Решение задачи 418

Условие:

На описанной окружности равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) лежит точка D. Она расположена на дуге CB, не содержащей точку A. Докажите, что AB + BC > AD + DC.

Решение:

Отложим на луче AD точку E так, чтобы BA = BE = BC. Получим следующую картинку:

Тогда треугольник BEA -- равнобедренный и углы BAD и BED равны. Заметим, что углы BAD и BCD тоже равны, как опирающиеся на одну дугу описанной окружности. Выходит, что углы BED и BCD равны.

Заметим также, что треугольник CBE -- равнобедренный, значит углы BCE и BEC равны. Приходим к тому, что углы DCE и DEC равны, то есть треугольник CDE -- равнобедренный и DC = DE. Поэтому неравенство

AB + BC > AD + DC равносильно AB + BE > AD + DE = AE, что очевидно в силу неравенства треугольника в треугольнике ABE.