Почему спираль логарифмическая?
Бабушкам дошкольников о логарифмах
"Ж/Д-товарная, следующая станция..." человек с чемоданом подхватывается - Мне выходить? - Нет-нет, вам через две остановки.
- Как вы понимаете ситуацию - ему одну остановку пропустить, а на следующей выйти или проехать мимо двух, а выйти на третьей?
Наблюдения показывают наличие разночтений в этом вопросе : одни имеют в виду остановку как место, оснащенное указателем и павильончиком, их и подсчитывают - "первая", "вторая" (и тогда сообщение подразумевает "через два, на третьем остановочном пункте"), а другие "остановкой" именуют прогон между пунктами "нам еще две остановки ехать!" - один прогон, еще один, выходим. Поэтому осторожный человек почти всегда на подъезде ко второму еще раз переспрашивает.
А какие споры были по поводу милениума! - Праздновать ли наступление нового тысячелетия в 2000 или через год?
Юбилей празднуют со дня основания, 2000-й - такой же юбилей, Нашей Эры! - настаивали одни.
21-й ящик водки начинается с 21-й бутылки, а не с 20-й, возражали оппоненты.
Город Забугорск, основанный в нулевом году тысячелетия, отметил первую круглую дату в 2010-м и вошел в свое новое десятилетие. Десять годовых интервалов прошло со дня основания, десять бутылок вод шампанского было распито по торжественному случаю. Если складывать бутылки в ящик на десять ячеек - как раз заполнится первый.
Вот в этом и была загвоздка: в дискретном выражении, когда считают штуками - новое десятилетие горожане размочат только через год, с появлением первой бутылки во втором ящике. Но, жизнь течет непрерывно, очередной десятилетний интервал начнется сразу же по окончании предыдущего.
В былые времена обучение счету по линейке считалось методически не верным, при всей наглядности и пропедевтике: упор был на дискретном подходе, теории множеств; "числовой луч" упоминался лишь предваряя оси координат; числовым интервалам уделяли меньше внимания, отсюда и смятение в обыденных представлениях.
"Раппорт в вязании — это повторяющийся элемент узора", т.е. некоторое число петель.
"Через каждые семь петель вывязывайте одну изнаночную" - сколько петель в раппорте 7 или 8 ?
Когда я училась, отчет по линеечке рекомендовали только безнадежно отстающим "пусть уж хоть как-нибудь освоит"
Сложение и умножение при помощи двух прозрачных линеек и двух цветных резиночек.
Ныне на страницах Арифметики прыгают зайчики и белочки по числовому лучу
(парадигма изменилась, раньше готовили к функциональному анализу на числовых множествах,
теперь ведущим разделом стало исчисление остатков (вычисления по модулю);
чтобы к ним подступиться, важно представление о повторяющихся интервалах, "раппортах")
"Счетное устройство" из китае-шопа подводит, в том числе, к представлению об остатках (сколько каждому из чисел в красной рамке не хватает до шести - показано в синем окошке)
Что-то это всё напоминает. Вот такая штука прежде была в каждом доме у каждого старшеклассника -
Трудно постигнуть красоту логарифмов, не познакомившись с ними на ощупь.
- Как это устроено?
- Лучший способ разобраться во "внутренних пружинах" какого-либо метода - повторить путь первопроходцев.
Давайте сами, вместе с внуком, изобретем логарифмы!
Мы помним как устроено умножение: чтобы не выписывать одинаковые слагаемые, записывают только одно и рядом приписывают "умножить на четыре", например.
Это обозначение такое, оно указывает на число слагаемых:
И для одинаковых сомножителей тоже есть специальное обозначение: только циферку приписывают выше строки, справа от числа.
Действие называется возведением в степень. Само число, которое возвели в степень, называется основанием.
Умножение - это сумма одинаковых слагаемых. Степень - это произведение одинаковых сомножителей.
Из самого определения возведения в степень очевидно, что степени при одинаковых основаниях можно складывать:
Это значит, что если сначала по отдельности умножить 10х10х10 и 10х10х10х10х10, а потом перемножить результаты 1000х10000 , получится тоже самое, как если бы сразу перемножили восемь десяток 10х10х10х10х10х10х10х10 ;
свойство кажется тривиальным, но имеет замечательные следствия
Что бы такого интересного с этим свойством придумать? Чтобы облегчить умножение?
4 умножить на 16, равно ...
- Придумали!
Если 4 записать как два во второй степени, а 16, как два в четвертой, но останется только сложить два и четыре и мы знаем ответ - два в шестой степени!
- Напоминает "самый легкий способ поймать комара - загнать под шкаф и отпилить у этой твари мебели ножки".
Все равно двойки придется перемножать, 2х2 четыре и так далее, всего лишь записали по-другому.
- Именно так, что бы не расписывать вереницу плюсиков, для удобства записи всего лишь ввели обозначения: умножение, а потом степени. Без удобных обозначений трудно было бы записать правило сложения степеней.
- Какая от него польза? Разве можно получить 7 или, скажем, 15 как степень двойки?
- Можно, любое число, с любой точностью - дробными степенями.
А польза есть, практическая.
Что мы делаем, чтобы умножать быстро, а не высчитывать каждый раз на палочках, сколько будет семью семь или шестью восемь?
- Таблицу умножения запоминаем.
- А если умножать приходится часто и большое количество двух- и трехзначных чисел?
- Таблицу до тысячи составить...?
- Так тоже делали, в древности, в Египте, в Вавилоне. На каждую задачу был отдельный готовый образец. Этого хватало, пока они имели дело с обиходными предметами и продуктами - стадами, припасами, в пределах тысячи, нескольких тысяч.
Для астрономических расчетов понадобились более мощные таблицы. Но заранее перемножить все возможные числа не получится. Да и найти нужный результат в огромном справочнике было бы не легко.
Зато можно вычислить степени двойки! (В которые ее нужно возвести, чтобы получить необходимые нам числа.)
Это тоже огромная работа, однако нашлись энтузиасты и проделали такой труд, составили таблицы - логарифмов.
- Что за зверь?
- Те самые, a и b показатели степени у двоек.
То есть логарифм числа - это сколько двоек нужно перемножить, чтобы его получить. Чаще всего число двоек не целое, но у любого числа есть логарифм, пусть и дробный.
- Почему только двоек?
- Маленькое число, легче степени вычислять. Но не только. И с десятками удобно работать, логарифм с основанием десять тоже в ходу.
А еще оказалось, что очень интересными свойствами обладает логарифм в основании которого - число e (примерно 2,7)
Историческая справка:
В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы.
Вернемся еще раз к иллюстрации "Умножение на линейках".
Мы умножали три на семь, подсчитывая интервалы(прыжки).
Потренировавшись, очень скоро обнаружим, что для больших чисел это весьма утомительно и что даже трехметровой рулетки не хватит для умножения трехзначных: 275x643
Только что открытый нами метод позволяет заменить умножение сложением: берем готовые таблицы, например десятичных логарифмов, находим в них число 275, выписываем полагающийся ему логарифм, то же самое проделаем с числом 643, результаты складываем (мы же помним, что это степени десятки и сумма тоже является степенью десятки). Осталось только десятку возвести в полученную степень. Не вручную - с помощью той же таблицы! Всё уже до нас посчитано :)
Проверим на калькуляторе, так ли это
275x643=176 825 - при обычном умножении
С логарифмами:
log275 = 2.43933269383
log643= 2.80821097292
2.43933269383 + 2.80821097292 = 5.24754366675
10^5.24754366675 = 176824.999998
Ура, получилось, практически в точку!
- Но таблицы же были не точные, всего восемь знаков после запятой, а если проводить много последовательных вычислений - ошибка будет накапливаться!
- Для большинства технических целей приближение оказывалось достаточным. Иначе эти вычисления не могли быть проделаны вообще, в силу трудоемкости.
- Облегчение, конечно, существенное, но листать таблицу тоже занятие муторное, тяжко им было без компьютера!
- Некоторые опытные расчетчики старшего поколения соревновались с первыми операторами ЭВМ и даже выигрывали =) (ввод данных тоже берет время)
Но они, конечно, не рылись в таблице, у них было отличное подспорье!
- Мы же знаем как механизировать сложение?
- Нужно числа разместить на линейках!
- Да. Но не равномерно, а в соответствии с их логарифмами
(откладываем в миллиметрах логарифмы последовательных чисел 1 2 3 4 ... )
Сначала пользовались циркулями, а потом появилась конструкция с движущимися шкалами, после нескольких апгрейдов принявшая вид известной ныне логарифмической линейки.
- Почему шкала получается такая неравномерная?
- Потому, что когда степени растут на единицу, на один шажок 1 2 3 4 5 6 7... результаты возведения в степень делают гигантские прыжки 10, потом 100, потом уже тысяча, десять тысяч, сто, на шестом шаге - миллион! Конечно шкала неравномерная. А проделывая обратную операцию (извлечение корня) получаем наоборот, все меньше и меньше отличающиеся друг от друга результаты, к концу линейки шкала становится все плотнее.
Логарифмическая спираль этим и отличается, от, например, архимедовой - увеличивающимся размахом:
Архимедова спираль совсем иначе раскручивается, не спутаешь:
Красивые гифки со спиралями - как раз логарифмические
"Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен. Возможно, в результате этого свойства логарифмическая спираль часто встречается в природе и свойственна растущим формам, таким как раковины моллюсков, шляпки подсолнечников, спирали циклонов и галактик."
- А зачем это рассказывать малышу, который едва научился обычному счету?
- Он как раз и сможет оценить красоту и практичность изобретения, облегчившего труд древних звездочетов счетоводов вычислителей, которым приходилось умножать много больших чисел. Даже если поймет объяснения только приблизительно, получит первичное представление.
А у старшеклассника, подружившегося с калькулятором, отношение к замороченному элегантному методу вычислений "левой пяткой через правое ухо" с помощью таблиц может оказаться более скептичным.
Логарифмы Непера, поначалу служившие для упрощения расчетов, королем математики Карлом Гауссом были превращены в мощнейший инструмент исследования зависимостей вот с таким, как у спиралей, растущим размахом, а их в технике очень и очень много, вообще в мире подобные зависимости на каждом шагу. В частности Гаусс использовал логарифмы для анализа распределения простых чисел среди натуральных.
К предыдущему посту: картинка посвящается всем, постигшим чтение в два годика методом "никто не учил, нашел потрепанный букварь под шкафом". Нобелевский комитет недоумевает, где ж вы задержались?