Математический анализ компьютерного моделирования адгезивных конструкций

Авторы: И. К. Луцкая, Н. А. Юдина

Актуальной и одновременно сложной для решения задачей современной стоматологии является рациональное и полноценное восстановление целостности зубного ряда. Отсутствие группы жевательных и фронтальных зубов ряда оказывает негативное влияние на качество жизни индивида, включая как функциональный, так и эстетический аспект данной проблемы. Появление малого дефекта зубного ряда может не вызывать значительного нарушения функции откусывания или пережевывания пищи, но тем не менее, служит этиологическим фактором развития зубочелюстных аномалий и деформаций, распространенность которых составляет 28,8-55,0% от числа взрослого населения [1,2].

Разработки современных методов анализа, обоснования и прогнозирования лечения пациентов с нарушением зубных дуг требуют тесной взаимосвязи медицинских, теоретических и технологических аспектов науки. Проведение исследований по усовершенствованию замещающих конструкций предусматривает использование фундаментальных теоретических разработок в области высшей математики и вычислительной техники. Так, применение методов математического и компьютерного моделирования существенно расширяет возможности экспериментальной и клинической практики [3, 4, 5]. Теоретические выкладки позволяют обосновать пути оптимизации конструкций замещающих протезов, прогнозировать сроки их эксплуатации, функциональное состояние опорных зубов и прилежащих к ним тканей [1, 3, 7].

Для восполнения малых дефектов зубных рядов современная стоматология располагает большим арсеналом восстановительных методик. В него наряду с классическими протезами входят и достаточно новые, перспективные, динамично развивающиеся технологии. Одной из них является изготовление адгезивных конструкций на основе волоконного армирующего каркаса и композиционной облицовки. Данная малоинвазивная методика обладает рядом преимуществ, о чем свидетельствуют результаты научных исследований по данной тематике и большой интерес практикующих врачей. Дискуссионными остаются вопросы, связанные с прочностными характеристиками адгезивных волоконных конструкций, прогнозом результатов лечения в отдаленные сроки и показаниям к выбору конструкции данных протезов [2].

В опубликованных научных работах представлены ограниченные данные о влиянии расположения армирующего каркаса на показатели прочности адгезивных конструкций, что затрудняет разработку показаний дифференцированного выбора средств и методов реставрации дефектов зубного ряда [1, 6, 8].

Цель исследования

Анализ результатов компьютерного моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) адгезивных волоконных конструкций (АВК) в зависимости от расположения армирующего каркаса с обоснованием оптимального варианта лечения в различных условиях.

Материалы и методы исследования

Для проведения расчетного определения НДС геометрически сложной биомеханической системы «зуб-протез», которая образуется при фиксации АВК на опорных зубах, был использован численный математический анализ на основе метода конечных элементов. Объектом исследования служили разработанные математические модели, отражающие функциональные особенности и строение системы «зуб-протез», включающей естественные опорные зубы, а также искусственные зубы, коронковая часть которых воссоздана с помощью адгезивных волоконных конструкций с различными вариантами расположения армирующего каркаса.

Построение геометрических и конечно-элементных моделей, задание граничных условий, приложение нагрузок и расчет НДС АВК выполнялись в программном комплексе конечно-элементного анализа «ANSYS» (ANSYS Inc., США) на базе объединенного института машиностроения Национальной академии наук Беларуси. Поставленная задача решалась в трехмерной постановке. Рассматривались два вида нагружения моделей, отличающихся количеством и направлением действующих сил. Искомыми результатами расчета служили максимальные значения узловых растягивающих и эквивалентных (по Мизесу) напряжений, возникающих в конструкциях, а также графические материалы, отражающие картину НДС системы «зуб-протез» в виде изолиний полей напряжений для каждого режима нагружения. Результаты расчета НДС АВК являлись исходными данными для проведения сравнительного анализа напряжений материала конструкций и выявления оптимального варианта расположения армирующего каркаса.

Исследование состояло из трех этапов:

1. Построение трехмерных геометрических моделей АВК с различными вариантами расположения армирующего каркаса в системе «зуб-протез».
2. Разработка конечно-элементных моделей АВК с различными вариантами расположения армирующего каркаса и задание граничных условий для расчета.
3. Расчет НДС АВК с различными вариантами расположения армирующего каркаса и анализ полученных результатов.

При разработке математической конечно-элементной модели АВК в системе «зуб-протез» были приняты следующие допущения: материалы компонентов модели считаются изотропными, а для описания их свойств достаточно таких механических характеристик как модуль Юнга и коэффициент Пуассона, то есть нелинейные свойства материалов не учитываются. Исследования проводятся только в линейной области.

В качестве исходных данных для построения моделей и их численной обработки была использована следующая информация: морфометрические параметры зубов и прилежащих к ним тканей; классическая методика изготовления адгезивных волоконных конструкций; механические характеристики зубных и прилежащих к ним тканей, светоотверждаемого композиционного материала и армирующей волоконной системы.

На первом этапе, на основании морфометрических параметров зубов и прилежащих к ним тканей проводилось построение объемных геометрических моделей АВК в системе «зуб-протез». Геометрические модели разработаны на основе строения клинических моделей АВК, для создания которых был определен вариант отсутствия второго премоляра, с двухсторонней фиксацией протезов на опорных зубах: мезиально – на первом премоляре, дистально – на первом моляре (рис. 1).

Рис. 1. Общий вид трехмерной геометрической модели АВК: 1 – зуб 1; 2 – зуб 2; 3 – периодонт 1 и 2 зубов; 4 – тело протеза; 5 – сегмент альвеолярного отростка челюсти.

Коронка отсутствующего зуба моделировалась в соответствии с усредненными морфометрическими параметрами второго премоляра, при условии отсутствия в данной области зубочелюстных деформаций.

При расчетах использовались условия закрепления, максимально приближенные к условиям фиксации естественного зуба в окружающих тканях. Для этого моделировался слой периодонта вокруг корня зуба. Предполагалось, что внешняя граница периодонта жестко прикреплена к костной ткани, которая считалась неподвижной. Принято допущение, что толщина периодонта равномерна и составляет 0,3 мм, а ширина альвеолярного отростка в проекции вершин корней зубов достигает 12,4±0,4 мм.

На втором этапе исследования, на основе построенных геометрических моделей АВК, были разработаны четыре конечно-элементные модели. Для обеспечения возможности проведения сравнительного анализа НДС рассматриваемой биомеханической системы при разработке как геометрических, так и конечно-элементных моделей АВК выдвигалось требование идентичности их геометрии и схемы разбиения конечно-элементной сетки. Таким образом, исключалось влияние этих факторов на расчетные значения механических напряжений, возникающих в наиболее нагруженных зонах моделей. В результате все разработанные конечно-элементные модели АВК имели одинаковые количественные характеристики: 245933 элемента, 411141 узел, а также размер, занимаемый на жестком диске – 224 Мбайта (рис. 2).

Рис. 2. Конечно-элементная модель АВК.

Приведено описание рассматриваемых моделей биомеханической системы АВК.

Модель №1: адгезивная волоконная конструкция в системе «зуб-протез» с одним армирующим элементом, который расположен в вертикальной плоскости (перпендикулярно по отношению к альвеолярному отростку челюсти) в межзубном пространстве (теле протеза) и закреплен в той же плоскости на твердых тканях опорных зубов.

Модель №2: адгезивная волоконная конструкция в системе «зуб-протез» с одним армирующим элементом, который расположен в горизонтальной плоскости (параллельно по отношению к альвеолярному отростку челюсти) в межзубном пространстве (теле протеза) и закреплен в той же плоскости на твердых тканях опорных зубов.

Модель №3: адгезивная волоконная конструкция в системе «зуб-протез» с двумя армирующими элементами, которые расположены в вертикальной плоскости (перпендикулярно по отношению к альвеолярному отростку челюсти) в межзубном пространстве (теле протеза) и закреплены в той же плоскости на твердых тканях опорных зубов. При этом элементы каркаса между собой не контактируют, проходя параллельно друг другу.

Модель №4: адгезивная волоконная конструкция в системе «зуб-протез» с двумя армирующими элементами, один из которых расположен в вертикальной (перпендикулярно по отношению к альвеолярному отростку челюсти), а второй – в горизонтальной (параллельно по отношению к альвеолярному отростку челюсти) плоскостях (взаимно перпендикулярно) в межзубном пространстве (теле протеза) и закреплены в тех же плоскостях на твердых тканях опорных зубов.

На рисунке 3 приведены фрагменты конечно-элементных моделей (показаны только опорные зубы и варианты расположения армирующего волокна).

При исследованиях были использованы характеристики следующих составляющих комплексной биомеханической системы «зуб-протез»: дентина и периодонта зубов, альвеолярной кости, композиционного материала FiltekТМ Z-250 (3M ESPE), армирующего волокна Ribbond (Ribbond) (табл. № 1).

В зависимости от принадлежности к той или иной пространственной области модели рассматриваемой биомеханической системы, конечным элементам присваивались соответствующие механические свойства. Затем проводилось описание внешних воздействий и граничных условий. НДС всех элементов адгезивной волоконной конструкции при прочих равных условиях зависит от характера и места приложения нагрузки. С учетом этого факта нагрузка прилагалась к верхней центральной части волоконной конструкции, так как только в этом случае достигается максимальное напряжение между зубом и протезом.

Таблица 1. Механические характеристики материалов

Нагрузка принята по данным Rus равной 150 Н, т.е. нижнему пределу силы возникающей во время пережевывания твердой пищи в области второго премоляра. Необходимо также отметить, что численное значение нагрузки в данной работе имеет достаточно формальное значение, так как выполняется сравнительный анализ различных вариантов армирования. Рассматривалось два вида нагружения моделей АВК, отличающихся количеством и направлением действующих на центральную часть протеза сил. Первый заключался в приложении к промежуточной части конструкции (телу протеза) только вертикальной силы величиной F1=150 Н, второй – комбинированное действие вертикальной F1 и горизонтальной F2 (в вестибуло-оральном направлении) силы одновременно при величине каждой 150 Н. Нагрузки, действующие на протез, моделировались сосредоточенными силами. Далее для всех четырех моделей выполнялся численный расчет напряженно-деформированного состояния. Данный этап работы благодаря применению программного комплекса конечно-элементного анализа «ANSYS» полностью автоматизирован.

Результаты исследования

Анализ графических и численных данных, полученных в результате проведенного исследования НДС АВК, показал, что для всех рассматриваемых расчетных случаев наибольшие растягивающие и эквивалентные напряжения возникали в композиционном материале конструкций в зоне приложения нагрузки, локализующейся в центре окклюзионной поверхности промежуточной части протеза. Данный факт обусловлен локальным характером приложение нагрузки. Помимо этого, концентрация напряжений в зоне приложения действующих сил не отражает рассматриваемые свойства биомеханической системы АВК. Растягивающие и эквивалентные напряжения для всех 4-х моделей в этой зоне были одинаковы и составили 38,2 МПа и 132 МПа соответственно (растягивающие/эквивалентные) при первом варианте нагружения и 454 МПа и 453 МПа (растягивающие/эквивалентные) при втором. Поэтому зона приложения нагрузки из дальнейшего рассмотрения исключалась.

Следующая по величине развивающихся во всех конструкциях растягивающих и эквивалентных напряжений зона располагалась также в композиционном материале конструкций, в крайней нижней (пришеечной) точке области соединения промежуточной части протеза и моляра. Эта зона показана на примере модели №4 на рисунках 4 и 5 для случаев действия вертикальной и комбинированной нагрузки соответственно.

Полученные в результате проведенного исследования максимальные значения растягивающих и эквивалентных (по Мизесу) напряжений, возникающих в композиционном материале конструкций моделей АВК под действием двух видов нагрузок, представлены в таблице 2.

Таблица 2. Значения максимальных напряжений в материале конструкций (МПа)

Анализ полученных результатов расчета НДС рассматриваемой биомеханической системы АВК показывает, что наименьшие значения механических напряжений в материале конструкции имеют место для модели №4, которой соответствует вариант расположения двух отрезков армирующего волокна во взаимно перпендикулярных областях (рис. 3, модель №4). При действии вертикальной нагрузки максимальные напряжения возникают в композиционном материале конструкции, в крайней нижней (пришеечной) точке области соединения промежуточной части протеза и моляра. В случае действия комбинированной нагрузки зоны возникновения максимальных напряжений не изменяются.

Рисунок 3. Структурные особенности конечно-элементных моделей АВК.

Для более удобного представления и сопоставления полученных данных расчета НДС биомеханической системы АВК, представленных в таблице 2, проведем их сравнительный анализ. Задача этого анализа – определить численные значения, позволяющие отразить преимущество применения варианта расположения армирующего волокна, соответствующего модели №4. С этой целью предложено использовать удельный показатель, характеризующий относительное снижение величины механических напряжений в рассматриваемой биомеханической системе АВК – ∆σ вызванное применением армирующего каркаса модели №4, по сравнению с остальными вариантами. Данный показатель рассчитывался с использованием следующей зависимости:

• где σс – максимальные напряжения в материале конструкции сравниваемого варианта расположения армирующего волокна (модели №1-3) с моделью №4; σб – максимальные напряжения в материале конструкции модели №4.

Полученные в результате расчета удельные показатели представлены в таблице 3.

Таблица 3. Относительное снижение нагруженности материала конструкции

Результаты сравнительного анализа нагруженности АВК показывают, что применение варианта расположения двух отрезков армирующего волокна во взаимно перпендикулярных областях, соответствующего модели №4, позволяет снизить механические напряжения в наиболее нагруженных зонах материала конструкции на 20% по сравнению с применением для укладки одного волокна с различной его пространственной ориентацией и на 6,3% по сравнению с применением для армирования двух отрезков волокна, расположенных в вертикальной плоскости. Необходимо отметить, что полученные результаты соответствуют двум наиболее часто встречающимся в клинической практике случаям нагружения АВК – действию только вертикальной, а также комбинированной (вертикальной и горизонтальной) нагрузок. При этом следует отметить, что вариант расположения двух армирующих волокон во взаимно перпендикулярных плоскостях является наиболее эффективным, так как ориентация волокон в нем способствует снижению нагруженности материала конструкций при действии, как одиночной нагрузки, так и сил приложенных в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Выводы

1. Расположение двух армирующих волокон во взаимно перпендикулярных плоскостях при действии, как вертикальной, так и комбинированной нагрузки, позволяет снизить механические напряжения в наиболее нагруженных зонах материала АВК до 20% по сравнению с применением одного волоконного каркаса с различной его пространственной ориентацией и до 6,3% по сравнению с применением двух отрезков волокна, расположенных в вертикальной плоскости.
2. Концентрация максимальных значений растягивающих и эквивалентных напряжений во всех конструкциях происходит в крайней нижней (пришеечной) точке области соединения промежуточной части протеза и первого моляра.
3. При действии изолированной вертикальной нагрузки наибольшие значения растягивающих и эквивалентных напряжений фиксируются в конструкциях с вертикальным вариантом расположения как одного, так и двух армирующих волокон.
4. При действии комбинированной нагрузки наибольшие значения растягивающих и эквивалентных напряжений определяются в конструкциях с различными вариантами расположения одного армирующего волокна.
5. При изменении направления действующих на АВК сил фиксируется увеличение значений узловых растягивающих и эквивалентных (по Мизесу) напряжений во всех видах конструкций.