От перемены мест слагаемых меняется всё
"От перемены мест слагаемых ничего не меняется" - учат нас в школе.
Математика знает про коммутативность и ассоциативность, про транзитивность, про скалярное и векторное, про мнимые и комплексные. Даже школьная математика в курсе о правилах раскрытия скобок, при точном выполнении которых может случиться второе неравенство (кстати, как - кто в курсе?).
Но, при прочих равных, именно школьная математика и именно фразой выше вбивает в умы большинства из нас, что сумма от перемены мест:
Не зависит.
И никогда ни при каких обстоятельствах - именно в математике - первое уравнение не может читаться иначе, как написано: а плюс б равно б плюс а. Точка.
Есть люди, которые могут на вкус определить: молоко наливали в чай, или чай - в молоко. С кофе такая же история: напитки, приготовленные в разной очерёдности, имеют даже различное название (а ещё их можно в разной очерёдности подогревать, и это тоже влияет на вкус). Многотомное издание можно читать в разной очерёдности: и впечатление будет отличаться. Представьте себе ребёнка, который будет смотреть "Звёздные войны" не в порядке съёмки эпизодов, а в порядке их текущей нумерации: как думаете, насколько его впечатление будет разниться с вашим?
Структура рабочего материала и его целостность имеет значение
Отрезали голову, пришили. Чёта не шевелится человек.
Соединили два вещества, совместно образующих бинарный газ. Произошёл взрыв. Или отравление. Или все ходят теперь зелёненькие.
Время воздействия имеет значение
Углерод, немного тепла и давления: получили графит. Нет, уголь. Нет, шунгит. Нет, алмаз.
Степень смешения имеет значение
"Взболтать, но не смешивать" (с) Дж.Бонд
Это не только понт, но и реальное вкусовое предпочтение.
Смешение может быть механическим - разной степени.
А может быть химическим или микро (а то и нано) молекулярным.
Итог будет разниться.
Направленность действия имеет значение
Повысили количество дней отпуска - производительность не выросла.
Понизили - упала.
Что-то ещё важное (а может, и самое важное!) имеет значение.
Стоял себе дом.
Аккуратно полностью пронумеровали все детали.
Бережно разобрали, упаковали, перевезли на новое место - по чертежам и учётным карточкам - всё так же аккуратно собрали. Дом не тот.
Взяли запах розы: декомпонировали до микромоля вещества его. Реконструировали формулу. Собрали эссенцию из того, что синтезировали согласно формуле (один-в-один): пахнет не розой. Совсем не розой пахнет.
Разобрал машинку в детстве: собрал. Остались лишние детали (или не хватило).
Ничего не терялось. При лишних деталях - может ездить. И при не хватило. А может не ездить, если ничего не потерял и лишнего не осталось. Парадокс.
Мастер-класс поварской. Шеф, су-шеф, поварята. В всех нарезана (одинаково) снедь (в одинаковой граммовке). Разложена в одинаковой посуде. Все с одинаковыми ножами и прочим инвентарём. Пошагово. Точно вслед шефу. Повторяют его действия и делают рыбий суп. Поминутно повторяя. Под его руководством. Получается 8 версий супа и шефскую можно отличить на слепой дегустации - она вкуснее.
Ходжа Насреддин пошёл со своим товарищем ловить рыбу.
У Ходжи - клюёт, у товарища - нет. Товарищ в расстройстве.
Попросил поменяться местами: итог - у Ходжи клюёт, у товарища - нет.
Поменялись снастями. Так же.
Поменялись наживкой. Так же.
На следующее утро товарищ пошёл удить рыбу один. Взял халат Ходжи, удочку Ходжи, взял наживку и даже вместо лица надел маску лица Ходжи. Просидел 2 часа. Не клюёт.
Через два часа выплывает рыбка
- "А что, Ходжа сегодня не придёт!?"
Вот это вот важное - математика даже не знает что не знает, а не только не умеет.