Ответ:

Главное для решения этой головоломки - уяснить, что "сегодня" у нас пятница. Ищи в формулировке загадки полезную информацию, которую можно использовать для расшифровки другой части головоломки и, таким образом, постепенно и пошагово продвигаться к окончательному решению.

Слова " на второй день после сегодня будет воскресенье" дают нам понять, что " сегодня" должна быть пятница, потому что воскресенье бывает на второй день после пятницы.

Теперь мы смотрим на слово "позавчера". "Вчера" был четверг, потому что "сегодня" у нас пятница. Получается, что "позавчера" была среда, а "после позавчера", соответственно, был четверг.