Взгляд за пределами железного занавеса

Автор: Насер аль Масри

В левом политическом спектре Советский Союз часто рассматривается как яркий пример плановой экономики. Однако, несмотря на увлечение его мнимым успехом, редко можно встретить левых политиков, обладающих глубоким пониманием того, как на самом деле распределялись ресурсы. Плановая модель часто сбрасывается со счетов как простой способ определения распределения ресурсов «рациональными» средствами, без особого учета того, как именно определяется эта рациональность. Ярким примером этого является реакция Хакима на видео канала «Economics Explained», посвященное советской экономике.¹ На протяжении всего видео Хаким не только допускает несколько фактических ошибок (например, утверждая, что централизованно планировалось лишь около 10 000 видов продукции²), но и не дает никакого четкого и лаконичного объяснения того, как именно мог быть сформулирован план. Вместо этого он лишь утверждает, что планы разрабатываются по «политическим причинам», что, если уже на что-то и указывает, то на превосходство рыночной системы с её более чёткой системой денежных стимулов, управляемой рыночными сигналами. Таким образом, цель данной статьи — предложить неформальное введение в основные концепции математических методов — в частности, линейного программирования — которые появились в 1960-х и 1970-х годах для формализации планов и распределения ресурсов.

Центральная дилемма

Представьте себя советским плановиком 1960-х годов. Внезапно вам вручают список производственных планов, которые необходимо выполнить. Задача не только сложна, но вам также предстоит найти способ составить план, который будет одновременно согласованным и стабильным.³

С математической точки зрения это означает, что нам нужно найти план, удовлетворяющий нескольким логическим условиям.

Представьте себе экономику с множеством товаров и множеством предприятий, в которой производство осуществляется в дискретные моменты времени. Задача поиска согласованного экономического плана на любой период сводится к нахождению следующей матрицы, удовлетворяющей определённым условиям:

где a_ij (a_11, a_12 и до a_mn.) обозначает количество i-го товара, произведённого на j-м предприятии (при этом следует отметить, что эти величины могут принимать отрицательные значения, если они необходимы для производства на других предприятиях). Чтобы данный план был согласованным, он должен удовлетворять следующим двум свойствам:

где a_j — вектор, содержащий все предприятия, производящие товар, а A_j — множество осуществимых планов для j-го предприятия. Это ограничение означает, что каждое предприятие получает осуществимый план.⁴

где b_i — текущий запас товара, а b'_i (b_i штрих) — желаемый запас в следующем временном периоде.

Несоблюдение любого из двух вышеупомянутых ограничений приведет к очевидным проблемам в функционировании экономики (таким как задержки в производстве, необходимость корректировки планов, сбои в поставках и т. д.).

Из-за огромного количества товаров и предприятий, которыми необходимо было управлять, последовательного плана практически никогда не существовало. Причин этому множество, и они не являются основной темой данной статьи, поэтому вместо этого я отсылаю читателя к книге Майкла Эллмана «Проблемы планирования в СССР: вклад математической экономики в их решение, 1960–1971 гг.». Вкратце, последовательный план не мог существовать из-за огромного количества расчётов, необходимых для экономики, включающей 61 000 предприятий и более 20 000 000 наименований товаров. Использовались методы аппроксимации, агрегирования и итерации; однако, как отметил один из экономистов Госплана, они всегда оказывались недостаточными:

Ввиду высокой трудоемкости расчета изменений в материальных балансах и нехватки времени на выполнение такой работы на практике, иногда изменяются только те балансы, которые связаны соотношениями первого порядка. Что касается соотношений второго порядка, и особенно третьего и четвертого порядков, изменения в балансе вносятся лишь в тех случаях, когда эти изменения являются заметными.⁵

Это зачастую приводило к невыполнению планов, принятию компаниями «запасных» планов (при которых ресурсы расходовались впустую) и повсеместной нехватке материалов. Дело было не только в том, что сами расчеты занимали много времени, но, что более важно, отсутствовала единая методика определения распределения ресурсов. Планировщики часто полагались на эмпирические правила, а не на какой-либо последовательный метод. На этот подход в значительной степени повлияла своего рода «математическая фобия», возникшая в конце 1930-х годов и сохранявшаяся вплоть до 1960-х. Как вспоминает Канторович, когда он обсуждал вопрос оптимального планирования с советским статистиком Борисом Ястремским, тот сказал ему:

Вы здесь говорите об оптимуме. Но знаете ли вы, кто говорит об оптимуме? Об оптимуме говорит фашист Парето.⁶

В связи с этим потребовались новые математические методы, позволяющие выработать способы эффективного распределения ресурсов, при этом обеспечивающие вычислительную выполнимость задачи, для достижения запланированных объемов производства.

Канторович

В 1939 году советский математик Леонид Канторович открыл метод, который впоследствии получил название «линейное программирование»⁷ и за который он позже был удостоен Нобелевской премии по экономике. Комментируя своё открытие, Канторович заявил:

Я обнаружил, что целый ряд проблем, относящихся к научной организации производства самого разнообразного характера (вопросы наилучшего распределения работы станков и механизмов, максимального уменьшения отходов, наилучшего использования сырья и местных материалов, топлива, транспорта и пр.), приводит к одной и той же группе (экстремальных) математических задач. Эти задачи не подходят непосредственно под задачи, рассматриваемые в математическом анализе. Вернее сказать, они формально подходят, и даже формально оказываются очень простыми, но процесс решения, который там получается, совершенно не применим практически, так как для его выполнения требуется решение десятков тысяч или даже миллионов систем уравнений. Мне удалось указать сравнительно простой общий метод решения этой группы проблем, который применим ко всем задачам, о которых я говорил, и достаточно прост и эффективен, так что решение их делается вполне осуществимым в практических условиях⁸.

Конкретная задача, к решению которой он применил этот метод, касалась фанерной промышленности: определение наиболее эффективного использования оборудования для максимизации объема производства. Детали задачи были следующими:

Предположим, что существует конечный продукт, для производства которого требуются два вида сырья — A и B, — которые должны поступать в равных количествах. Кроме того, имеется три станка со следующей производительностью:

Если бы все фрезерные станки использовались исключительно для производства A, они производили бы 30 единиц в час, что эквивалентно 60 единицам B в час. Они также могут производить по 20 единиц каждого вида, если 40 минут уделять производству A, а 20 минут — производству B. Применив такое же распределение к остальным станкам, в общей сложности будет производиться по 77 единиц каждого вида. Однако этот метод не позволяет максимизировать объем производства, поскольку не учитывает сравнительную эффективность каждого станка при производстве A и B. Например, фрезерные станки могут производить A и B в соотношении 1:2, револьверные токарные станки — в соотношении 2:3, а автоматические токарные станки — в соотношении 3:8. Использование этих показателей эффективности для определения объемов производства дает следующие результаты, которые позволяют увеличить объем производства по сравнению с предыдущим методом:

Если говорить более техническим языком, задача, которую мы пытаемся решить, заключается в следующем:

У нас есть n станков, которые производят m различных деталей, причём каждый станок может производить a_ik в день (k-ю деталь на i-м станке). Кроме того, h_ik обозначает долю рабочего дня, в течение которой i-й станок используется для производства k-й детали, при соблюдении следующих условий:

h_ik должно быть неотрицательным, а оборудование должно эффективно использоваться в течение всего рабочего дня.

Далее обозначим количество произведённой k-й детали как

Если бы кто-то попытался решить эту задачу с помощью традиционных математических методов, в реальных условиях это, как правило, оказалось бы невозможным. Например, для решения упомянутого ранее примера с фанерой потребовалось бы найти значения 32 неизвестных, а сложность задачи росла бы экспоненциально, в конечном итоге требуя решения миллионов уравнений — задача, которую невозможно выполнить вручную. Однако новый метод Канторовича упрощает эту задачу до всего лишь 4 неизвестных.

Возвращаясь к примеру с фанерой, метод Канторовича был использован для решения задачи оптимизации следующим образом:

Сначала можно определить следующий термин:

Этот показатель отражает соотношение между производством i-го станка 1-й или 2-й детали. В примере с фанерой коэффициенты для каждого из станков составляют 2 для фрезерных станков, 1,5 для токарного станка и 8/3 для автоматических станков. Это означает, что 1 единица детали 1, изготовленная на токарном станке, эквивалентна 1,5 единицам детали 2, и так далее для остальных станков. Если мы упорядочим все значения k_i по возрастанию таким образом, что

Станет очевидным, что будет более эффективно производить больше деталей 1 на первом станке, поскольку у него самый низкий коэффициент по сравнению со всеми остальными станками. Для тех, кто больше интересуется экономикой, это является обобщением классической экономической концепции, согласно которой теневые цены могут использоваться для принятия рациональных решений. Исходя из этого, для первого станка (того, у которого самый низкий коэффициент) мы можем установить следующее:

и настроим следующие параметры для станков:

Из условия равенства (согласно которому обе части должны быть равны) следует, что мы выбираем число s таким образом, чтобы выполнялось следующее:

По сути, эти уравнения говорят о том, что при назначении s-1 станков на производство детали I условие равенства не будет выполняться, а при назначении ровно s станков получится либо равенство, либо избыточный объем производства. Если затем настроить все станки с номерами меньше s на производство только детали 1, а все станки с номерами больше s — только на производство детали 2, то мы получим необходимое решение задачи, решая следующие уравнения для станка с номером s:

Для наглядности решение для упомянутого ранее примера с фанерой будет следующим:

Если взять число s = 2, то получим следующее:

Из этих двух уравнений следует, что каждый станок, расположенный ниже s, будет производить только деталь 1, а каждый станок, расположенный выше, — только деталь 2. Это означает, что единственными неизвестными, которые осталось найти, будут h_s1 и h_s2, поскольку h_1,1 = 1 и h_1,2 = 0, а для обратного случая верно обратное. Следовательно, мы находим h_s из следующей системы уравнений:

Таким образом, был найден точный математический метод решения оптимизационных задач, не требующий невыполнимого объема вычислений.⁹

Помимо фанерной промышленности, эти математические методы применялись в различных отраслях и для решения самых разных задач — от минимизации затрат до задач оптимального транспорта — и доказали свою высокую эффективность. В качестве краткого примера можно привести использование описанных методов при оптимизации развития и размещения предприятий цементной промышленности, что с помощью компьютера «Урал-2» позволило сократить транспортные затраты на выполнение плановых показателей примерно на 30 %¹⁰, а во всех отраслях в целом — снизить затраты на 10–15 %. Стоит отметить, что идеи Канторовича и других математиков не были реализованы в полной мере, поскольку они были гораздо более далекоидущими, чем это допускалось в советском политическом дискурсе, — например, отмена ренты и постепенное введение рыночных механизмов¹¹.

Проблема экономического расчёта

Метод Канторовича (который он назвал «разрешающими множителями») не только открыл путь к поиску технически эффективных способов расчета объемов производства, но и, сам того не подозревая, помог развеять распространенную критику плановой экономики, в частности — проблему экономического расчета, сформулированную фон Мизесом. Мизес утверждал, что «каждый шаг в сторону от частной собственности на средства производства и использования денег также отдаляет нас от рациональной экономики»¹². Без рыночных цен, казалось бы, любой экономический план лишился бы рациональности, поскольку отсутствовали бы денежные расчёты, которые могли бы служить ориентиром для правильного распределения ресурсов.

Более того, даже если бы удалось определить целевую функцию для максимизации или минимизации в денежном выражении, человеческий разум оказался бы слишком ограниченным, чтобы справиться с её сложностью. Дилемма фон Мизеса носит алгоритмический характер и обусловлена неспособностью человеческого разума обработать все возможные планы, которые могли бы оптимизировать целевую функцию. Канторович продемонстрировал, что возможно разработать математический метод, не зависящий от денежных показателей, сосредоточившись вместо этого на достижении целей планирования и эффективности.

Позже Канторович разработал систему оценки, известную как объективно определяемые оценки (ODV - objectively determined valuations), отличающуюся от цен и используемую исключительно для экономических расчётов в планировании, а не в коммерческих целях. Однако практическая реализация зависит от наличия алгоритмов, способных решать такие уравнения с достаточной скоростью. Очевидно, что сегодня решение таких уравнений вручную было бы нецелесообразным, поскольку потенциально потребовало бы решения миллионов или миллиардов уравнений. Однако благодаря современным вычислительным мощностям вычислительные ограничения больше не являются проблемой.

Например, задача линейного программирования, включающая миллионы переменных, может быть решена за полчаса на обычном компьютере с 4 процессорами с использованием методов внутренних точек. В условиях плановой экономики с миллиардами переменных крупные суперкомпьютеры обладают достаточной вычислительной мощностью для решения этой задачи.

Распад Советского Союза, казалось бы, оправдывает критику плановой экономики со стороны австрийской школы. Однако благодаря недавним достижениям в области вычислительной мощности и алгоритмов концепция плановой экономики, предложенная Канторовичем и CEMI, больше не является фантазией, а представляет собой жизнеспособную альтернативу рыночной системе.

https:/www.youtube.com/watch?v=nGm0u3UHDZM
Это явно не соответствует действительности. Я не знаю, откуда он взял это утверждение, но, если бы мне пришлось гадать, то, скорее всего, это связано с тем, что советские плановики не планировали все 20 000 000 наименований товаров по отдельности, а объединяли их в группы, чтобы упростить расчеты, что, если что, свидетельствует о серьезном недостатке системы планирования того времени.
То есть это не меняется слишком часто.
Это следует читать как «a принадлежит множеству A_j».
Ellman, Michael. “The Consistency of Current Plans.” Planning Problems in the USSR: The Contribution of Mathematical Economics to Their Solution, 1960-1971, At the University Press, Cambridge, 1973, p. 28.
BOLDYREV, IVAN, and TILL DÜPPE. “Programming the USSR: Leonid v. Kantorovich in context.” The British Journal for the History of Science, vol. 53, no. 2, 8 Apr. 2020, pp. 255–278, https://doi.org/10.1017/s0007087420000059.
Такое название связано с тем, что речь идет о задаче с линейной целевой функцией и линейными ограничениями.
Канторович Л. В. (1939) "Математические методы организации и планирования производства." Введение, стр. 5 https://www.mathedu.ru/text/kantorovich_matematicheskie_metody_organizatsii_i_planirovaniya_proizvodstva_2012/p2/?query=%D0%AF
Стоит отметить, что существует обобщение этого результата для любого m, однако оно выходит далеко за рамки данной статьи; отличное изложение этого вопроса можно найти в упомянутой ранее работе Канторовича.
Ellman, Michael. “Optimal planners and the methods of economic calculation.” Planning Problems in the USSR: The Contribution of Mathematical Economics to Their Solution, 1960-1971, At the University Press, Cambridge, 1973
Более подробно об идеях Канторовича и ЦЭМИ можно прочитать в книге Эллмана
Von Mises, Ludwig. Economic Calculation in the Socialist Commonwealth. Ludwig Von Mises Institute, Auburn University, 2008.