2.4. ПРЕДПОСЫЛКИ СМЕНЫ ФОРМАЦИИ ИНФРАСТРУКТУРЫ
Человек – животное религиозное. Только обретя сразу несколько религий, он приобщается к истинной религии.
Основным выводом из ретроспективного анализа эволюции существенных факторов формирования инфраструктуры следует считать признание трансценденталистских трактовок Реальности неубедительным основанием для такого важного дела как поддержание существования Человека. Итог развития инфраструктуры, реализованной на положениях доминирующей в настоящее время парадигмы, можно выразить кратко: «мы мало что знаем об истинных целях существования, равно как и о способах достижения этих целей».
При этом неверно полагать, что чаяния людей, связанные с возможностью использовать результаты философских концепций, мощь аксиоматического метода или достижения естественных наук для улучшения качества существования, тщетны.
Вынужденный отказ от абсолютизации трансценденталистских интерпретаций очевидного факта собственного существования не опровергает объективность аксиоматических интерпретаций. Проблема неполноты и противоречивости аксиоматических моделей разрешается в случае разрешения проблемы неопределяемых понятий аксиоматических теорий.
Многообразие классов трансцендентальных интерпретаций, раздельно неполных и противоречивых, является условием их полноты и непротиворечивости. Такой парадоксальный вывод можно сделать на основе конструктивного прочтения теории эмпирического субъекта Сартра.
Признавая объективность трех способов трансценденталистских интерпретаций Реальности (моноистического, дуалистического и релятивистского) следует признать построения теории эмпирического субъекта Сартра искомой основой, способной разрешить обозначенную фундаментальную проблему, не отказываясь от рациональных трактовок Реальности.
2.4.1. ЭКЛЕКТИЧНОСТЬ ИНФРАСТРУКТУРЫ
Современная инфраструктура, созданная на основе развития идей гуманизма, представляет собой сложное явление, эклектично объединяющее в себе формы, порожденные самыми разными теориями. Такое положение вещей отражает присущую трансценденталистским интерпретациям Реальности эклектичность, объективно следующую из неполноты и противоречивости аксиоматических теорий.
Пафос гигантов эпохи Возрождения, ярко выраженный в творениях да Винчи, основанный на вере в неразрывность созидательных возможностей Человека и этических основ его существования, пройдя этап веры в предельную познаваемость Мира, породил Промышленную революцию, а в Новое время имел итогом разделение Знания на гуманитарное и точное.
В итоге инфраструктура представлена двумя сегментами:
– гуманитарным сегментом, представленным в Пособии архаическими формами правового регулирования отношений в социуме;
– техническим сегментом, представленным многообразием технических изделий (эмпирических систем), объединенных универсальными правилами сетевого взаимодействия.
Комментируя разделение инфраструктуры на сегменты с использованием положений рассмотренной в первом разделе Пособия концепции, следует отметить, что наблюдаемое разделение может быть объяснено несовместимостью универсальных контуров взаимодействия рис. 1.2.20, потенциально объединенных единством логического стека рис. 1.2.18.
Долгое время наблюдаемое разделение не вызывало большой озабоченности. Ментальность современного Человека не находит в разделении чего-либо неестественного. Проявления сложившегося статус-кво стали восприниматься как проблема только в начале текущего столетия. Разрушение баланса между сложившимися формами регулирования взаимодействия многих акторов предопределено развитием технологических возможностей сетевого взаимодействия ресурсов разной природы.
Наиболее значимой иллюстрацией происходящего является тенденция к потере управляемости процессов в инфраструктуре. Сегменты инфраструктуры, ранее выделенные на основе предположения о независимости ресурсов, оказались зависимыми. Это означает, что категория «управляемость», свойственная малым системам, теряет смысл из-за невозможности представить ресурс аксиоматической моделью.
Как было показано, структура рис. 2.3.2. порождающая открытые сетевые модели взаимодействия ресурсов, не чувствительна к прикладному процессу, определяющему правила сравнения ресурсов. Невозможность реализовать в структуре рис. 2.3.2. уравновешивание, свойственное отношениям рис. 1.2.2, предопределяет не реализуемость в инфраструктуре отношений, свойственных логическому стеку рис. 1.2.18. Это, в свою очередь, влечет уже обозначенный «разрыв» отношений между универсальными контурами взаимодействия рис. 1.2.20.
Практическим итогом ограниченности возможностей порождающей структуры рис. 2.3.2. являются многочисленные проблемы современной инфраструктуры. Тревожная тенденция ощущается практически всеми людьми, включенными в глобализованную цифровыми технологиями инфраструктуру. Обозначим некоторые из проблем.
Нечувствительность порождающей структуры сетевого взаимодействия рис. 2.3.2. к оценкам внешнего наблюдателя не отменяет объективно существующего влияния прикладных процессов на процедуры сетевого взаимодействия.
В современной инфраструктуре это явление может использоваться по-разному.
Самым очевидным и относительно безвредным следствием является соотнесение процедур адресации (взаимодействия элементов сетевой структуры) с внешними к рассматриваемой сети элементами, наделенными признаками субъектности.
Этот способ соотнесения элементов инфраструктуры, поддерживающих разные модели активности, лежит в основе сетевых технологий продвижения товаров на рынок.
Технология основана на возможности приоритетного «соединения» в сети сетевого элемента (средства коммуникации), принадлежащего потенциальному покупателю, с сетевым элементом продавца (сервером, поддерживающим прикладной процесс продаж). налицо смешение в едином процессе телекоммуникационного взаимодействия разнородных прикладных процессов. При этом покупатель не имеет информации о прикладном процессе продавца и не имеет возможности повлиять на него в рамках принимаемых покупателем стандартов взаимодействия.
Невелик ущерб от навязывания контента в случае, если навязываемый контент не искажает интерпретации Реальности. Гораздо опаснее навязывание контента, учитывающего механизмы восприятия. Если принять модель восприятия Реальности, основанную на триединстве способов восприятия (определяющих существо отношений в логическом стеке), то окажется, что искажение данных в любом из универсальных контуров взаимодействия может иметь следствием аберрации восприятия Реальности.
На этом принципе могут быть построены технологии умышленного или неумышленного влияния на активность субъектов социума. Навязывание искаженной информации в одном или нескольких контурах взаимодействия, присущих логическому стеку доступа в инфраструктуру, влечет аберрации восприятия Реальности человеком.
Тотальность «разрыва» интерпретаций Реальности, отражающих неполноту и противоречивость аксиоматических моделей, фактом их включения в сетевые отношения, являет неутешительную картину утраты адекватности.
2.4.2. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ПРИРОДА СУБЪЕКТНОСТИ
Кризис трансценденталистских интерпретаций Реальности требует переосмысления трактовок категории «субъект», являющейся основой современных схем познавательной деятельности.
Рассматриваемая в третьем разделе Пособия феноменология инфраструктуры основывается на использовании не трансценденталистских построений, основанных на теории эмпирического субъекта, разработанной Ж.П. Сартром.
Исходным пунктом теории эмпирического субъекта является признание двух проявлений трансцендентной Реальности, в процессе взаимодействия формирующих объективную сущность «Я≠Я». Объективными формами проявленности Реальности признаются проявления материального бытия и (бытие «В себе») и сознания (бытие «Для себя»).
Дадим краткое изложение положений теории, необходимых для понимания формируемой феноменологии инфраструктуры.
По Сартру бытие «В себе» существует само по себе и не нуждается во втором. Бытие «для себя», напротив, невозможно без первого, ибо лишено какого-либо содержания, абсолютно пусто, открыто как для внешнего мира, так и для самого себя, представляет собой «ничто», дыру в бытии «В себе» и нуждается в наполнении.
Однако, именно потому, что сознание является как бы выключенным из действия всех субстанциональных связей и зависимостей оно является абсолютно свободным. Именно поэтому сознание является не просто пустотой, заполняемой извне, а особого рода бытием, центром активной свободной деятельности.
Содержание, поставляемое бытием «В себе», не определяет деятельности сознания, а служит только своеобразным поводом для развертывания бытия «Для себя». Содержание сознания (бытия «Для себя») по Сартру сводится к отрицанию (негации) какой-либо зависимости.
При этом сознание не существует вне материального мира, вне бытия «В себе». Сознание не может быть уподоблено кантовскому или гусерлевскому трансцедентальному субъекту так как:
– как бы включено в мир материальных объектов, хотя само не является объектом;
– сознание фактично и существует в конкретных ситуациях, соотносимых с телом субъекта.
Можно говорить, что в известном смысле сознание совпадает с телом эмпирического субъекта, неотличимо от него. Речь идет о том аспекте, который специфически характеризует исходное, первоначальное восприятие индивидом собственного тела и который принципиально отличается от того, в каком меня, мое тело воспринимает другой субъект. В первоначальном, исходном опыте Я не воспринимаю себя как объект. Глаз не видит самого себя. Я в этом случае не являюсь объектом, в том смысле, что не выделен «вне меня», то есть не принадлежу к бытию «В себе».
Но утверждения психологии исходят из существования моего тела как материального объекта, движения которого я ощущаю. Это ощущение моего движения связывает меня с окружающими предметами и, тем самым, связывает мои ощущения и переживания с процессами, происходящими в окружающем мире.
В отличие от указанной распространенной точки зрения Сартра, в первичном исходном опыте индивиду не дано его тело в качестве объекта. Поэтому индивид не может какие-либо процессы своего сознания связывать со своим телом.
Исходным образом индивиду даны только мир внешних материальных объектов, и он сам как отличный от этих объектов, как сознание или бытие «Для себя».
При этом переживания индивида относятся к бытию «В себе». Например, если индивид чувствует сопротивление при воздействии на внешний предмет, то эта сопротивляемость связывается не с действием руки, а как свойство предмета.
В опыте тело индивида выполняет функции:
– определяет фактичность сознания, то есть фиксирует конкретную ситуацию получения опыта;
– реализует активность сознания в процессе познавательной деятельности.
Таким образом, бытие «Для себя» это не то же что психика или субъективный мир. Бытие «Для себя» принципиально апсихологично. Возникновение особого субъективного мира является следствием объективизации сознания и выражает искаженное понимание исходных характеристик бытия «Для себя». Феноменологическое описание по Сартру не предполагает никаких научных результатов, и наука должна считаться с данными феноменологического анализа, а не наоборот.
Отношение между бытием «Для себя» и бытием «В себе» есть не только исходный пункт рассуждений, но и подлинное содержание процесса познания.
В основе этого взаимодействия бытия «Для себя» и бытия «В себе» лежит индивидуальное сознание. Индивидуальное сознание влияет на формирование индивидуального Я, но не сводится к нему.
Индивидуальное Я формируется в процессе объективизации бытия «Для себя» бытием «В себе». Постоянно формируемое в процессе взаимодействия двух начал индивидуальное Я определяет внутреннюю жизнь индивида (переживания, анализ, действие).
Сознание (индивидуальное Я) не является трансцендентальным Я в духе Гуссерля по следующим причинам:
– является эмпирически фактичным (соотносится с эмпирическими переживаниями «тела»);
– является феноменологически фактичным (имеет образное содержание).
Акт рефлексии применим к индивидуальному Я и не применим к сознанию в форме бытия «Для себя». Процесс рефлексии является важ-ным элементом формирования Я рассматриваемого как процесс специ-фического его отрицания на основе известного отношения «Я-не Я».
В отличие от Фихте Сартр не рассматривает акт рефлексии с позиций трансценденталистской интерпретации Абсолютного субъекта. Для Сартра Я может быть только эмпирическим и отражает неповторимые черты конкретного индивида. В этом контексте различие индивидуальных сознаний (бытия «Для себя») отличаются только тем, что представляют разные точки активности, вокруг которых формируются различные индивидуальные (эмпирические) Я.
Рефлексия, как отрицание Я другим не-Я, соотносится Сартром с наличием других индивидуумов (субъектов). Рефлексия возникает в случае наличия внешнего субъекта, рассматриваемого как объект с особыми свойствами. Особенность субъекта-объекта состоит в том, что:
– этот субъект-объект наделяется способностью мыслить подобно рефлексирующему субъекту;
– сознание субъекта-объекта недоступно познанию рефлексирующим субъектом;
– познавательная деятельность субъекта-объекта проявляется для рефлексирующего субъекта в форме эмпирических данных бытия «В себе»;
– проявления субъекта-объекта рассматриваются рефлексирующим субъектом в качестве отрицания «не-Я», формирующего отношения внешнего субъекта к реалиям индивидуального Я рефлексирующего субъекта.
Источником познавательной деятельности по Сартру является уравновешивание двух начал в сознании:
– стремление к опредмечиванию (наполнению) бытия «Для себя» бытием «В себе» в ходе формирования индивидуального Я;
– стремление противостоять опредмечиванию за счет сохранения возможности к отрицанию, тем большему, чем менее опредмечено сознание.
Мир объективных материальных предметов принадлежит бытию «В себе» и дан субъекту непосредственно в опыте (вне научных схем). Образ непосредственно данных эмпирических данных опосредуется бытием «Для себя», формируя индивидуальное Я. Это означает, что индивидуальное Я отделено от реального эмпирического знания «призмой ничто» в форме индивидуального бытия «Для себя». Именно эта «призма» формирует барьер между сознанием и миром материального бытия. Причиной существования такой призмы, по Сартру негации (отрицания), является исходная характеристика времени, ставящая в соответствие присущим бытию «В себе» пространственным причинно-следственным связям, присущие бытию «Для себя» временные причинно-следственные связи.
Компромиссом борьбы двух начал является уравновешивание объема бытия «В себе». Непрерывность этого процесса приводит Сартра к отрицанию выводов Декарта, Канта и Фихте. Он считает, что Я не равно самому себе. Эту мысль можно сформулировать иначе: «Сознание есть не то, что оно не есть и не есть то, что оно есть».
Восприятие положений теории Сартра обеспечивает понимание механизмов взаимосвязи в едином бытии «Для себя» двух форм эмпирической проявленности бытия «В себе». Познавательные схемы теории эмпирического субъекта подготавливают возможность конвер-генции трех способов интерпретации Реальности, формируемых в трех универсальных контурах взаимодействия единого логического стека.
2.4.3. РЕЛЕВАНТНОСТЬ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Кризисные явления в аксиоматическом методе показали беспочвенность его притязаний на формирование «абсолютного» знания. Работы Геделя, Цермело, Левенгейма, Сколема и многих других убедительно показывают, что аксиоматическая непротиворечивость математической модели может быть достигнута ценой ее неполноты.
Построения теории познания, конституирующие на первый взгляд абсурдное утверждение «Я≠Я», открывают путь к разрешению проблемы неполноты и противоречивости аксиоматических теорий.
Этот вывод настоятельно требует более внимательно отнестись к аргументации родоначальников школ логицизма, интуиционизма, формализма и теоретико-множественной школы, полагая, что в их аргументах содержатся предпосылки возможного развития.
Многообразие трактовок оснований аксиоматического знания, является проявлением глубинных свойств врожденно присущего Человеку способа существования. Внимательное отношение к аргументации математических школ представляется крайне важным для разработки конструктивных практик реализации построений теории эмпирического субъекта в инфраструктуре.
Ход рассуждений представителей логистической школы весьма упрощенно можно свести к следующим тезисам. Законы логики незыблемы. Математика полностью может быть выведена из логики. Если законы логики истинны, то истинна и математика. Истина не противоречива, а, значит, и математика должна быть не противоречивой.
Истоки метода логистической школы следует искать в работах Лейбница, разделявшего истину на необходимую и случайную. В работах Дедекинда декларировалась природа числа на основе эманации чистого разума. В свою очередь Фреге относил математические законы к числу так называемых аналитических суждений. В своих обоснованиях основ логики Рассел предпринял огромные усилия по выяснению правомочности постулирования аксиом. Он писал по этому поводу: «Метод постулирования того, что нам требуется, обладает многими преимуществами, но такими же преимуществами обладает воровство перед честным трудом». Рассел считал, что принципы логики и объекты математического знания существуют независимо от разума и лишь воспринимаются им. Наиболее полно идеи логистической школы изложены в совместном труде Рассела и Уайтхеда «Основания математики».
Как и подобает аксиоматической теории, в работе Рассела и Уайтхеда содержится обоснование неопределяемых понятий (понятие элементарного высказывания, присвоение элементарному высказыванию значения истинности, отрицание высказывания, конъюнкция и дизъюнкция двух высказываний, понятие пропозиционные функции), формулируются аксиомы логики, осуществлен вывод основных теорем. Основным результатом работы можно считать формирование пропозиционных функций на основе теории типов.
В основе теории типов лежит идея иерархии. В основе иерархии (тип 0) находятся простые типы, например, книга, Петр и т. д. Любое утверждение о свойстве элемента типа 0 будет иметь тип 1. Любое утверждение о свойстве свойства будет иметь тип 2. И так далее.
Введенный подход к классификации пропозиционных функций на основе типов позволяет разрешить противоречия, связанные с формулированием свойств элемента на основе использования самого элемента (гетеро логические парадоксы). В рамках теории типов была сформулирована теория отношений. Далее Рассел и Уайтхед излагают явную теорию классов или множеств, определяемых с помощью пропозиционных функций.
Предпочтительность использования теории типов существенно нивелируется при попытке использования ее в качестве основы для строгого обоснования основ математики в виду усложнения логических построений. Разрешение проблемы сложности построений достигается введением аксиомы сводимости (любая пропозиционная функция одного переменного или двух переменных эквивалентна некоторой функции типа 1 от того же числа переменных, к какому бы типу ни принадлежали переменные).
Логический подход подвергся резкой критике. В основе критики находились вопросы использования трех аксиом: сводимости, бесконечности и выбора. Под сомнение ставилось отнесение этих аксиом к логике, а, следовательно, и основной тезис логицизма о возможности выведения математики из логики.
Интуиционистская школа пыталась решать ту же, что и логистическая школа, задачу обоснования математики. При этом ими был избран метод, в значительной степени отрицающий подходы логистической школы.
Основой метода рассуждения интуиционистов была ссылка на человеческий разум. Выводы из логических принципов интуиционисты считали менее надежными, чем непосредственные интуитивные соображения. Идеи интуиционистов восходят к Декарту, Паскалю и Канту, которые, тем не менее, не рассматривали интуиционистский подход как основу всего здания математики.
Непосредственным предшественником интуиционизма был Кронекер, сформулировавший фабулу школы словами: «Господь Бог создал целые числа; все остальное – дело рук человеческих». Сложную логическую концепцию целого числа Кантора и Дедекинда, базирующуюся на теоретико-множественной основе, Кронекер считал менее надежной, чем непосредственное принятие целых чисел.
По мнению Кронекера, целые числа интуитивно понятны и не нуждаются в более строгом обосновании. Все остальные математические понятия следовало строить так, чтобы их смысл был интуитивно понятен.
Пуанкаре, как и Кронекер, считал, что не следует давать определения целым числам или выводить их свойства на аксиоматической основе. Кроме того, Пуанкаре считал, что математическая индукция является общим принципом, не сводимым к логике и допускающим получение новых результатов.
Целостная теория интуицианизма была создана Брауэром в период с 1907 по 1918 годы. Математика, по мнению Брауэра, это человеческая деятельность, которая начинается и протекает в разуме человека. Вне человеческого разума математика не существует. Следовательно, математика не зависит от реального мира. Разум непосредственно постигает основные, ясные и понятные, интуитивные представления. Они являются не чувственными или эмпирическими, а непосредственно данными, достоверными представлениями о некоторых математических понятиях. К таким понятиям относятся целые числа.
Фундаментальное интуитивное представление по Брауэру – постижение различных событий в хронологической последовательности. «Математика возникает тогда, когда сущность двойки (числа два), возникающая вследствие хода времени, абстрагируется от всего частного. Остающаяся пустая форма общего содержания всех двоек становится исходным интуитивным представлением математики и, повторяемая неограниченно, создает новые математические сущности».
Под неограниченным повторением Брауэр понимает образование последовательных натуральных чисел. Идею о том, что понятие целого числа является производным от интуитивного представления о времени, высказывали Кант, Гамильтон и Шопенгауэр.
Математическое мышление, по Брауэру, представляет собой процесс мысленного построения, создающего свой собственный мир, не зависящий от опыта и ограниченный лишь тем, что в основе его должна лежать фундаментальная математическая интуиция. Это фундаментальное интуитивное понятие следует представлять себе не как нечто сходное по природе с неопределяемыми понятиями, встречающимися в аксиоматических теориях. Наоборот, через него должны постигаться разумом все неопределяемые идеи, используемые в различных математических системах. Интуиция (а не опыт или логика) определяет правильность и приемлемость идей.
Помимо натуральных чисел Брауэр считал интуитивно ясными сложение, умножение и математическую индукцию. Кроме того, признавались потенциально бесконечные множества, получаемые как неограниченное повторение «пустой формы» – шаг от n к (n+1). Брауэр признавал ординарные числа и счетные множества. Отвергались актуально бесконечные множества, трансфинитные числа, аксиома выбора Цермело и те разделы анализа, которые использовали актуально бесконечные множества.
Брауэр считал, что математика является полностью автономным видом человеческой деятельности и не зависит от языка (устного и письменного). Слова или словесные связки используются в математике только для передачи истин. Математические идеи уходят своими корнями в человеческий разум глубже, чем в язык. Мир интуитивных математических представлений противостоит миру восприятий. Язык принадлежит к миру восприятий и пробуждает в разуме копии идей. Математические идеи не зависят от словесного выражения. Идеи всегда богаче словесного или символьного представления.
Логика принадлежит языку. Она дает систему правил, позволяющих осуществлять дедуктивный вывод новых словесных связок, предназначенных для передачи идей (истин). Логика не является надежным инструментом для открытия истин. Логические принципы – это закономерности, наблюдаемые апостериорно в языке.
Логика рассматривается как наделенное внутренней структурой словесное построение. Самые значительные успехи в математике достигнуты не за счет усовершенствования логической формы, а в результате изменений основной теории. Логика строится на математике, а не математика на логике. Если смотреть исторически, то принципы логики сначала были абстрагированы из опыта, накопленного в обращении с конечными множествами, после чего их объявили обладающими априорной справедливостью и в дополнение ко всему распространили на бесконечные множества.
Брауэр, тем самым, отвергал математическую задачу вывода заключений из аксиом. По этой причине логические парадоксы не имеют значения, так как парадоксы являются дефектом логики, а не математики.
При этом признавалось наличие в логике некоторых ясных интуитивно приемлемых принципов и методов, которые можно использовать для вывода новых теорем из старых. Эти принципы, по Бауэру, входят в фундаментальную математическую интуицию. Не все из логических принципов приемлемы для фундаментальной интуиции.
В качестве примера логического принципа, применяемого излишне свободно, Брауэр приводит закон исключенного третьего. Этот принцип, утверждающий, что каждое осмысленное высказывание либо истинно, либо ложно, исторически возник в рассуждениях, проводимых применительно к конечным множествам, и был абстрагирован из них. Затем закон исключенного третьего был принят как независимый и априорный принцип и необоснованно распространен на бесконечные множества.
Если принять, что утверждение Брауэра справедливо, то следует признать не доказанными ряд существенных теорем, например, теорему Больцано – Вейерштрасса (каждое ограниченное бесконечное множество имеет предельную точку), теорема о существовании максимума непрерывной функции на замкнутом отрезке и другие.
Отрицание закона исключенного третьего приводит к возможности появления новых типов неразрешимых высказываний. В бесконечных множествах возможна ситуация, когда могут существовать высказывания, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Интуиционисты предприняли усилия перестройки на новой основе основных разделов математики. Однако, предлагаемые ими конструктивные подходы, отличались непреодолимой сложностью реализации.
Несложно представить какой шквал критики вызвала на себя эта школа со стороны ведущих математиков того времени Гильберта, Клейна, Паша и других.
Это направление в математике возглавил Гильберт. Становление школы сопряжено с критикой других направлений в математике.
С логицизмом Гильберт разделался довольно спокойно. Его главное возражение сводилось к тому, что в ходе длительного и сложного развития логики целые числа оказались, хотя и неявно, вовлеченными в присущую ей систему понятий. Следовательно, занимаясь построением понятия числа, логика в действительности ходит по кругу.
Критике, кроме того, подвергся подход к заданию множеств по их свойствам, что требовало определения различий пропозиционных функций по типам, что, в свою очередь, предполагало использование сомнительной аксиомы сводимости.
Гильберт разделял мнение Рассела и Уайтхеда о необходимости включения в математику бесконечных множеств. Но для этого потребовалась бы аксиома бесконечности, а Гильберт не считал ее аксиомой логики.
Интуиционизм также не устраивал Гильберта, так как он отвергал не только бесконечные множества, но и обширные разделы анализа, опирающиеся на чистые теоремы существования.
Свое несогласие он выразил в 1927 году следующими словами: «Отнять у математиков закон исключенного третьего – это то же самое, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками. Запрещение теорем существования и закона исключенного третьего почти равносильно полному отказу от математической науки».
В том же году Гильберт подвел черту под анализом достижений разных школ: «Математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь ни, как Кронекер, в господе Боге, ни, как Пуанкаре (который считал, что доказать непротиворечивость системы, использующей математическую индукцию, невозможно), в предположении об особой, построенной на принципе полной индукции способности нашего разума, ни, как Брауэр, в первоначальной интуиции, наконец, ни, как Рассел и Уайтхед, в аксиомах бесконечности, редукции (сводимости) или полноты, которые являются подлинными гипотезами содержательного характера и, сверх того, вовсе не правдоподобными».
Гильберт сформулировал свой подход к обоснованию математики. В работе «О бесконечности» он сформулировал основную задачу разрабатываемой теории: «эта теория ставит своей целью установить определенную надежность математического метода».
Первый из тезисов Гильберта состоял в том, что, поскольку логика, развиваясь, непременно включает в себя математические идеи и поскольку для сохранения классической математики нам неизбежно приходится привлекать внелогические аксиомы типа аксиомы бесконечности, правильный подход к математике должен включать понятия и аксиомы не только логики, но и математики. Кроме того, логика должна чем-то оперировать, и это что-то состоит из внелогических конкретных понятий (таких, как понятие числа), воспринимаемых интуитивно еще до того, как мы начали рассуждать логически.
Принятые Гильбертом логические аксиомы несущественно отличались от аксиом Рассела. Но так как, согласно Гильберту, математика не выводима из логики, то аксиоматика, как логики, так и математики должна включать логические и математические аксиомы.
Математику следует рассматривать не как фактическое знание, а как формальную (абстрактную) дисциплину, занимающуюся преобразо-ванием символов безотносительно к их значению.
Чтобы избежать неоднозначности языка бессознательного использования интуитивных представлений, приводящих к парадоксам, необходимо записывать все утверждения логики и математики в символической форме. Символика логики в основном была разработана в конце девятнадцатого века. Гильбертом были заимствованы известные символы для обозначения первичных неопределяемых понятий «не», «и», «или», «следует», «существует». Символические обозначения для математики были разработаны давно.
По замыслу Гильберта из выбранных им аксиом должны были следовать все законы логики Аристотеля.
В любой области математики, имеющей дело с числами, существуют аксиомы арифметики.
Формальная система, представляющая теорию множеств, должна содержать записанные в виде комбинации символов аксиомы, которые указывают, какие множества допустимо образовывать.
Записав все математические и логические аксиомы в виде символических формул, Гильберт подготовил все необходимое для ответа на главный вопрос: что следует понимать под объективным доказательством. По Гильберту, строгое доказательство складывается из трех этапов:
– предъявление некоторой формулы;
– утверждение, что из предъявленной формулы следует другая формула;
– предъявление второй формулы.
Последовательность из этих трех этапов, в которой вторая предъявляемая формула является следствием из принятых ранее аксиом или выведенных ранее заключений, и является доказательством теоремы.
Собственно, математику Гильберт рассматривает как набор формальных систем, каждая из которых имеет свою логику, обладает своими собственными понятиями, своими аксиомами, своими правилами дедуктивного вывода и своими теоремами. Развитие каждой из этих систем и составляет задачу математики.
В кратко рассмотренной программе построения математики центральное место занимает доказательство непротиворечивости арифметики, являющейся основой для доказательства непротиворечивости остальных разделов математики.
Доказательство непротиворечивости арифметики проводилось Гильбертом и его учениками Аккерманом, Бернайсом и фон Нейманом с использованием понятия материальной импликации. Результатом этих работ было создание теории доказательства – метод доказательства непротиворечивости любой формальной системы.
Для этой цели Гильберт предложил использовать особую логику, которая не вызывала бы никаких возражений. По существу, эти идеи Гильберта были близки принципам интуиционизма. Все спорные моменты – доказательство существования от противного, трансфинитная индукция, актуально бесконечные множества, непредикативные определения – старательно изгонялись. Доказательства существования должны были быть конструктивными. Ссылка на бесконечное число структурных свойств формулы объявлялись недопустимыми.
Понятия и методы метаматематического доказательства Гильберт назвал финитными. Строгого определения этого термина дано не было.
Рассел критиковал предложенные построения Гильберта по нескольким позициям. Он считал, что используемые формалистами аксиомы арифметики не задают однозначно значения символов 0, 1, 2, …. с тем же успехом счет можно было бы начать с того, что мы интуитивно понимаем под числами 100, 101, 102, … . Поэтому утверждение «Апостолов было 12» с точки зрения формализма лишено смысла.
Рассел подверг критике и формалистское понятие существования, называя его метафизическим.
Интуиционисты подвергли формализм массированной критике. Кри-тика Брауэра заставила многих осознать неправильность казавшегося ранее бесспорным мнения о том, что великие математические теории правильно отражают некое заложенное в них реальное содержание.
Помимо разногласий по основополагающим вопросам трактовки бесконечности и закона исключенного третьего интуиционисты выступали против формалистской интерпретации существования в математике. Гильберт утверждал, что существование любого математического объекта гарантируется непротиворечивостью той области математики, в которой он был введен. Эта трактовка не могла быть принята интуиционистами. Они указывали на аргументацию, выдвинутую за двести лет до этого Кантом в «Критике чистого разума»: «Бесплодная попытка подменить логическую возможность понятия (поскольку понятие не противоречит само себе) трансцедентальной возможностью вещей (поскольку понятию соответствует предмет) может обмануть и удовлетворить разве что неискушенного человека».
В итоге логицисты признали, что аксиомы логики не являются универсальными истинами и поэтому их непротиворечивость отнюдь не гарантирована автоматически. Интуиционисты, в свою очередь, могли лишь утверждать, что надежной гарантией непротиворечивости служит сама интуиция. При этом в арсенале формалистов находилась тщательно продуманная процедура доказательства непротиворечивости, которая с успехом применялась к простым системам.
Истоки теоретико-множественного направления можно проследить в работах Дедекинда и Кантора. Оба эти математика занимались главным образом изучением бесконечных множеств. Однако они приступили к теоретико-множественному обоснованию целых (натуральных) чисел, понимая, что если бы им удалось обосновать целые числа, то тем самым была бы обоснована и вся математика.
Противоречия в канторовской теории множеств (связанные с понятиями наибольшего кардинального и наибольшего ординального числа) и противоречия типа парадокса Рассела были связаны с проблемой формального определения множеств. Определения, предложенные Кантором, считаются наивными.
Важный вклад в теорию был внесен Цермело, использовавшего аксиому выбора. Цермело использовал систему аксиом, которая оставляла неопределенными фундаментальные понятия множества и отношение включения одного множества в другое. Цермело не проводил различия между свойством, задающим множество, и самим множеством.
Различие между свойствами множества и множеством было введено Френкелем в 1922 году. Система аксиом теории множеств, созданная указанными авторами, известна как система Цермело – Френкеля:
– два множества тождественны, если они состоят из одних и тех же элементов;
– существует пустое множество;
– если х и y – множества, то неупорядоченная пара {х, у} также множество;
– объединение любого множества множеств есть множество;
– существуют бесконечные множества (допустимы трансфинитные кардинальные числа, не подлежит проверке опытом);
– любое свойство, формализуемое на языке теории, может быть использовано для определения множества;
– допускается образование множества подмножеств любого множества;
Аксиомы Цермело – Френкеля не допускают к рассмотрению множество, которое содержит все множества.
Теоретико-множественное направление, так же, подверглось критике. Критика, в основном, сводилась к нескольким принципиальным положениям:
– правомочности применения аксиомы выбора;
– нечеткость логических оснований теоретико-множественного подхода;
– аксиомы теории множеств весьма произвольны.
Тем не менее, это направление нашло много сторонников и может рассматриваться как предтеча более поздних эволюций основ математики, совершенных после опубликования работ Геделя.
Наиболее яркими последователями теоретико-множественной школы, работавшими гораздо позже рассматриваемого периода времени, может рассматриваться группа математиков, известная под объединяющим псевдонимом Никола Бурбаки. Представители этой группы в 1936 году поставила перед собой задачу доказать, что если принять аксиоматику теории множеств Цермело – Френкеля (в переработке Бернайса и Геделя) и некоторые принципы логики, то на них можно построить всю математику.
Школа Бурбаки отвергла Фреге, Рассела, Брауэра и Гильберта. Ее представители используют аксиому выбора и закон исключенного третьего, хотя выводят его с помощью приема, предложенного Гильбертом. Группу Бурбаки не заботила проблема непротиворечивости. Они отражали коллективную уверенность математиков в том, что если противоречия, возникавшие в прошлом, успешно преодолевались, то и грядущие противоречия математика преодолеет.
Столетний юбилей, знаменующий разделение математики на школы, по-разному трактующие основания аксиоматической науки, важен для предмета пособия фактическим признанием зависимости аксиоматического знания от эмпирики, «скрытой» от взоров математики неопределяемыми понятиями. Глубочайший кризис, поразивший математику сто лет назад, является шансом для эволюционного развития инфраструктуры.
2.4.4. ПРЕДПОСЫЛКИ СМЕНЫ ПАРАДИГМЫ
Кризисные явления, поразившие аксиоматический метод, и пессимизм, царящий в рядах поборников безудержного прогресса, не является основанием для растерянности в рядах людей дела. Очевидность необъяснимой выживаемости Человека является той опорой, на которую следует сделать ставку.
Для того чтобы выработать план действий, необходимо провести инвентаризацию возможностей, с которыми Человек вступает в следующий этап своего развития.
Во-первых, накоплен и «испит до дна» опыт реализации чаяний, основанных на трансценденталистском понимании познаваемости Природы.
Во-вторых, определены «пределы», ограничивающие конструктивность притязаний «рамками» неопределяемых понятий аксиоматических теорий, содержательностью категории континуум и разрешимостью проблемы выбора.
В-третьих, осознана неразрывность Человека и Среды, имеющая конструктивную реализацию при условии сопоставимости Инфраструктуры с Человеком и Средой.
В-четвертых, уровень развития теории познания, аксиоматической науки и технологий достаточен для синтеза, способного породить новые образы Реальности, отличные от ресурсных.
Понятно, что достигнутый уровень развития никак не соответствует доминирующей парадигме, интерпретирующей Реальность в образах замкнутых ресурсов. Назрела смена парадигмы.
Новая парадигма не может возникнуть ранее, чем будет накоплен опыт использования в практике новых образов Реальности.