Логарифмы. Часть 1. Теория.
Боль для обывателей и довольно простая тема для тех, кто чуть-чуть продвинут в математике.
Что это такое?
Мы уже умеем возводить числа в степень (скажем, в 2 в третьей степени это 8), можем даже определить основание по показателю и результату возведения, используя операцию извлечения корня n-ой степени(например, 3 степени из 8 это 2). Но что делать, если нужно определить показатель?
В простых случаях его можно подобрать.
К примеру, чтобы получить из 2 64, достаточно перемножить его само на себя 6 раз, ну или возвести в 6 степень, что по сути одно и то же. Если нужно получить ½, то можно возвести 2 в степень -1. Нужен корень из 2? Можно возвести в степень ½ (эквивалентно извлечению квадратного корня) . Пока что справляемся обычным подбором.
А если нужно получить, например, 3?. Наши попытки найти заветный показатель ни к чему не приведут. Еще бы, ведь он не натуральный, не целый и даже не рациональный. Это число и будет тем самым логарифмом. Значение показателя - логарифм 3 по основанию 2
Дадим теперь строгое определение логарифма
Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0,b>0,a≠1) называется показатель степени с, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b.
Почему же мы вдруг отсекли часть значений a и b? Почему число b должно быть положительным? Почему a положительное и не равное единице? Сделано это для того, чтобы убрать некоторую неопределенность.
Например, при a=1 и b=1 любое число подходит под значение с, но ведь результат действий явно должен быть однозначным. Если разбираться (чего мы делать не будем – не имеет особого отношения к теме), то выйдет, что все ограничения вполне обоснованы.
Свойства логарифма.
Все нужные свойства логарифма в этой картинке:
Для лучшего понимания свойства желательно доказать. Настоящие математики терпеть не могут зубрежки, и обычно хотят разобраться во всем по порядку.
Давайте доказывать свойства.
ОЛТ (основное логарифмическое тождество) следует из определения логарифма. Свойства 1 и 2 следуют из свойств степени (любое ненулевое число в степени 0 - единица, любое число в степени 1 равно самому числу). А вот с остальными свойствами придется разобраться.
Вот, например, доказательство свойства 3:
Свойство 4 расширяет область определения b, уменьшая варианты выбора показателя возведения в степень. Понятно, что число в четной степени всегда положительно. Чтобы не потерять определенности при отрицательном знаке выражения в основании степени, мы используем модуль (модуль всегда неотрицателен).
Свойство 5(переход к новому основанию) доказывается так:
В целом, доказательства всех свойств очень похожи. Мы немного преобразовываем выражение в левой и в правой части, возводим в степень с показателями, равными этим выражениям, используем ОЛТ и свойства степени, а потом работаем с показателями степеней.
Доказательства свойства 6(сумма логарифмов) строится по тому же принципу:
Оставшиеся два свойства предлагаю доказать самостоятельно, это прокачает ваши навыки работы со степенями и логарифмами, да еще и поспособствует развитию математической культуры.
Свойства логарифмической функции (y = log a x)
Область определения: x>0
Монотонно возрастает при a>1 и монотонно убывает при 0<a <1
Проходит через точку (1;0)
График логарифмической функции:
Зачем нам это все вообще нужно?
С помощью свойств монотонной функции мы можем переходить от логарифмических уравнений и неравенств к рациональным.
Сами свойства(естественно, те, которые необходимы для равносильных переходов) :
Если f(x) монотонная и f(a)=f(b),то a=b
Если f(x) монотонно возрастающая и f(a) V f(b) ,где V-любой знак неравенства ,строгий или нестрогий, то a V b
Если f(x) монотонно убывающая, то:
а) если f(a)>=f(b), то a<=b
б) если f(a)>f(b), то a<b
в) если f(a)<=f(b), то a>=b
г) если f(a)<f(b), то a>b
Эти свойства следуют из определения монотонных функций. Разобраться будет легче, если взглянуть на график любой такой функции.
А вот пример использования этих свойств при решении неравенств:
Естественно, так подробно можно не писать. А ограничиться просто значком равносильности.
Вот, в принципе, и вся теория по логарифмам.
Следующая статья будет посвящена подходам решения логарифмических уравнений и неравенств.