнистая линия с периодом π. Далее просто копируем наш рисунок по всей оси и у нас получилась синусоида.

Давайте разберем еще один пример

y = -2sin3x + 1

a = -2

b = 3

c = 1

max = 3

min = -1

T = 2π/3, T/4 = π/6, T/2 = π/3, 3T/4 = π/2

max_point = (π/2, 3)

min_point = (π/6, -1)

также еще (π/3, 1)

Отмечаем на графике точки и соединяем их, также не забываем, что a < 0, поэтому с начала оси OY линия пойдет вниз

Также я подготовил desmos-проект, где можно посмотреть как изменяется график и его точки при разных коэффициентах. Сделано на основе знаний, которые изложены в этой статье

https://www.desmos.com/calculator/hk9bofc7eb?lang=ru

В итоге мы разобрали как рисовать график y = a* sin(b * x) + c

Но это все равно не общий вид синусоиды, ее мы разберем в следующей общей статье.

Для всех способов надо знать как выглядит график модуля. Это так называемая "галочка", которая может изменять угол наклона, перемещать по осям OX и OY. Самый простой график - это график y = |x|

Для примера будем брать функцию y = |x - 1| - 2

1 способ: по таблице

Самый простой способ, просто надо подставлять различные x, получать различные y и соединять точки, но не все так просто. Если взять наугад x, тогда можно прогадать какая у нас точка пересечения прямых*. Поэтому для этого есть алгоритм

UPD: *На графике y = |x| точка пересечения прямых имеет координаты (0,0), будем называть это точкой перелома. Находится эта точка путем приравнивания внутримодульного выражения к 0.

1. Мы определяем x, который который зануляет модуль и смотрим на значение y в этой точке. Это и будет точка перелома. Пусть это будет точка A
2. Выбираем рандомный x, который будет меньше, чем x точки перелома. Подставляем в уравнение и получаем y. Пусть это будет точка B
3. Выбираем рандомный x, который будет больше, чем x точки перелома. Подставляем в уравнение и получаем y. Пусть это будет точка C

Итого у нас выходит три точки, по которым мы можем спокойно строить график. Мы попарно соединяем точки A и B, A и C, и продолжаем прямые до конца осей. Так у нас выходит график модуля.

Давайте разберем данный способ на примере y = |x - 1| - 2

Красным я отметил точку перелома, дальше взял значение меньше чем 1, например 0, и больше, чем 1, например 2. Получил значения y. Таким образом, у меня есть три точки, по которым я могу построить график

Это довольно простой способ построения графиков, не только модуля, но любой другой функции, но он требует значительно больше времени, чем по коэФФициентам. Поэтому советую пользоваться следующим способом.

2 способ: по коэффициентам

Самое главное когда рисуешь графики по коэффициентам – это знать за что отвечает каждый коэффициент и знать как выглядит график. Как выглядит график мы уже знаем, поэтому перейдем к коэффициентам.

y = k * |x - a| + b, где

k – коэффициент наклона, работает также как с прямыми, чем больше k, тем быстрее растет функция, или же в случае с графиком модуля, чем больше k, тем меньше угол между прямыми.

a – коэффициент перемещения по оси OX, а также, как стало известно ранее, это координата x, при котором зануляется модуль, а следовательно в этой точке происходит пересечение прямых, то есть это координата x точки перелома. Например y = |x - 3|, координата x точки перелома будет в 3. Или, y = -2|x+1| - 3 в x = - 1. То есть коэффициент а находится путем приравнивания внутримодульного выражения к 0.

b – коэффициент перемещения по оси OY, чем больше b, тем больше y. При помощи этого коэффициента график как бы поднимается или опускается по оси OY

Чтобы точнее понять за что отвечает каждый коэффициент, перейдите по ссылке https://www.desmos.com/calculator?lang=ru и введите y = k|x-a| + b, только не копируйте, а сами напишите, иначе он не поймет. Дальше высветится подсказка добавить ползунки, добавляете все и смотрите как изменяется график при различных коэффициентах.

Также надо сказать, что x = a - это прямая симметрии. Это значит, что наш график зеркально отображается относительно этой прямой. Например, у нас есть прямая y = x - 2 (зеленая прямая), и ось симметрии x = 1 (фиолетовая прямая). Тогда мы можем ее зеркально отобразить относительно оси симметрии(черная прямая)

Когда мы определили коэффициенты мы должны поставить точку с нашими коэффициентами (a, b) - это точка перелома и представить, что теперь это начало координат. И дальше от этой точки мы рисуем график y = kx с нашим коэффициентом k(заметьте, без коэффициента b, потому что вы его учли). Причем данная прямая по x должна заканчиваться в точке (a, b), а потом отзеркалиться относительно оси симметрии x = a. Таким образом, мы и получаем наш график

Для примера нарисуем y = |x - 1| - 2

a = 1, b = -2, k = 1

Для начала определяем точку перелома - (1,-2). Мы должны представить, что это начало координат и от этой точки нарисовать прямую y = kx, то есть y = x.

Далее прямую надо отзеркалить относительно оси симметрии x = 1 и тогда получаем график модуля

На самом деле, чтобы хорошо понимать какие-то темы по математике надо много практики и много примеров в теории. Так что давайте нарисуем еще 2 графика

Пример 2:

y = 2|x+1| + 1

a = -1, b = 1, k = 2

Вкратце: ось симметрии x = a = -1, точка перелома(-1, 1), прямые стандартного вида с коэффициентом 2 в виде галочки

Пример 3:

y = -0.5 |x| + 1

Вкратце: ось симметрии x = a = 0 , точка перелома(0, 1) (прямые стандартного вида с коэффициентом -0.5 в виде перевернутой галочки, так как k < 0.

Итак вы научились рисовать графики модуля, с различными коэффициентами, по таблице и по коэффициентам. Но для этого всегда надо было знать как выглядит график модуля. А что делать, если вы забыли?

Третий способ(если забыли как выглядит график модуля)

В этом способе мы просто раскрываем модуль, то есть раскрываем положительно + внутримодульное выражение > 0, отрицательно + внутримодульное выражение <= 0. Где ставить нестрогий знак без разницы. Дальше мы получаем совокупность двух систем, то есть 2 прямых и индивидуальные ограничения. Рисуем и получаем график модуля. Давайте разберем на примере

y = |x - 1| - 2

То есть там, где x > 1, будет график y = x - 3, а где x ≤ 1, график y = -x - 1.

И так как у нас совокупность, мы соединяем эти графики и получаем график модуля

Итак, мы рассмотрели все способы нарисовать график модуля, даже если забыли как он выглядит.