РАЗДЕЛ 2. ЭВОЛЮЦИЯ СРЕДЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

У каждого века есть свои мифы.

Их принято называть высшими истинами.

Неизвестный автор

Реализация концептуальных положений, сформулированных в предыдущем разделе Пособия, основывается на эволюционной трактовке смены формаций инфраструктуры. Концепция определяет условием смены формации не противоречивое сочетание форм реализации трех существенных факторов.

Настоящий раздел посвящен анализу зависимости форм реализации инфраструктуры от доминирующих на рассматриваемом этапе исторического развития форм проявленности существенных факторов. Универсальные формы реализации инфраструктуры, свойственные тому или иному сочетанию существенных факторов будем называть формацией.

Рассматриваемая феноменология исходит из того, что формации, сформированные на определенном этапе исторического развития, созда-ют формы их реализации, наследуемые последующими формациями.

Сообразно рассмотренной в первом разделе Концепции, создание формации инфраструктуры является следствием уравновешивания (гармонизации) доступных на историческом этапе развития форм проявленности существенных факторов ее формирования.

Представления об эволюционном характере развития инфраструктуры основывается на условии эволюционного развития существенных факторов, сочетание которых влечет формирование той или иной формации. В этой связи существенным является правильный выбор способа интерпретации процесса эволюции теорий, рассматриваемых феноменологией в качестве существенных.

Признавая взаимозависимость существенных факторов, реализуемую через практики реализации инфраструктуры, феноменология выводит возможность развития технологий из условия готовности предпосылок, определяемых доминирующими представлениями теории познания (первый существенный фактор) и уровнем развития аксиоматической теории (второй существенный фактор).

Осознавая глубину вопросов, свойственных теории познания и аксиоматической теории следует руководствоваться в вопросах рассмотрения тенденций их развития суждениями признанных авторитетов. Выбор таких авторитетов, сам по себе, является сложной задачей. Учитывая практическую направленность книги, оставим за пределами рассмотрения аспекты, связанные с выбором концепций систематизации научных теорий. Отметим только, что выбор систем классификации, предложенных Владиславом Александровичем Лекторским (в части систематизации теорий познания) и Морисом Клайном (в части систематизации аксиоматических теорий) наиболее созвучен положениям рассматриваемой Концепции инфраструктуры.

Рассматривая указанные системы классификации в качестве сущностных проявлений фундаментальных тенденций, следует признать частные теории, их формирующие, в качестве эмпирической данности. В этой связи нет необходимости сосредотачивать внимание на скрупулезном обсуждении коллизий формирования частных теорий. При этом следует сохранить глубину изложения, необходимую для понимания положений формируемой феноменологии.

Сказанное объясняет необходимость включения в текст книги обширных заимствований из работ, рассматриваемых в качестве основы для материала книги. Такое прямое заимствование обеспечивает возможность целостного восприятия тенденций эволюционного развития существенных факторов, оставляя свободу для манипулирования материалом в процессе реализации положений Концепции инфраструктуры.

Целью и итогом рассмотрения обширного исходного материала должна стать констатация положений, не противоречащих одновременно теории познания, аксиоматической теории и прикладному Знанию вне зависимости от исторического времени. Полагается, что на этом основании возможно определить порождающие структуры отношений, с единых позиций объясняющие как эволюцию познавательных теорий, так и эволюцию инфраструктуры.

2.1. АРХАИЧЕСКИЙ ЭТАП ЭВОЛЮЦИИ ИНФРАСТРУКТУРЫ

Бог арифметизирует

Р. Декарт

Подраздел посвящен обзору воззрений, теорий и практик, обеспечивших организацию среды существования людей на ранних этапах исторического развития.

Излагаемый в подразделе материал, скорее всего, известен большинству читателей. Новое качество известному материалу придает сопоставление идей, традиционно рассматриваемых в разных научных дисциплинах. Единство материала, отражающего разные способы интерпретации Реальности, достигается на основе признания неразрывности сущего вне зависимости от форм проявленности и способов интерпретации.

Параграфы подраздела, таким образом, демонстрируют воззрения на способы реализации существенных факторов формирования инфраструктуры, доминирующих на архаическом этапе эволюционного развития.

Данный подраздел демонстрирует обзор теорий, соответствующих раннему этапу эволюционного развития социума. Упрощенные трактовки, свойственные теориям рассматриваемого периода, компенсируют присущее им «упрощенчество» очевидностью фундаментальных закономерностей, не вуалируемых нагромождением последующих наслоений.

В этой связи включение материала подраздела в состав Пособия преследует цели:

– систематизировать с позиций рассмотренной Концепции известные факты исторического развития теории познания и аксиоматической науки;

– помочь читателю осмыслить и принять положение Концепции о взаимозависимости доминирующих способов интерпретации Реальности и соответствующих им способов организации среды существования Человека;

– обосновать закономерность включения и основополагающую значимость правовой формы организации инфраструктуры в более поздние формы ее организации.

2.1.1. ДОМИНИРУЮЩИЕ СХЕМЫ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Начало формирования инфраструктуры следует отсчитывать с момента, когда Человек осознал величие и мощь разума. Это стало возможным на основе:

– отделения конкретного «Я» от окружающей среды;

– интерпретации «Я» в качестве активно действующего субъекта, наделенного личностными свойствами.

Сочетание двух условий обеспечило возможность формирования «интерпретаций» Человеком. В первом разделе пособия понятие «интерпретации» было использовано для обозначения современных представлений, определяющих отношение познающего субъекта к трансцендентной Реальности. Возможность сведения возможных представлений к классам универсальных интерпретаций является следствием длительного пути развития теории познания.

Настоящий подраздел посвящен обзору исторического пути становления и эволюционного развития представлений о Реальности, основанных на ее моноистических трактовках.

Анализ будем проводить на основе более общей, нежели в первом разделе, трактовки понятия «интерпретации», не связанной «грузом» исторического развития, свойственного современному уровню развития теории познания.

Под интерпретацией будем понимать:

– форму представления одной системы понятий в другой системе понятий;

– форму представления эмпирически данной реальности (измеримых параметров среды) в системе феноменологических понятий, составляющих познавательную систему.

Историю развития идей о познаваемости Реальности будем соотносить с целями Пособия, то есть рассматривать эволюцию теории в контексте формирования на ее основе первого существенного фактора формирования инфраструктуры.

Начало истории инфраструктуры (трактуемой в качестве формы «регуляризации» отношений между людьми и окружающим их Миром) следует соотнести с процессами, происходившими в Древней Греции. Греки провозгласили грандиозную цель – познать окружающую Реальности и использовать это знание для нужд человечества. По мнению греков, мир подчиняется законам, доступным пониманию и использованию Человеком.

Теории Фалеса, Анаксимандра, Анаксимена, Гераклита и Анаксагора, объясняющие устройство Вселенной на основе той или иной определяющей субстанции, определили направление познавательной деятельности на основе интерпретации свойств окружающей человека среды. Интерпретации формировались на основе «всеобъемлющих» теорий, основанных на чувственном (оценочном) восприятии реальности Человеком. Отсутствие теоретических схем и технологических возможностей взаимосвязи образного мышления Человека и физических процессов в среде делали эти усилия неконструктивными. Тем не менее, полученный опыт сформировал одно из доминирующих направлений описания среды на основе ее интерпретаций в форме образов.

Учение Аристотеля обычно рассматривают как развитие теоретических основ, заложенных пифагорейцами и платониками. Аристотель являлся учеником Платона. Он кардинально изменил подходы Платона к изучению Реальности. Основой знания по мнению Аристотеля является наблюдение за реальным физическим миром. При этом методу дедуктивного рассуждения отводилась одна из основных ролей в процессе формирования знания. Аристотеля можно считать первым физиком, в том смысле, что он первым применил к наблюдаемым явлениям рациональный метод обработки результатов с использованием аксиоматических построений.

Суждения Аристотеля о природе аксиом резко отличались от суждений платоников. Аристотель делил аксиомы на общие понятия и постулаты. К общим понятиям относились понятия типа «две точки определяют прямую и притом только одну». Такие утверждения считались априорно справедливыми при рассмотрении любых явлений. Постулаты формулировались в рамках изучаемого явления как общепринятые и не вызывающие сомнений в истинности.

Аристотель развил аппарат получения формализованного знания. По Аристотелю постулаты формулировались на основе данных наблюдения. Это означало, что при признании значимости дедуктивного рассуждения на основе аксиом, первостепенное значение в получении исходного знания отводилось наблюдению и обработке данных с использованием методов рассуждения по аналогии и по индукции. Такой ход рассуждений резко контрастировало с суждениями платоников о сугубо дедуктивном характере знаний, получаемых на основе врожденных идей.

Целью процесса познания провозглашалось получение знаний об изучаемом явлении, достаточных для формирования правильного суждения о рассматриваемом явлении.

Применение дедуктивных правил рассуждения на основе сформулированных постулатов считалось условием строгости рассуждений и гарантировало, что заключение справедливо, если справедливы постулаты. Правила рассуждений включали в себя использование:

– аксиом (общих понятий и постулатов);

– переменных (ситуационно возникающих проявлений среды);

– методов рассуждения (по аналогии, по индукции, дедуктивный метод и др.);

– законов формирования заключений (закон противоречия, закон исключения третьего и др.).

Содержание учения Аристотеля, в самых общих чертах, можно свести к трем положениям.

Во-первых, источником знания являются проявления среды (материальные тела и явления с ними связанные).

Во-вторых, интуиция исследователя обеспечивает преобразование наблюдаемого знания в абстрактные формы с использованием рассуждений по аналогии и по индукции.

В-третьих, заключение о явлении следует формировать с помощью аппарата дедуктивной логики (правил рассуждения), примененной к переменным на основе правил, определенных постулатами и общими понятиями.

Воззрения Аристотеля очень близки к современному пониманию адекватности знания (модели) рассматриваемому явлению. Однако эти идеи не могли быть реализованы в инфраструктуре в силу несоответствия уровню общего понимания Реальности. Как следствие, учение Аристотеля было выхолощено до уровня схоластики.

Схоластика, как элемент учения Аристотеля, включала в себя:

– развитое учение об аксиомах;

– теорию дедуктивных рассуждений;

– правила (логические законы) формирования заключений.

К моменту поздней античности было сформировано доминирующее представление о возможности «строгого» описания Реальности на основе конечного количества аксиом. Содержание понятия «строгость» будет подвергаться сомнению на всем протяжении истории, но никогда не будут ставиться под сомнение основы дедуктивно полученного знания, основанного на понятиях число, отношение, аксиомы и метод.

Сформированное в античный период понимание механизмов получения адекватного знания было использовано в более поздний период. Можно утверждать, что период средневековья внес существенные коррективы в поступательное развитие инфраструктуры.

Разрыв в поступательном развитии методов познания определяется внешними по отношению к методу причинами. Средние века характеризуются доминированием в обществе теологической трактовки реальности (эмпирической реальности, не заменяющей собой Реальность трансцендентную). Такой взгляд соответствует формулированию догм, интерпретируемых в рамках дедуктивного метода рассуждений в качестве аксиом. Данные наблюдения за средой долгое время проверялись на истинность на основе соответствие догматам Учения.

Параллельно с аксиоматически трактуемым Учением церкви развивалось аксиоматическое представление о формах регулирования отношений в социуме. Развитие аксиоматических представлений о правовых нормах поведения Человека определило первую формацию инфраструктуры. В основе архаической формации лежит схоластически трактуемый способ аксиоматической интерпретации Реальности.

Схоластическому способу формирования заключений соответствуют методы познавательной деятельности, в более позднее время оформившиеся в вариации теории отображения.

Наиболее известной и широко используемых частных теорий познания является «теория причинного воздействия объекта на субъект».

Теория имеет основания в воззрениях античности и связана с идеей «истекания образа» познаваемого объекта. Истекание понимается как физическое действие, имеющее следствием формирование феноменологически трактуемого «образа объекта».

Образ объекта, попадая в субъект познания, должен был формировать знание об объекте. В первозданном виде эти воззрения не могут быть превращены в развитую теорию. Их ценность можно свести к формированию некой гипотезы, позволившей развивать аксиоматический метод на основе гипотезы познаваемости.

Теория получила новое качество после того, как идея об истекании образов была заменена на тезис о взаимодействии физических тел. В такой трактовке взаимодействия знание стало трактоваться как сложное преобразование в человеческом организме исходного физического воздействия объекта в идеальный образ субъекта.

Раскрытие механизма преобразований стало отождествляться с механизмом познавательной деятельности.

Классический представитель рассматриваемой теории Локк рассматривал процесс познания на основе понятия «идея», трактуемого как универсальный образ множества схожих воздействий. Для иллюстрации идеи приводится сравнение местности с картой. Карта является идеальной идеей местности, пригодной для формирования решений. «Привязка» местности к карте может осуществляться на основе множества измерений и наблюдений, производимых в разных местах в разное время.

2.1.2. СТАНОВЛЕНИЕ АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА

Схоластике, трактуемой в архаический период эволюции инфраструктуры в качестве универсального способа познавательной деятельности, соответствовало возникновение и развитие аксиоматической теории. Важнейшим шагом, сделанным в античный период истории, является открытие абстракций в форме числа и отношения.

Новые идеи развивались пифагорейцами, возглавляемыми Пифагором Самосским. Пифагорейской школой были сформулированы принципы познания на основе рациональности, критичности и не религиозности.

Идеи пифагорейской школы были развиты в работах Левкиппа и Демокрита об атомистическом строении Вселенной. Свойства Реальности, допускающей рациональное представление, выводились из анализа комбинации атомов. Ценность полученных результатов состоит в распространении идей числа и отношения на исследование свойств физического мира.

На основании числовых абстракций пифагорейцам и их последователям удалось создать теорию музыкальной гармонии, теорию движения планет (музыка сфер) и другие практические «приложения». После того как пифагорейцы «свели» астрономию и музыку к числу, музыка и астрономия оказались связанными с арифметикой и геометрией и все четыре дисциплины стали считаться математическими. Пифагорейцами была предложена концепция математического плана построения Вселенной.

Эти открытия знаменуют собой первые опыты использования уникальной способности Человека интерпретировать среду в абстрактных формах. Справедливости ради следует признать, что разделение явлений (образов) реального мира и абстрактных понятий произошло не сразу. Какое-то время существовало представление о треугольных, квадратных и так далее предметах физического мира, что не меняет ситуацию, по существу.

Сделанные пифагорейцами открытия подняли на качественно новый уровень врожденную способность Человека по формированию рациональных образов Реальности.

К непреходящим итогам деятельности пифагорейцев следует отнести два результата.

Во-первых, основополагающие проявления физической реальности можно выразить на языке математики.

Во-вторых, объединяющим началом всех проявлений являются числовые отношения.

Развитие идей пифагорейцев было осуществлено платониками. Основной задачей Платон Афинский определил изучение «мира идей», как основной реальности, определяющей понимание плана построения Вселенной. «Мир вещей» по Платону является лишь тенью вечных образов, данных человеку от рождения.

В своих рассуждениях платоники обосновали понятие «аксиома» как суждение, априорно взятое из мира идей, не подлежащее обсуждению и доказательству. По их мнению, истина постигается на основе рассуждений с использованием аксиом.

Числа трактуются как трансцендентные (не связанные однозначно с предметами мира вещей) характеристики абстрактных образов.

Основным вкладом платоников в становление научного знания можно считать два результата.

Во-первых, изучение свойств реального мира можно осуществлять на основании изучения абстрактных образов (моделей в современной терминологии).

Во-вторых, изучение свойств образов необходимо осуществлять на основе использования аксиом и правил рассуждения.

Идеи платоников, развитые Аристотелем и сведенные позднее к схоластике, определили эталон «строгости» аксиоматического знания на длительный период времени.

Сформированное в античный период понимание механизмов получения адекватного знания было использовано в более поздний период. Можно утверждать, что период средневековья внес существенные коррективы в поступательное развитие аксиоматического метода, не выводя его приложения за пределы моноистических интерпретаций теории отображения.

Разрыв в поступательном развитии аксиоматической теории определяется внешними по отношению к методу причинами. Рассмотрим основные результаты развития аксиоматической теории, определившей «строй» образного мышления архаической эпохи и предопределивших формирование парадигмы оптимистического этапа ее эволюции.

Существенным следует считать развитие понимания природы числа, имевшее место в рассматриваемый период. К началу эпохи Возрождения европейская ветвь математики уверенно оперировала целыми и дробными числами. Так же, со времен древней Греции были известны иррациональные (мнимые) числа.

Проблема иррациональных чисел была порождена задачей определения длины гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с длиной катета равной единице. В области отношений целых чисел не существовало числа равного  . Этот парадокс привел греков к введению иррациональных чисел. Однако, в рамках арифметики они не смогли найти ответ на поставленный вопрос. Его решение было найдено в области геометрических построений. Иррациональность греки объясняли существованием квадратных чисел, обеспечивающих сравнение рациональных и иррациональных чисел.

Интерпретация чисел отрезками помимо эффекта обоснования иррациональных чисел имела следствием проблему соотнесения арифметических и геометрических оснований математики. Использование иррациональных чисел делала все разделы математики (за исключением теории целых чисел) разделами геометрии. Но такое положение дел не очень подходило для практических целей.

Выход был найден на пути создания в александрийский период синтетического метода работы с иррациональными числами на основе смешения аксиоматического и эмпирического подходов. Известным примером такого подхода является вычисление значения числа π, заключенного ( по оценкам Архимеда) между 3 1/7   и 3 10/71.

Такое пренебрежение строгостью метода многие авторы связывают с большим влиянием на Александрийскую школу достижений математиков Вавилона и древнего Египта. Рационалистический подход этих цивилизаций определил значительное влияние эмпирики на математический метод. Результатом такого подхода было «сведение» иррациональных чисел к натуральным за счет округления. Эту же традицию переняли ученые Индии и средневекового арабского Востока.

Европейские математики эпохи Возрождения, воспринявшие античную традицию классической греческой школы, не могли позволить себе столь «вольного» обращения с числом. Возникла дискуссия, длившаяся много десятилетий. Свойства иррациональных чисел не находили аксиоматического определения, не сводились к целым и дробным числам, а, следовательно, не могли быть признаны реально существующими, имеющими соотнесение с наблюдаемыми явлениями.

Игнорирование иррациональных чисел было, так же, невозможно. В результате они были названы мнимыми, но при этом использовались при логарифмировании и в неявной форме в аналитической геометрии.

В довершение бед в Индии в постэллинистический период были открыты отрицательные числа. В виду рациональности математики Востока, обоснование существования отрицательных чисел было сведено к объяснению их природы посредством образа долга, который следует отдать. Европейская традиция не позволяла так просто ввести отрицательные числа в множество допустимых для применения в аксиоматической теории. Они, так же как иррациональные, на время были отнесены к мнимым.

Обоснованию права на существование отрицательных чисел были посвящены усилия многих ученых. Так Декарт предложил обоснование реальности отрицательных чисел осуществлять за счет смещения шкалы оценок, делающей отрицательные числа положительными. Но эти и другие ухищрения не снимали реальных проблем, связанных, например, с существованием отрицательных корней уравнений второй степени.

Более радикально рационализировал интерпретацию отрицательных чисел Бомбелли, предложив геометрическую интерпретацию натуральных чисел с помощью геометрической модели длины (шкалы), включающей положительные, отрицательные числа и ноль.

Не разрешив проблему иррациональных и отрицательных чисел по существу, европейская наука столкнулась с проблемой комплексных чисел. Впервые явление комплексных чисел обнаружил Кардано при решении абстрактной задачи деления числа 10 на две части, произведение которых равно 40. Придав задаче алгебраическую форму  х(10 – х)=40 (где х –одна из частей) он определил корни уравнения 5 + √-15   и 5 √-15  .

Кардано расценил свою находку как курьез, не имеющий практической применимости. Даже Декарт и Ньютон не считали открытие важным. Однако это было не так.

Отношение к новому открытию выразил Лейбниц в известном высказывании: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».

Несмотря на отсутствие ясного понимания природы комплексных чисел, алгоритмическая сторона вычислений, производимых с вещественными и комплексными числами, усовершенствовалась и расширялась.

Валлис показал, как геометрически представить комплексные корни квадратного уравнения с вещественными коэффициентами.

В результате была найдена интерпретация отрицательных чисел в качестве точек на отрезке прямой, а комплексных – в качестве точек на плоскости.

Введение в обиход математики комплексных чисел позволило с единых позиций решить задачу формализации операций над векторами, представленными в алгебраической форме. Векторное представление обеспечивало унифицированную интерпретацию широкого круга явлений, связанных с проявленностью среды, характеризуемой направлением и величиной, например, таких физических понятий как скорость и сила.

Сложение и умножение векторов требовало представление векторов, действующих на плоскости (в пространстве). Для этого были введены в обиход числа вида a + ib, где i = √-1 , a и b – вещественные числа. Это, в сочетании с алгебраическим представлением поверхностей и объемов, послужило «алгебраизации» математики.

Из проведенного краткого анализа эволюции интерпретаций понятия «число» следует:

– на протяжении истории воззрения на природу «числа» менялись;

– новые трактовки включали старые в качестве составного множества элементов;

– трактовки понятия нельзя считать самоочевидными и общепринятыми;

– математические теории, основанные на понятии число, не имеют под собой четкого логического основания.

«Нечеткое» определение математических теорий, основанных на понятии «число» требуют дополнительного анализа их становления и развития.

Исходной математической теорией, имеющей в основе понятие число и оперирующая четырьмя действиями над числами, является арифметика. Как отмечалось, понятие число возникло на основе отождествления предметов окружающей среды с числами. Естественным образом природа чисел была связана с множеством целых чисел. Отношения между числами, так же естественно, породили множество дробных чисел. Такая естественность базовых понятий создала иллюзию возможности построения на их основе аксиоматической теории.

Как мы видели выше, развитие математической теории выявило многообразие интерпретаций понятия число.

Кратко рассмотрим эволюцию математических теорий (арифметики и алгебры), нашедших развитие в рассматриваемый период. Можно проследить две тенденции в развитии математической теории.

Первая тенденция ассоциируется с достижениями древних Вавилонян и египтян, уделявшим меньшее значение вопросом доказательности в пользу практичности получаемых результатов.

Вторая тенденция ассоциируется с классическими школами древней Греции и имеет в основе развития аксиоматические теории.

Для предмета обсуждения важно понимание влияния этих тенденций, реализуемое через преемственность результатов работы ученых разных эпох, на последующее развитие арифметики и алгебры.

В Древнем Египте, Вавилоне и Древней Греции до четвертого века до нашей эры математика строилась на интуитивной или эмпирической основе. Первое известное логически последовательное изложение теории целых чисел содержится в «началах» Евклида. Основным недостатком излагаемой теории является непонимание автором необходимости неопределяемых понятий. Тем не менее, эта работа на долгие века стала эталоном строгости в математике.

Александрийский период развития математики синтезировал результаты афинской школы и результаты вавилонской и египетской математики. Результаты александрийской школы опосредованно были восприняты математиками Индии и арабского Востока.

Следует констатировать, что состояние арифметики и алгебры к моменту становления парадигмы архаической инфраструктуры, отождествляется с европейской математической школой. Европейская школа впитала в себя результаты разных школ, но при этом основополагающее значение придавалось проверке аксиоматической строгости получаемых результатов, трактуемой в традиции афинской школы.

Следуя античной традиции, восходящей к трудам Герона и Диофанта, арифметика и алгебра выделяются в самостоятельный класс математических задач, отличных от геометрических. Алгебраические работы Герона не содержали символьной записи и существенно повторяли результаты Вавилонского периода.

Диофантом впервые вводится символическое обозначение переменных, значение которых требуется определить в ходе решения алгебраически задач. Проблема строгости полученных решений в указанный период не поднимается. Алгебраические задачи решаются арифметическими методами. Впервые рассматриваются методы решения неопределенных уравнений вида  x^2 + y^2  = y^2  . Диофант считается основателем нового направления алгебры диофантова анализа.

При решении алгебраических уравнений Диофант признавал исключительно положительные рациональные корни и отбрасывал все остальные. Если уравнение не имело положительных рациональных корней, то оно признавалось неразрешимым. Это отличало Диофанта от Герона, который был инженером, и не смущался, если корни были иррациональными. В этом случае Герон округлял их до значений, представляемых рациональными числами. В этом он не противоречил ходу мыслей Архимеда, реализованных при определении числа π.

Работы Герона, Архимеда, Диофанта и Птолемея по вопросам арифметики и алгебры не отличаются по стилю от «рецептурных» текстов вавилонян и египтян, содержащих четкие указания относительно того, что и в какой последовательности следует делать. В этих работах дедуктивные методы были преданы забвению.

Таким образом, греки завещали потомкам две совершенно разные математические науки: с одной стороны – дедуктивную, систематически развитую геометрию, с другой – эмпирическую арифметику и алгебру.

Индийцы и арабы, подхватившие эстафету развития математики, в еще большей степени нарушили концепцию математики, сложившуюся у греков классического периода.

Индийцы были менее изощренными математиками, чем греки, и не видели, какие логические трудности таятся в понятии иррационального числа. Интересуясь «рецептурной» стороной вычислений, индийцы не заметили те различия, которым греки придавали столь большое значение. Они осуществляли арифметические операции над иррациональными числами по тем же правилам, что и над рациональными. Кроме того, индийцы полностью отделили арифметику и алгебру от геометрии.

С алгеброй индейцы обращались еще более свободно, чем греки. Например, из тригонометрии известно, что  sinα^2 + cosα^2  = 1 при любом угле α. Для Птолемея, одного из создателей тригонометрии, это утверждение было геометрическим утверждением о соотношении хорд и окружности. Индийцы же оперировали с тригонометрическими отношениями, по существу, так, как мы сейчас – для них это были просто числа.

Можно с уверенностью сказать, что индийцы не сознавали значимости собственного вклада в развитие математики. Выдвигаемые ими тонкие идеи они с поразительным равнодушием смешивали с грубыми соображениями вавилонян и египтян.

В то время как индийцы игнорировали дедуктивную геометрию, арабы предприняли критическое изучение геометрических работ греков. Однако в отношении к арифметике и алгебре, которым в арабском мире придавалась большая значимость, они мало чем отличались от индийцев. Их устраивало рассмотрение арифметики и алгебры на эмпирической основе. Такое некритическое отношение к логическому обоснованию основ указанных математических дисциплин, как ни странно, обеспечило в дальнейшем их доминирующее положение в приложениях. Доминирование было обеспечено успехами в решении самых разнообразных прикладных задач, хорошо согласующихся с данными наблюдения.

Когда в конце средневековья и в период Возрождения европейцы ознакомились с существующим уровнем развития математики, они своеобразно разрешили дилемму, возникшую в связи с разделением математики на два типа «знания». Настоящей математикой заведомо была только дедуктивная геометрия греков. Но в то же время они не могли и не хотели отрицать полезность и эффективность арифметики и алгебры, которые хотя и были лишены твердого логического фундамента, но уже значительно усовершенствовались по сравнению с классической древностью.

Первая проблема арифметики и алгебры была связана с необходимостью разрешения проблемы «мнимых» чисел (иррациональных, отрицательных и комплексных). Эта проблема была условно разрешена в работах величайших умов того времени Эйлера, Декарта, Лейбница, Ферма, Ньютона и многих других. Результаты эти усилий были рассмотрены выше.

С учетом возрастающей значимости алгебры на передний план в рассматриваемый период времени выступила задача обоснования алгебры. Первой существенной работой на этом поприще была книга Кардано «Великое искусство», систематизировавшая методы решения уравнений третьей и четвертой степеней.

Важный вклад в развитие алгебры внес Виет. Основное новшество состояло в том, что буквенное обозначение получили не только искомые переменные, но и коэффициенты при неизвестных. Такое усовершенствование позволило рассматривать огромное количество уравнений (считавшихся ранее различными) принадлежащими одному классу. Решив уравнение в общем виде, частные случаи разрешались подстановкой коэффициентов.

Во времена Виета алгебра была скромным придатком геометрии. Решающий шаг на пути обретения алгеброй самостоятельности был сделан Декартом и Ферма, создавшими аналитическую геометрию.

Но, видимо, рассмотрение этих и следующих за ними идей следует отнести к времени становления оптимистической инфраструктуры, знаменующему качественное изменение трактовок неопределяемых понятий.

2.1.3. АРХАИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ ИНФРАСТРУКТУРЫ

Материал параграфа посвящен обсуждению форм реализации инфраструктуры, предопределенных уровнем развития третьего существенного фактора формирования инфраструктуры.

Как было показано, технологические возможности того времени не могли выйти за пределы моноистического способа восприятия Реальности и схоластического способа рассуждений. Этим определяется форма созданной в античности инфраструктуры.

Основываясь на исторических данных, следует признать, что инфраструктурой в современном понимании этого явления, в античный период можно признать только правовую систему. Иные формы обустройства общественной жизни признать инфраструктурой нельзя, ввиду того, что они охватывали не все общество, а лишь определенные сферы его жизнедеятельности.

По этой причине, например, виадуки римской эпохи являются грандиозным инженерным сооружением, но не признаются инфраструктурой в смыслах, свойственных рассматриваемой феноменологии.

Исключение грандиозных инженерных сооружений из состава инфраструктуры вовсе не означает, что они не формировали элементы инфраструктуры. Сделанное утверждение только свидетельствует о разделении рассматриваемой феноменологией инфраструктуры на формации, различающиеся по признакам соответствия познавательным схемам.

Итак, рассматриваемая феноменология конституирует правовую форму регулирования отношений между людьми первой из известных форм (формаций) инфраструктуры.

Рассматриваемой формации соответствовала схема познавательной деятельности. известная в современной теории познания под названием теория отображения. аксиоматическое знание было представлено своей простейшей формой схоластикой. По этой причине рассматриваемая формация получила название «архаическая».

Предметом регулирования в архаической формации являются отношения, возникающие в процессе существования людей. многообразие возможных отношений для их формализации схоластикой требовали унификации аксиоматических отношений.

В основу всех правовых систем заложены два класса сущностных элементов, атрибутивные свойства которых являются предметом аксиоматизации.

Первая группа определяет элементы взаимодействия (отношений). Таковыми элементами являются «субъект» и «объект».

Вторая группа определяет роль элементов в процедурах взаимодействия. Выделяются две формы проявленности активности: «актор» и «реагент».

Основываясь на разных трактовках исходных сущностных понятий, формируются разные системы правового регулирования.

Предмет пособия не предполагает рассмотрения особенностей правовых систем. Нас интересуют универсалии, зародившиеся на заре формирования инфраструктуры в первых известных системах правового регулирования.

Рассматриваемая феноменология искомыми организационными универсалиями полагает формы (универсальные группы) объединения людей, различающиеся доминирующей в группе формой интерпретации Реальности.

Выделяется четыре универсальных группы, не зависящие от привнесенных факторов:

– универсальная группа субъектов, элементы которой наделяются всей полнотой прав и обязанностей, предусмотренных правовой системой (обычно группа представлена физическими и юридическими лицами);

– универсальная группа функциональных служб, элементы которой наделяются правами и обязанностями формировать отношения между элементами инфраструктуры, имеющие целью реализацию услуг, нормативно закрепленных в правовой системе (например, служба водоснабжения, созданная в интересах проживающего на территории социума и управляемая выделенным для этих целей персоналом);

– универсальная группа пространственно выделенных объектов, элементы которой определяются на основе признаков деления территории, за которыми правовой системой закрепляются отношения с субъектами права (например, земельный надел, принадлежащий субъекту с расположенными на нем постройками и обремененный системой налогов);

– универсальная группа элементов, наделяемых системой права признаками объекта правового регулирования, обладающего атрибутивными признаками служб и/или объектов (например, акведук как техническая система, связывающих две пространственно разнесенные точки).

Несложно видеть:

– выделенные группы не зависят от типа правовой системы;

– выделенные группы не зависят от уровня развития технологий, то есть существуют на разных этапах эволюционного развития инфраструктуры.

Сделанные наблюдения ценны тем, что они, кроме констатации существования в истории архаической формации инфраструктуры, определили:

– зависимость формы реализации инфраструктуры от познавательных схем, доминирующих на рассматриваемом этапе эволюционного развития;

– инвариантность способов организации людей в группы, существенно влияющие на способы реализации отношений между элементами инфраструктуры.

.2. ПРООБРАЗ ОПТИМИСТИЧЕСКОЙ ФОРМАЦИИ ИНФРАСТРУКТУРЫ

Эксперимент вообще ничего не значит

пока он не интерпретирован теорией

Макс Борн

Подраздел посвящен обсуждению воззрений на способы интерпретации Реальности, формировавшие облик среды существования людей в течение длительного времени, охватывающего период с конца пятнадцатого до начала двадцатого веков.

Облик новой формации зарождался в недрах архаической инфраструктуры. Догматы, сформулированные в соответствие с моноистическим способом интерпретации Реальности, уже не могли объяснить многих данных, полученных эмпирически.

Венцом развития моноистических воззрений на Реальность следует признать работы Декарта. Декарт создал совершенную систему, опре-делявшую развитие аксиоматического метода на многие годы и столетия. Эта система допускает существование казуально проявленной Природы.

Признание Декартом казуальной сущности явления Природа, к сожалению, не исчерпывало сложности обозначенного явления. Аксиоматический метод был не в состоянии объяснить всех эмпирических проявлений Реальности. Интерпретацию проявлений Природы Декарт связывает с существование мыслящего субъекта.

Труды Ньютона, рассматриваемые в контексте предмета Пособия, интересны влиянием на мировоззрение. Подготовленное трудами Декарта деление проявлений Реальности на субъект и объект требовало соответствующего изменения картины Мира. Ньютон предложил такое изменение.

Проявления Природы перестали толковаться казуально. Природа, а, точнее. ее эмпирические проявления, объявлялись сущностью, наделенной трансцендентальными качествами. При этом Ньютон не ставил задачи опровергнуть идею возможности познать замысел Творца. Более того, он не опровергал мощи аксиоматического метода. Ньютон просто фиксировал существенное влияние данных наблюдения на результаты познавательной деятельности.

Как результат, огромные пласты теорий, созданных в развитие идей Декарта и Ньютона, сформировали облик современной инфраструктуры. На протяжении длительного времени работы многих ученых придавали идеям Декарта и Ньютона форму парадигмы, которую далее будем обозначать термином «парадигма Декарта-Ньютона».

Таким образом, сверхзадачей настоящего подраздела следует считать систематизацию представлений, определяющих способы соотнесения эмпирических проявлений Среды с аксиоматическими моделями ресурсов, олицетворяющих эмпирические проявления Среды.

Итогом рассмотрения должно стать уяснение роли и места внешнего наблюдателя (лица, принимающего решения) в формировании математических моделей и/или планировании физического эксперимента, широко используемых в современной инфраструктуре.

2.2.1. ДОМИНИРУЮЩИЕ СХЕМЫ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Итак, начнем планомерное обсуждение эволюционного развития теории познания в Новое время с уже обозначенного рубежа, отмеченного появлением работ Декарта.

Эмпирические данные, накопившиеся к рубежу, делящему историю на Средневековье и Новое Время, плохо согласовывались с выводами теории отображения, определившей моноистические схемы восприятия Реальности.

Развитие аксиоматического метода вплотную подошло к идеям функции и бесконечно малого числа. Последующее создание неевклидовых геометрий требовало переосмысления природы неопределяемых понятий.

Первым шагом на пути создания новой парадигмы было кардинальное переосмысление механизмов познавательной деятельности, сделанное Декартом в теории радикальной рефлексии.

Воззрения Декарта предвосхищали работы Ньютона и других представителей естественнонаучной школы, формируя теоретическую основу для описания эмпирических проявлений Реальности с использованием аксиоматических моделей.

Отметим существенные положения учения Декарта.

Во-первых, Декарт однозначно обозначил задачу обоснования возможности аксиоматического знания, что определило магистральные пути развития математики и логики вплоть до появления работ Геделя. Справедливости ради следует отметить, что эрозия установок Декарта на формулирование очевидных аксиом и понятий началась много раньше. Но эта эрозия не меняла магистрального пути развития методов долгие десятилетия.

Во-вторых, Декарт сформулировал свое понимание эталона знания, не подверженного сомнениям и изменениям. В качестве такого эталона выступает мысль о собственном существовании познающего субъекта. Этот тезис формулируется следующим образом: «…можно сомневаться во всем, но я не могу сомневаться в том, что сомневаюсь, существую». Сущностью познающего субъекта объявляется мышление. Под мышлением понимается «все то, что происходит в нас таким образом, что мы воспринимаем его непосредственно сами собою».

В-третьих, существование и мышление есть два качества, атрибутивно присущие познающему субъекту. Субъект есть единство существования и мышления. Если я прекращаю мыслить, то я прекращаю существовать. И наоборот.

В-четвертых, мысль о существовании обладает не только ясностью и отчетливостью, но и непосредственной очевидностью и наибольшей достоверностью.

В-пятых, Декарт предпринимает попытку обосновать возможность объективного познания внешней среды на основе аксиоматических методов. В части этого тезиса Декарт, находясь в рамках отражательной аксиоматической концепции, не сумел выйти за пределы постулирования очевидности истин (постулатов), существование которых он обосно-вывал объективностью промысла Творца, не допускающего обмана. Утверждение самоочевидности неопределяемых понятий доминировало в аксиоматическом методе долгое время, и было поколеблено только после появления неевклидовых геометрий и развития теории чисел.

В-шестых, по Декарту знание о состоянии собственного «Я» не то же самое, что знание о внешних объектах (среде). Это означает, что субъект имеет непосредственный доступ к субъективной сфере, тогда как знание о внешней среде носит опосредованный характер.

В-седьмых, Декарт различает суждения об объективной реальности и полагания самой этой реальности субъектом. В этой связи обоснованность знания связывается со степенью его (знания) рефлексированности. Именно то знание является основой всякого другого, которое в максимальной степени содержит указание не только на свой объект, но и отсылку к условиям субъективной очевидности. Критериям ясности отвечает лишь то знание, которое соотнесено с актом субъективной рефлексии.

Учение Декарта носит явно выраженный субъективистский характер, определяя в модели познания, безусловно доминирующую роль априорного аксиоматического знания.

Воззрения Декарта определили развитие аксиоматического метода на многие годы вперед. Однако это не является основанием считать теорию радикальной рефлексии формой реализации первого существенного фактора в оптимистической формации инфраструктуры. Скорее теория радикальной рефлексии может рассматриваться в качестве предтечи будущих теорий, фиксирующей «пограничное» состояние воззрений на механизмы познавательной деятельности.

Пограничное положение теории радикальной рефлексии, определяющее ее в качестве предпосылки изменения формации, требует рассмотрения возможных вариантов эволюции идей Декарта.

Первое направление связано с развитием аксиоматических методов как таковых. Это направление не меняет исходной познавательной схемы, свойственной архаическому этапу эволюционного развития (теории отображения). Развитие аксиоматических методов, не повлекших изменения познавательной схемы, не может быть причиной смены формации инфраструктуры.

При этом развитие аксиоматического метода послужило существенному развитию науки и техники. История науки демонстрирует процесс интенсивного накопления знаний в области астрономии, биологии, электричества, оптики и других областях знания. Эти знания стали фундаментом технических новаций, сделавших неизбежной техническую революцию.

Вторым направлением эволюции идей Декарта стало переосмысление схем познавательной деятельности, осуществленное Ньютоном.

Второе направление привело к изменению схем познавательной деятельности, способных связать между собой данные наблюдения и результаты аксиоматических построений. Объяснив природу такого соответствия двух начал Ньютон стал родоначальником Науки в ее современном понимании (рациональное естественнонаучное знание, основанное на познаваемости эмпирически данной Природы).

Пристальный анализ хода рассуждений Ньютона позволяет прийти к заключению, что в основе его построений лежит дуалистическая трактовка отношения Реальности и субъекта. Дуалистическая интерпретация познавательной деятельности создает условия для конструктивного совмещения аксиоматических построений Декарта с эмпирическим опытом (субъекта).

Систематизация и обобщение достижений научного метода на основе дуалистических схем определила совокупность частных теорий познания, развивающих разные аспекты дуального взаимодействия Реальности и субъекта. Анализ развития теории познания позволяет констатировать, что исторически сформировалось полное и не избыточное множество частных теорий, в совокупности удовлетворяющих потребности практики на длительном интервале исторического развития (в период до середины двадцатого века).

Будем называть множество теорий, признанных в результате их апробации приемлемыми, доминирующими теориями, определяющими формы познавательных отношений оптимистической формации инфраструктуры. Отдельные теории, сформированные в рамках единой парадигмы, будем именовать частными.

Все доминирующие теории отвечают требованиям:

– реализуют познавательные отношения между сущностными элементами, определенными теориями, на основе дуалистической трактовки природы Знания;

– соответствуют требованиям научности (в смысле Ньютона), реализуя уравновешивание эмпирических наблюдений «корректностью» аксиоматических интерпретаций.

Доминирующие частные теории исторически возникли позже, чем были сформулированы концептуальные положения Декарта-Ньютона. Возникновение частных теорий обусловлено скорее не фундаментальными потребностями изменения архаической парадигмы, сколько насущными потребностями практики, отнесенными рассматриваемой концепцией к области третьего существенного фактора формирования инфраструктуры.

Наличие нескольких частных схем познавательной деятельности отражает эволюцию воззрений на природу трансцендентально определенного субъекта, являющегося неотъемлемой частью феноменологических построений Декарта. С сожалением следует констатировать, что в отличие от теории познания, прикладные науки, буквально восприняв положения концепции Ньютона, долгое время игнорировали «субъектность» «физического» наблюдения, сводя его к банальной «адекватности».

Обозначим две консенсусно признаваемые частные теории познавательной деятельности, безусловно полагаемые доминирующими в оптимистической формации инфраструктуры.

ТЕОРИЯ УРАВНОВЕШИВАНИЯ СУБЪЕКТА И ОБЪЕКТА

Возникновение этой теории обусловлено необходимостью учитывать при формировании знания не только процесс воздействия познаваемого объекта на субъект познания, но и обратное влияние субъекта на объект, осуществляемое в процессе формирования знания.

Выразительным представителем рассматриваемого подхода является Ж. Пиаже, создавший в рамках общей направленности теории уравновешивания, так называемую систему генетической эпистемологии.

Система Пиаже характеризуется двумя существенными особенностями:

– признается активная роль субъекта на всех уровнях познавательного процесса, начиная от восприятия и заканчивая сложными процессами обработки;

– познавательное отношение понимается в рамках системно–структурного подхода (различные познавательные образования трактуются как некоторые целостные структуры, а само отношение субъекта к объекту рассматривается как особого рода система, внутри которой особым образом уравновешиваются субъект и объект).

Выводы Пиаже были основаны на наблюдениях в области психиатрии, что определяет направленность теории на выявление морфологических (структурных) закономерностей организации познавательной деятельности.

Перечислим основные идеи операциональной концепции познавательной деятельности:

– интеллект определяется в контексте поведения, трактуемого как особого рода обмен между средой и субъектом;

– интеллект обладает адаптивной природой, при этом адаптация понимается как равновесие между ассимиляцией (усвоением материала с использованием неких познавательных схем) и аккомодацией (приспособлением познавательных схем к ситуации восприятия);

– познание не есть статическая копия реальности, что делает интеллект активным участником процесса отражения;

– интеллектуальная деятельность производна от материальных действий субъекта, представлена операциями, в совокупности составляющими интериоризованные действия, являющиеся таковыми только в случае координации операций в составе целостных операционных структур;

– целостные структуры интериоризованного действия могут существенно отличаться друг от друга, как по степени обратимости (подвижности), так и по отнесению их к объектам отражения (среды).

По Пиаже познавательная деятельность структурирована. Высшим структурным уровнем познавательного процесса является логическое мышление, которое не предопределено изначально, а формируется на основе процессов нижестоящих уровней процесса отражения.

Выделяются четыре уровня процессов:

– сенсомоторное познание (реакции на воздействия на уровне обратных связей);

– дооперационные процессы (целенаправленное манипулирование отдельными объектами с использованием отдельных целостных структур);

– конкретные операционные процессы (целенаправленное манипулирование классами целостных структур (операций), приложимых к конкретным объектам с функцией обратимости (подвижности) процесса формирования последовательностей целостных структур);

– формальные операции (возможность применения дедуктивных методов рассуждения по отношению к конкретным операциям, целостным структурам и сенсомоторным реакциям).

Пиаже обосновывает существование «подвижной» связи между субъектом, который он обозначает S, и объектом, обозначаемым как О. Формально эта связь обозначается как S ↔ О. Именно уравнове-шивающее взаимодействие ↔ определяет процесс отображения.

Развитие познания, считает Пиаже, ведет к тому, что знание субъекта об объекте становится инвариантным по отношению к изменяющимся условиям опыта и к позиции субъекта в отношении объекта. На этом основании Пиаже вводит понятие инварианта преобразования. Инвариант преобразования трактуется как эквивалент знания об объекте независимо от субъективной точки отсчета, в которой формируется отношение между субъектом и объектом.

Пиаже выводит обратимость операций познавательной деятельности из принципа их инвариантности.

По Пиаже знание всегда есть знание о внешнем объекте, свойства которого неисчерпаемы. Объект постоянно предстает перед субъектом в новом качестве. Разрешение проблемы неисчерпаемости объекта Пиаже решает с помощью принципа устойчивости операций отображения. Устойчивость трактуется как обратимость инвариантных структур, которые обладают свойством изменения вариантов комбинирования более простых операций при формировании более сложных. Пиаже пытается разрешить проблему устойчивости как логическую. Устойчивость операций отображения трактуется аналогично классической трактовке, определяющей устойчивость как равенство нулю всех проявлений (силы, энергия) замкнутой системы. При этом, применительно к познавательному процессу, не выполняется требование замкнутости системы «субъект – объект», как необходимого условия безграничности проявления объекта.

Принцип устойчивости, трактуемый в смысле Пиаже, влечет противоречия формирования архетипов в духе Декарта. Логические противоречия построений Пиаже являются отражением невозможности разрешить на основе предлагаемой познавательной схемы уравновешивания проблему логических аксиом континуума и выбора (что будет обсуждаться позже).

Тем не менее, теория Пиаже опосредованно внесла существенный вклад в развитие инфраструктуры. Были обозначены, казавшиеся в начале двадцатого века незначительными, проблемы структурирования отношений между различными элементами инфраструктуры. Более того, было обозначено качественное различие в функциях разных элементов, участвующих в познавательном процессе. Теория Пиаже внесла в круг рассмотрения такие категории, как:

– взаимное уравновешивание субъекта и объекта активности;

– структура познавательного процесса;

– инвариантность познавательного уравновешивания;

– устойчивость познавательного процесса (процесса активности).

ТЕОРИЯ ОПЕРАЦИОНИЗМА

В начале двадцатого века приобрела популярность, развиваемая в рамках развития концепции отображения, теория операционизма. Основным положением теории операционизма был тезис, сформулированный в противовес теории уравновешивания, о невозможности познания (существования) объекта вне познавательной деятельности субъекта.

Успех теории в начале двадцатого века объясняется очевидными успехами в естественных науках, прежде всего в физике.

Результаты теории относительности Эйнштейна привели к пониманию относительности интерпретации объекта (длины, одновременности и др.) в зависимости от организации наблюдения (эксперимента). Развитие теории поля, например, электрического, привели к построению образов объектов, не доступных непосредственному наблюдению (сформированных исключительно на основе обработки данных наблюдения за измеримыми параметрами).

Эти идеи определили возможность формирования теории операционизма как обобщение полученного физического знания на область познания. Центральными вопросами операционизма стали закономерности организации эксперимента, обработки их результатов и правила получения Знания (конструируемого субъектом на основе эксперимента).

Наиболее ярким представителем рассматриваемой теории является Бриджмен.

Свои рассуждения он проводит на фоне препарирования выводов теории относительности, проводимого под углом зрения организации знания.

Размышляя над логическим смыслом процедур, применявшихся Эйнштейном при определении основных понятий специальной теории относительности, Бриджмен приходит к выводу, что вопреки обще-принятому взгляду (согласно которому большинство понятий классичес-кой физики характеризуют свойства объектов), действительный смысл физических понятий лежит в совокупности операций измерения.

Так по Бриджмену без отнесения знания (например, измеренной длины) к условиям измерения не имеет смысла понятие длины объекта. Это означает, что существует, как минимум, не только два результата измерений, но и два понятия длина одного и того же объекта.

Так же, понятие «измеряемый объект Х» имеет смысл исключительно в контексте проводимого эксперимента. Так как разным результатам эксперимента (измеримым атрибутивным признакам «объекта Х») соответствуют различные схемы экспериментов, то, значит, разным схемам эксперимента соответствуют разные версии понятия «объект Х».

Далее Бриджстоун обобщает свои выводы до уровня интерпретации природы Реальности. Для этого он операционально определяет понятия «существование» и «объект».

Для иллюстрации развиваемого подхода можно привести иллюстрацию трактовки напряженности внутри твердого тела: «Будем ли мы приписывать напряженности физическую «реальность», являющуюся чисто академическим вопросом или важным, является лишь то, что мы нашли удобным ввести величину, которая, несомненно, не может быть измерена непосредственно».

Теории Бриджмена присущи многие «упрощения», которые достаточно быстро свели «претензии» на универсальность к минимуму. Теория признана доминирующей в силу ее простоты, удобной для объяснения явлений в приложениях.

Существенным ограничением применимости теории в приложениях является необходимость вводить новое обозначение объекта исследования практически для каждого эксперимента, так как практически все эксперименты имеют индивидуальные различия.

Еще больший урон привлекательности теории нанесли теоретические соображения, не предоставляющие в распоряжение исследователя возможностей соотносить результаты разных экспериментов между собой.

Тем не менее, теория признается доминирующей на основании того, что она:

– нашла широкое распространение в приложениях;

– ввела в круг рассмотрения новый класс сущностных элементов инфраструктуры (в современной трактовке «медиаторы»), определяющих содержание понятий «актор» и «реагент», динамически формируемых на основе процедур познавательного уравновешивания.

Можно полагать, что рассмотренные теории познавательной деятельности формируют структуру отношений в техническом сегменте инфраструктуры до настоящего времени. Многообразие иных теорий до настоящего времени не оказывает тотального влияния на инфраструктуру.

Такое положение с востребованностью новых идей и построений при формировании инфраструктуры не может не беспокоить. Объяснением не востребованности более «развитых» познавательных схем может быть только несоответствие этих схем доминирующей парадигме.

2.2.2. ТРИУМФ АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА

Концептуальные построения Ньютона, связавшие эмпирическую проявленность Реальности с возможностями ее аксиоматической интерпретации, открыли неограниченный простор для использования достижений аксиоматической теории в практической деятельности Человека.

Для реализации этих глобальных возможностей математике, казалось тогда, следует решить несколько присущих методу проблем. Рассмотрим ретроспективно ход процесса совершенствования аксиоматической теории.

Рассмотрение истории развития аксиоматического метода в предыдущем подразделе было прервано на времени создания аналитической геометрии. Рассмотрение было прервано по причинам, не связанным собственно с аксиоматической теорией. Это было сделано в связи с тем, что реализация концепции Ньютона–Декарта, обозначившая смену парадигмы, предполагала внутреннее единство теории. Однако, сама математика представляла собой удивительное зрелище. Евклидова геометрия признавалась образцом «строгости», тогда как арифметика и алгебра этим требованиям не отвечали.

Создание аналитической геометрии обеспечивало возможность интерпретации аксиом геометрии в понятиях алгебры, обеспечивая единство разных форм аксиоматического знания.

Дальнейшее «движение» по пути «унификации» математических моделей связано с работами Ньютона. Манипулирование данными наблюдения базировалось на четырех арифметических действиях, и относилось к арифметике. Формулирование законов, имеющих количественное представление, основывалось на понятии функция и относилось к области алгебры.

Таким образом, все аксиоматические построения, относящиеся к периоду доминирования оптимистической парадигмы, основаны на понятиях «число» и «функция».

Рассмотрим более подробно ход развития теории, связанный со становлением и развитием этих фундаментальных понятий.

К времени формирования оптимистической парадигмы аксиоматическая теория имела вид, рассмотренный в подразделе 2.1.2.

Развитие метода в период становления оптимистической парадигмы было связано, в первую очередь, с развитием алгебры.

Первой проблемой арифметики и алгебры была проблема «мнимых» чисел (иррациональных, отрицательных и комплексных). Эта проблема была разрешена в работах величайших умов того времени Эйлера, Декарта, Лейбница, Ферма, Ньютона и многих других.

Важный вклад в развитие алгебры внес Виет. Основное новшество состояло в том, что буквенное обозначение получили не только искомые переменные, но и коэффициенты при неизвестных. Такое усовершенствование позволило рассматривать огромное количество уравнений, считавшихся ранее различными, принадлежавшими одному классу. Решив уравнение в общем виде, частные случаи разрешались подстановкой коэффициентов.

Представление функций алгебраическими формулами было еще одним важнейшим достижением метода.

Существенный прогресс в математике связан с появлением математического анализа, связанного с новыми воззрениями на приращение изменения функции. Новизна трактовки этого известного понятия состоит в рассмотрении свойств функции в каждый как угодно малый промежуток приращения аргумента.

Такая трактовка приводит еще к одной неизвестной ранее интерпретации числа, трактуемой как предел приращения функции при стремлении приращения аргумента к нулю. Трактовка сопряжена с обсуждение понятий нуля и бесконечности в контексте предела отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента может быть меньше любого наперед заданного числа относительно мгновения наблюдения (измерения).

Обсуждению этой проблемы было посвящено много времени и усилий ведущих ученых того времени, таких как Кеплер, Декарт, Кавальери, Ферма, Паскаль, Гюйгенс, Виллис, Ньютон, Лейбниц и многие другие.

Итогом длительных усилий явилось создание дифференциального и интегрального исчислений, являющихся основой математического анализа. Создание эффективного вычислительного аппарата для приложений не продвинуло метод на пути логического обоснования метода.

В конце девятнадцатого века по основаниям математического метода был нанесен сокрушительный удар. Важнейшей вехой на пути развития метода является переосмысление тезиса об объективности (единственности и адекватности) интерпретации реальности с использованием аппарата математики.

Побудительным мотивом к такому переосмыслению явились работы Гаусса по созданию астральной геометрии. Работы Гаусса формулировали вывод о невозможности вывода постулата о параллельных на основе остальных аксиомах Евклида. Независимость пятого постулата от остальных аксиом позволила Гауссу предположить возможность создания непротиворечивых геометрий, по-иному, чем у Евклида, трактующего постулат о параллельных.

Впервые в наиболее полном виде версия неевклидовой геометрии была разработана Лобачевским. Позднее были предложены геометрии, основанные на иных трактовках пятого постулата. Обобщение неевклидовых геометрий было получено Риманом, разделившим, кроме прочего, понятия безграничность и бесконечность пространства (например, сфера является безграничной, но не бесконечной).

Для предмета нашего обсуждения полученный результат содержит несколько принципиальных выводов.

Во-первых, аксиомы являются не самоочевидными, а зависят от привнесенных (эмпирических) факторов.

Во-вторых, существует множество непротиворечивых теорий (моделей явления), различающихся трактовкой аксиом.

В-третьих, математические теории, построенные на нестрогих логических основаниях, могут давать хорошие практические результаты, базирующиеся на эмпирических данных наблюдения и обоснованных алгоритмах обработки эмпирических данных.

Развитие представлений о «нечеткости» числовых оснований математики имело следствия.

Во-первых, в качестве единственного строгого инструмента математических рассуждений к началу второго этапа эволюции инфраструктуры являлась геометрия, наиболее системно изложенная Евклидом.

Во-вторых, математика разделилась на два течения, алгебраическое и геометрическое. При этом с позиций строгости геометрия рассматривалась как предпочтительная.

В-третьих, развитие теории чисел привело к формированию алгебры в ее современном понимании. При этом алгебра не имела строгих логических оснований.

Развитие приложений настоятельно требовало обоснования основ алгебры. Состояние дел на тот период выразил Лейбниц: «Геометрам нередко удается несколькими словами выразить то, что требует громоздких рассуждений в анализе…применимость алгебры не вызывает сомнений, но с доказательностью у нее не все благополучно». Тем не менее, Эйлер в своем «Введении в анализ бесконечно малых» открыто и безоговорочно провозгласил превосходство алгебры над геометрическими методами греков.

Развитие алгебраического метода базировалось на нестрогих основаниях арифметики. Тем не менее, ее достижения были очевидны, что определило бурное ее развитие и последующее доминирование.

Рассмотренные отличия в отношении к строгости рассуждений показывают возможность получения практических результатов алгебраического вывода при различной трактовке строгости аксиоматических оснований математической теории.

С этим багажом подошла математика к времени промышленной революции. Возможности практического использования ее достижений позволили сформулировать законы механики, основанные на данных измерения. При этом логические основания математической теории были туманны.

Возможность изучения Природы на основе манипулирования математическими моделями стала свершившимся фактом. Если ранее математика объясняла происходящее, то теперь она должна была «вырабатывать» варианты решений. Решение качественно новых задач предполагало совершенствование метода.

Дальнейшее развитие математики «стартовало» со следующих исходных позиций:

– арсенал математики включал в себя геометрию, арифметику, алгебру и анализ;

– логические основы арифметики, алгебры и анализа не имели строгого обоснования;

– создание не евклидовых геометрий подорвало веру в незыблемость и без альтернативность аксиоматического подхода к дедуктивному выводу;

– все разделы математики показывали выдающиеся успехи при их применении в самых разных областях прикладного знания.

Такое положение вещей не могло быть терпимым. Казалось бы, что решение проблем должно быть осуществлено ранее всего в области арифметики, как теории наиболее очевидной и лежащей в основании алгебры, и анализа. Но жизнь распорядилась по-иному.

Первым разделом математики, получившим логическое обоснование, был анализ. Это тем более странно, что сам анализ покоился на основаниях арифметики и алгебры, которые на рассматриваемый момент времени строгого обоснования не имели.

Путь к обоснованию анализа был предопределен дискуссией, возникшей вокруг его базовых понятий: функция, непрерывность и дифференцируемость.

Истоки дискуссии следует отнести к истории эволюции трактовок поведения функции вблизи фиксированной точки, введенных Лейбницем и Ньютоном, и связанных с понятиями «бесконечно малые» и «предельные отношения», различающиеся интерпретацией отношения 0/0 при как угодно близком приближении к 0.

В ходе этой дискуссии были получены результаты, в конечном итоге определившие возможность обоснования основ анализа.

Перечислим эти результаты.

Во-первых, в обиход анализа были введены бесконечные ряды. Вводя в математический анализ бесконечные ряды, математики намеревались заменить ими функции в таких операциях как дифференцирование и интегрирование, так как производить операции с более простыми членами ряда гораздо легче, чем с исходными функциями.

В ходе изучения бесконечных рядов были выявлены феномены сходящихся и расходящихся рядов.

Во-вторых, была полностью отвергнута геометрическая интерпретация предела приращения.

Начиная с работ Эйлера анализ рассматривает процедуры работы с функцией исходя из алгебраического их представления. Так отношение 0/0, являющееся основой анализа, предлагалось рассматривать как отношение двух нулей, имеющее смысл исключительно как отдельный класс понятий (в смысле многозначности возможной реализации отношения, которое следует из многозначности n*0 = 0).

Итогом этих усилий был результат, который Вольтер охарактеризовал как «искусство считать и точно измерять то, существование чего не постижимо для разума».

В начале девятнадцатого века проблема обоснования логических основ математических дисциплин снова сместилось в область теории чисел.

Гауссом было сделано обоснование арифметических операций над комплексными числами на основе их геометрической интерпретации. Эта интерпретация в рамках единого подхода формировала понятный смысл положительных, отрицательных и мнимых чисел.

Введенные обобщения не противоречили основным положениям алгебры. Алгебра к этому времени оперировала буквенными обозначениями так, как будто эти обозначения обладали свойствами целых чисел (например, коммутативностью и ассоциативностью). Так как природа чисел не была до конца понята, создавалось впечатление о способности буквенного представления выражать свойства любых, в том числе не познанных, математических реалий. Математика должна была обосновать корректность операций, производимых над буквенными (символическими) выражениями.

Долгое время решение этой проблемы декларировалось на основе принципа перманентности эквивалентных форм, сформулированного Пикоком. Принцип декларировал распространение правил, справедливых в алгебре целых чисел, для всех областей определения алгебры (иррациональных, отрицательных и комплексных чисел). Ложность принципа была установлена при проверке его справедливости для кватернионов (первого открытого класса гиперкомплексных чисел, не обладающих свойством коммутативности при умножении).

К проблемам с распространением алгебры на новые области определения чисел добавился вопрос о применимости принципа дифференцируемости в анализе. До определенного времени считалось очевидным, что непрерывная функция должна иметь предел приращения в любой точке. Доказательству этого тезиса посвящены работы, например, Ампера и Бертрана, что, впоследствии, оказалось неверным.

Качественно иную проблему создавали сомнения в справедливости положений, следующих из результатов создания неевклидовых геометрий. Эти сомнения касались не основ теории чисел, а затрагивали проблемы природы аксиом. Вполне могло случиться, что противоречие в неевклидовой геометрии все же существует, но пока не выявлено. Если это было бы так, то допущение основной теоремы гиперболической геометрии было бы невозможно – и аксиома Евклида о параллельных оказалась бы следствием остальных евклидовых аксиом.

К началу девятнадцатого века, таким образом, не была обоснована практически ни одна область математики. Конечно, такое состояние можно объяснить причинами житейского плана, связанными с очевидными успехами прикладных разделов математики, не находивших строгого обоснования на основе достигнутого уровня развития. Но представляется, что существовала более весомая причина отставания теоретических основ от практических приложений.

Сами того не желая, своими трудами математики вызвали едва уловимое изменение в самой природе математики. До шестнадцатого века математические понятия были идеализациями или абстракциями, почерпнутыми непосредственно из опыта. Когда же появились комплексные числа и алгебра, использующая буквенные обозначения коэффициентов, производные и интегралы, в математике главенствующее значение заняли понятия, представляющие собой абстракции гораздо более высокого уровня, чем ранее применяемые. Математики создавали понятия, а не черпали абстрактные идеи из реального мира. В поисках математических идей математики стали обращаться не к ощущениям, а к человеческому разуму.

По мере того как новые идеи оказывались все более полезными в приложениях, их принимали – сначала недовольно, потом с жадностью. Становясь привычными, новые понятия не становились более приемлемыми. Начиная с восемнадцатого века, в математику входило все больше далеких от непосредственного опыта понятий, все более абстрактных понятий, которые, тем не менее, принимались с все меньшими трудностями.

Не почувствовав произошедших изменений, математики тем самым лишили себя возможности признать необходимость новой основы для аксиоматического построения математики, отличной от самоочевидности истины.

Казалось бы, что лишенная надежного основания математика не должна быть способной к генерированию приемлемых результатов. Но это оказалось не так. Выбирать направления развития математике помогали как постановка, так и решение физических проблем. Как только физические проблемы облекались в математические формулировки, на первый план выходило виртуозное владение математическим аппаратом, возникали новые методы, рождались новые выводы.

Таким образом, физический смысл стал путеводной звездой математики.

Помимо физического смысла в развитии новой математики известную роль играло «чутье» – здравая интуиция разумно мыслящего человека.

Постигнув суть физической проблемы в той или иной ее математической постановке, математики того времени не могли устоять перед соблазном формул. По-видимому, формулы обладали в их глазах такой притягательной силой, что процесс вывода одной формулы из другой с помощью формальных процедур доставлял им глубокое удовлетворение и часто становился самоцелью математического процесса.

Сложилась парадоксальная ситуация. Никогда еще логика быстро расширяющей свои границы математики не находилась в столь плачевном состоянии. При этом успехи математики в описании и предсказании явлений природы были настолько внушительными, что ведущие мыслители того времени, более чем греки, исповедовали тезис о математическом плане устройства Вселенной.

Такое положение не могло длиться долго. Возникло так называемое критическое движение в математике. Это движение ставило целью:

– подведение прочного фундамента под те разделы математики, где он отсутствовал;

– исключить противоречия и те понятия, которые не имели четких определений;

– усовершенствовать обоснование таких разделов математики, как евклидова геометрия.

Осуществление этой программы началось в двадцатых годах девятнадцатого века.

Представители критического течения понимали, что придется отказаться от претензий математики на роль носительницы абсолютных истин. При этом они отдавали себе отчет в том, что математикой получено огромное количество самоценностных результатов, приложимых к широкому кругу явлений природы.

Чтобы привести в порядок здание математики, требовались решительные меры. К тому времени было ясно, что не существует твердой почвы, на которой можно было бы построить основания математики. Столь надежная, как казалось, опора на очевидную истину оказалась обманчивой. Под здание математики следовало подвести фундамент иного рода.

В предпринимаемых усилиях основной акцент был сделан не на истинность утверждений, а на их логическую совместимость (на непротиворечивость утверждений). Теснейшая связь между аксиомами и теоремами должна была придать устойчивость всему зданию математики.

Первыми подверглись переосмыслению основания математического анализа. При этом основания арифметики и алгебры, лежащие в основе анализа, по-прежнему не имели четкого обоснования.

При всей кажущейся нелогичности выбор отправной точки для перестройки математики все же имел объяснение. К началу девятнадцатого века различные типы чисел стали настолько привычными, что их свойства не вызывали сомнений.

Наиболее известным представителем первопроходцев критического направления следует признать Коши. Обоснование основ математики Коши осуществлял на понятии числа (в отличии от неудачной попытки английской школы сделать то же на основе геометрических построений). Работы Коши опирались на работы его предшественников Грегори, Даламбера, Ньютона, Лейбница и Эйлера.

Важнейшим понятием в рассуждениях Коши является понятие предела, созвучное трактовкам Даламбера, отличным от трактовок Ньютона и Лейбница.

Коши не придерживался взглядов на «общность алгебры». Он определил и установил свойства понятий функция, предел, непрерыв-ность, производная и интеграл. На этой прочной основе было сформули-ровано различие между сходящимися и расходящимися рядами.

Завершение обоснования математического анализа было осуществлено Вейерштрассом. Вейерштрасс, в отличие от Коши, отчетливо понимал, что дифференцируемость отнюдь не следует из непрерывности. Роль этого открытия хорошо выразил Пикар словами: «если бы Ньютон и Лейбниц знали, что непрерывные функции не обязательно должны иметь производные, то дифференциальное исчисление никогда не было бы создано».

Вейерштрасс первым понял, что обоснование математического анализа невозможно без обоснования числовой системы.

Первый шаг к обоснованию вещественных и комплексных чисел был сделан создателем кватернионов Гамильтоном. Гамильтон ввел представление комплексных чисел упорядоченными парами чисел с возможностью их геометрической интерпретации. На этой основе были логически обоснованы операции, применимые к различным известным классам чисел. На этом поприще важные результаты были получены Дедекиндом и Пеано.

Как побочный результат обоснования числовой системы была решена проблема обоснования алгебры. Был получен ответ на вопрос, почему свободно манипулируя символами так, как будто они являются натуральными числами, мы получаем правильный результат в случае, если вместо символов подставляем вещественные или комплексные числа. Это происходит потому, что вещественные и комплексные числа обладают такими же формальными свойствами, что и натуральные числа.

В это же время была решена еще одна выдающаяся проблема. Этой проблемой была проблема обоснования непротиворечивости многих элементарных неевклидовых геометрий. Непротиворечивость неевклидовых геометрий доказывалась на основе предположения о непротиворечивости евклидовой геометрии.

Выявленные к началу девятнадцатого века «нестрогости» в формулировании евклидовой геометрии были устранены плеядой ученых: Пашем, Веронезе, Пиери, Гильбертом.

Было обнаружено, что неевклидовы геометрии, задуманные как «геометрии реального пространства», где прямая имеет тот же смысл, что и в евклидовой геометрии, оказались применимыми к фигурам, совершенно отличным от тех, которые имели в виду создатели неевклидовых геометрий. Это обстоятельство имело серьезные последствия. Неевклидовы геометрии порождали классы разных интерпретаций Реальности.

Из полученных результатов следовало, что в любой аксиоматике должны существовать неопределяемые понятия. Неопределяемым понятиям можно придать какой угодно смысл, удовлетворяющий используемым аксиомам. Интерпретации неевклидовых геометрий получили название моделей.

К началу двадцатого века были завершены работы по обоснованию основ разделов математики того времени. На втором математическом конгрессе 1900 года Пуанкаре провозгласил: «На сегодняшний день в математическом анализе остались только целые числа, а также конечные и бесконечные системы целых чисел, связанные между собой системой отношений равенства или неравенства. Математика, можно сказать, «арифметизирована».

Критическое движение, первоначально ставившее перед собой довольно ограниченные цели разрешения насущных проблем математики, по мере своего развития пришло к осознанию необходимости решения гораздо большего круга проблем. Оно сделало предметом своего внимания и логику, рассматриваемую как свод законов мышления, используемых в математике при переходе от одного заключения к другому.

Начало логике как науке было положено Аристотелем в сочинении «Органон» около 300 года до нашей эры. Сформулированные законы были абстрагированы от частностей и обладали универсальной применимостью. Логика Аристотеля в своей основе представляла силлогистику – набор правил о выводе новых утверждений из уже известных.

Первые сомнения относительно истинности логики Аристотеля были высказаны Декартом. Эти сомнения свелись к вопросу об источнике уверенности в справедливости сформулированных законов. При этом Декарт развеял свои сомнения утверждением, что бог не стал бы вводить нас в заблуждение.

На этом основании Декарт и Лейбниц пытались расширить логику до универсальной науки о мышлении, применимой ко всем областям человеческого разума. Достижение желаемого результата они видели на пути введения буквенной символики, подобной алгебраической.

По мнению Лейбница, план мог быть реализован в случае решения трех задач:

– создания универсального символьного научного языка;

– формулирования исчерпывающего набора логических форм мышления;

– формирования набора основных понятий, через которые определяются все остальные понятия.

Ни Декарту, ни Лейбницу не удалось развить последовательно символическое исчисление логики.

Первые практические результаты в деле обоснования основ логики были получены представителями критического движения в математике.

Создание символической (математической) логики можно отнести к работам Буля. Его работы можно рассматривать как продолжение работ Пикока, Грегори и де Моргана, рассматривающих алгебру с единых позиций науки о символах и операциях. Большое влияние на идеи Буля оказали работы Гамильтона по изучению свойств кватернионов, порождающих алгебру, отличную от алгебр, оперирующих вещественными и комплексными числами.

Буль в 1884 году сформулировал положения общей (абстрактной) алгебры в форме алгебры операторов. Его беспокоила мысль о том, что алгебра может иметь предметом изучения не только операции над числами. Это означало, что законы алгебры не обязательно должны совпадать с законами арифметики вещественных и комплексных чисел.

Основная идея Буля состояла в том, что существующие законы мышления представимы в символическом виде, позволяющем придать более точный смысл обычным логическим рассуждениям и упростить их применение.

Наиболее значимое применение идей Буля было найдено в созданной им алгебре, оперирующей понятием класс (событий, высказываний). Был создан раздел логики известный под названием булева алгебра. Булева алгебра оперирует отношениями между классами событий.

Было показано, что в этих терминах можно выразить законы логики, записав их в символьной форме. Например, если 1-множество всех объектов, х-множество всех собак, (1-х) – множество всех объектов, собаками не являющихся, то логический закон исключения третьего может быть записан в виде х+(1-х) = 1.

Булева алгебра предоставила эффективный аппарат для бурно развивающейся теории вероятностей, основанной на понятиях истинного и ложного высказывания относительно события.

Еще одно новшество было привнесено де Морганом. В своем труде «Формальная логика», опубликованном в 1847 году де Морган высказал идею о том, что логика должна заниматься изучением отношений в общем виде.

Отношения далеко не всегда удается перевести на язык субъекта и предиката, как в случае, если предикат лишь определяет принадлежность субъекта к определенному классу. Часто бывает необходимо рассмат-ривать утверждения типа «2 меньше 3». Для таких высказываний необхо-димо определить, что означает их отрицание, то есть обратное утвержде-ние, сложное высказывание, составленное из нескольких простых.

Логика отношений была развита Пирсом и Шредером.

Пирс приступил к решению нескольких вопросов математической логики.

Он ввел специальную символику для обозначения высказываний, обозначающих отношения.

Пирс развил идею использования пропозиционных функций, впервые введенных в рассмотрение Булем. Подобно тому, как в математике мы рассматриваем функции, например, y=2x, отличая их от утверждений о конкретных числовых равенствах типа 10=2 5, так высказывание «Петр – человек» конкретно. А высказывание «х – человек» обозначает пропозиционную функцию, зависящую от переменной х.

Пирс ввел в логику понятие «квантор». Обычный язык неоднозначен по отношению к кванторам. В двух высказываниях:

– Менделеев открыл периодическую систему элементов;

– ученые верят в науку.

Субъект Менделеев используется в двух разных смыслах. В первом высказывании речь идет о вполне конкретном лице – Дмитрии Менделееве, а во втором о любом ученом, практикующим научный метод исследования. В языке неоднозначность можно устранить контекстом использования понятия. В строгом символьном представлении такой прием не приемлем. Кванторы позволяют устранить неоднозначность высказывания. Можно утверждать, что какая-то пропозиционная функция истинна для всех элементов класса. Например, высказывание «для всех х, х – люди» означает «все ученые – люди». Слова «для всех х» – квантор. Но мы можем утверждать, что существует хотя бы один х, такой, что – человек является ученым. В этом случае квантор – это слова «существует, по крайней мере один х, такой что…». Каждый из этих типов кванторов имеет свое обозначение. В первом случае это квантор общности (   ) х, а во втором квантор существования ( х.

Важный вклад в развитие математической логики в девятнадцатом веке внес Фреге. Он определил различие между простым утверждением высказывания и утверждением, что данное высказывание истинно. В последнем случае Фреге ставил перед высказыванием знак «...».

Фреге формализовал известное с третьего века до нашей эры понятие импликации, связанное с рассуждениями относительно высказываний и пропозиционных функций типа:

– Петр мудр;

– мудрые люди живут долго;

следует, что Петр будет жить долго.

Материальная импликация несколько отличается от ранее использовавшейся трактовки импликации. Импликация имеет дело с высказываниями типа «если будет ветрено, то я останусь дома». Между двумя высказываниями:

– «если будет ветрено»;

– «я останусь дома»;

существует не просто какое-то отношение, а именно импликация: «если» антецедент истинен (высказывание, стоящее в условном высказывании между «если» и «то»).

В материальной импликации антецедентом р и консеквентом q могут быть любые высказывания. Между ними не обязательно должна существовать причинно-следственная связь и даже вообще какое бы то ни было отношение. Например, ничто не мешает нам рассматривать материальную импликацию «если х – нечетное число, то я останусь дома». Эта импликация ложна только в том случае, если х – нечетное число, а я уйду из дома.

Материальная импликация расширила трактовку связки «если…, то…», приблизив ее к обычно применяемому смыслу условного высказывания. Введенная трактовка порождает разнообразные варианты отношений между р и q. Так, например, высказывание «если бы дерево было металлом, то оно было бы ковким» содержит два ложных высказывания. Тем не менее, вся импликация в целом истинна.

От Буля до Шредера, Пирса и Фреге все нововведения в логике сводились к применению математического метода (символики и дедуктивного вывода логических законов из логических аксиом). Систему логики, включающую пропозициональные функции и отношения типа «точка А лежит между точками В и С» ныне принято называть исчислением предикатов первой ступени.

Одной из особенностей аксиоматического подхода, лежащего в основе символической логики, является известная со времен Аристотеля, Паскаля и Лейбница необходимость использования неопределяемых понятий. Однако, эти известные соображения не были должным образом включены в ткань символических математики и логики до конца девятнадцатого века.

Ответы на вопросы о том, как пользоваться неопределяемыми понятиями и откуда мы знаем, что о них можно утверждать дает аксиоматика. Аксиомы содержат утверждения о неопределяемых (и определяемых) понятиях. Следовательно, аксиомы говорят нам, что можно утверждать о неопределяемых понятиях.

Например, если точка и прямая неопределяемы, то аксиома о том, что две точки задают прямую и притом только одну, и аксиома о том, что три точки задают плоскость и притом только одну, служат теми утверждениями, которые мы можем использовать при выводе новых утверждений о точке, прямой и плоскости.

Осознание того, что любая дедуктивная система должна содержать неопределяемые понятия, которые можно интерпретировать как угодно, лишь бы вводимые объекты удовлетворяли аксиомам, подняло математику на новый уровень абстракции.

Грассман в 1884 году отмечал, что геометрия не сводится к изучению реального физического пространства. Геометрия является конструкцией чисто математической. Творцы аксиоматики, работавшие позднее (Паш, Пеано и Гильберт) всячески подчеркивали абстрактность геометрии.

Паш сформулировал положение (мало оцененное в конце девятнадцатого века) о том, что во всех случаях необходимо дать доказательство непротиворечивости любой рассматриваемой системы аксиом, то есть доказательство того, что выбранная система аксиом не порождает противоречащих друг другу теорем.

Паш отметил еще одну особенность аксиоматического метода. В любой области математики желательно, чтобы аксиомы были независимыми, то есть, чтобы любую из принятых аксиом нельзя было вывести из остальных, так как аксиома, выведенная из других, является уже не аксиомой, а теоремой.

Символический итог развития математики в девятнадцатом веке был подведен на втором Парижском конгрессе математиков 1900 года. Наиболее значимыми признаются доклады двух ведущих математиков того времени Пуанкаре и Гильберта.

В докладе на пленарном заседании конгресса Пуанкаре так определил состояние математики: «Достигли ли мы абсолютной строгости? Ведь на каждой стадии эволюции предки также верили в то, что достигли ее. Если они ошибались, то не ошибаемся ли и мы, подобно им? В новейшем анализе (если мы пожелаем взять на себя труд быть строгими) находят место силлогизмы и обращения к этой интуиции чистого числа, единственной интуиции, которая не может обмануть нас. Можно сказать, что ныне достигнута абсолютная строгость».

Иную позицию относительно разрешения всех проблем математики занимал другой докладчик пленарного заседания. Гильберт огласил 23 нерешенные проблемы, стоящие перед математикой в двадцатом веке. Остановимся на обозначении двух из них, полагая их непосредственное влияние на процессы эволюции инфраструктуры.

Первая проблема сводилась к разработке теории чисел и распадалась на две самостоятельные проблемы:

– обоснование трансфинитных чисел, введенных для обозначения мощности бесконечных множеств (например, для сравнения мощности множеств вещественных и целых чисел);

– разработка метода упорядочивания вещественных чисел, так, чтобы их множество стало вполне упорядоченным (например, для всех чисел более 5 нельзя определить первого члена).

Вторая проблема была связана с доказательством непротиворечивости аксиоматических теорий, получившая новый импульс к обсуждению в связи с обсуждением непротиворечивости неевклидовых геометрий.

Далее произошли события, которые Фреге охарактеризовал следующим образом: «едва здание было достроено, как фундамент рухнул». Но этот этап развития аксиоматического метода следует соотнести с третьим (реалистическим) этапов эволюции инфраструктуры.

2.2.3. СРЕДА СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭПОХИ «ПОКОРЕНИЯ» ПРИРОДЫ

Бурный прогресс математики качественно изменил представления о возможностях аксиоматического метода. Конституирование парадигмой Декарта-Ньютона дуальности Природы и ее аксиоматического образа знаменовало рождение Науки. Наука, на раннем этапе своего становления, отождествлялась с физикой, что явилось мощным стимулом для развития инфраструктуры. Пафос времени основывался на вере в объективность законов Природы, что следовало из непосредственного толкования парадигмы Декарта-Ньютона.

Как было показано выше, непосредственное прочтение положений утвердившейся парадигмы не соответствовало выводам теории уравновешивания. Согласившись с выводами Бриджмена следовало согласиться с присутствием в познавательной схеме внешнего элемента. В инженерной практике таким внешним элементом стало лицо, принимающее решения.

Аксиоматический метод, пусть и по своим причинам, обусловленным эмпирической данностью существования нескольких геометрий, согласился с невероятным ранее фактом допустимости нескольких трактовок аксиомы.

Следствием этих драматических событий явилось изменение познавательных схем, лежащих в основе приложений. Произошел отказ от доминирующей ранее схемы отображения. Доминирование в приложениях перешло к схеме уравновешивания. Это означает, что доминирующей схемой стала схема, порождаемая структурой рис. 1.2.1. Как было показано в Концепции структура допускает несколько интерпретаций, зависящих от трактовки природы ее элементов.

Исследовательская деятельность, направлена на познание законов Природы, что основано на трансцендентальных свойствах искомых законов. Такому пониманию отношения между эмпирическими проявлениями Среды и моделью ресурса (отождествляемого с проявлением трансцендентальности в ресурсе) соответствует структура рис. 1.2.3. Исследователь, изучая реализации указанного отношения формулирует закон Природы. При этом полагается, что формулирование закона основано на безусловности аксиом. Изменение аксиом влечет изменение трактовки закона Природа, что не требует изменения данных измерений.

Инженер не может свято верить в непогрешимость аксиом, даже если он слепо следует доминирующей парадигме. Вынужденное признание правоты рассуждений Бриджмена влечет изменение порождающей структуры отношений. Структура рис. 1.2.3. обеспечивает инженеру находить решения даже тогда, когда теория порождает неизменные решения. Структура. вводя в познавательное отношение лицо, принимающее решения, создает формальный механизм проверки соответствия проявлений ресурса выводам теории.

Уровень развития аксиоматического метода обеспечил возможность конструктивной реализации отношений теории уравновешивания. Реализации этого периода использовали замкнутую трактовку схемы уравновешивания.

Инфраструктура рассматриваемого периода основана на использовании двух вариантов реализации замкнутой схемы уравновешивания.

Первый класс реализаций основан на развитии построений, свойственных понятийной категории «эмпирическая система». в основе построений лежит моноистический способ интерпретации ресурса, выраженный в фиксации аксиоматической модели ресурса.

Дуалистическая природа интерпретаций выражена в возможности уравновешивать реакции ресурса воздействиями на ресурс. Замкнутый характер структуры уравновешивания выражен в субъективном характере решений по формирования воздействий, приписываемых лицу, принимающему решения.

Моноистическая природа трактовок ресурса выражается в унификации его образа, представленного на рисунке 2.2.1.

Приведенная универсальная структура отражает возможность ее реализации как в эмпирически проявленном ресурсе, так и в параметрах модели ресурса. Соответствие приведенного понятийного аппарата, одновременно эмпирическим и феноменологическим проявлениям, определяет форму реализации сущностных элементов инфраструктуры. Сущностные элементы реализуют управление воздействиями на ресурс на основе вычислений, реализуемых с использованием модели ресурса на основе данных наблюдения за ресурсом.

Ввиду того, что лицо, принимающее решения, является внешним по отношению к структуре уравновешивания элементом, структура именуется «замкнутой, с внешним управлением».

Обобщенная структура управляемой эмпирической системы приведена на рисунке 2.2.2.

Второй класс реализаций трактует лицо, принимающее решения в качестве элемента структуры уравновешивания. ЛПР реализует управление моделью ресурса. Управление основано на сравнении реакций ресурса с эталонными представлениями о требуемых к реакциям.

Реализации рассматриваемой схемы отношений основаны на комбинировании представлений, приведенных на рис. 2.2.1. Схема известна под схемой управления с обратной связью, обобщенная схема приведена на рисунке 2.2.3.

Структуры рис. 2.2.2. и 2.2.3. определяют все многообразие реализаций физических ресурсов, включенных в отношения инфраструктуры. Природа ресурса и сложность реализации не имеет значения. Формы, основанные на рассмотренных отношениях, не утратили актуальности и в наши дни.