Задание 4. Начала теории вероятностей

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий общие закономерности случайных явлений и дающий методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления.

Случайное (возможное) событие — событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо не произойти.

Случайное событие происходит (или не происходит) с некоторой вероятностью. Рассмотрим данное понятие на примерах.

Бросая монету, возможны два исхода — выпадет либо орёл, либо решка. Вероятность того, что выпадет орёл, равна 1/2 (0,5). То же самое можно сказать и про решку.
Бросая игральную кость, вероятность выпадения какого-либо числа от 1 до 6 равна 1/6, поскольку кость имеет 6 граней. А вот вероятность выпадения числа, которое больше шести или меньше единицы, равна нулю, так как такие числа отсутствуют на игральной кости.
Возьмём колоду карт из 36 карт. Если загадать какую-либо карту и вытянуть случайную из колоды, вероятность того, что вы достали загаданную карту, равна 1/36. К тому же, например, вероятность вытаскивания туза — 4/36, так как их в колоде четыре.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всевозможных исходов.

Задача #1

В среднем из 900 садовых насосов, поступивших в продажу, 27 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение

Известно, 27 садовых насосов подтекают. Найдём количество исправных насосов:
900 - 27 = 873 (насоса)
Используя приведённую выше формулу, найдём вероятность, поделив кол-во благоприятных событий (кол-во исправных насосов) на кол-во всех событий (кол-во всех насосов):
873/900 = 0,97

Ответ: 0,97.

Задача #2

В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Решение

Найдём, сколько всего участвует спортсменок из Канады. Для этого из количества спортсменок вычтем кол-во спортсменок из США и Мексики:
70 - 25 - 17 = 28 (спортсменок из Канады)
Найдём шанс выступления спортсменки из Канады. Для этого, опять же, поделим кол-во благоприятных исходов (кол-во спортсменок из Канады) на кол-во всех исходов (кол-во спортсменок):
28/70 = 0,4

Ответ: 0,4.

Учтите, что вероятность не может быть больше 1 и меньше 0. Если у вас получилось отрицательное число или большее единицы, то, значит, в решении где-то ошибка.

Совместные и несовместные события

События могут быть совместными и несовместными.

Несовместные события — события, появление одного из которых исключает появление других, т.е. может произойти только либо одно определённое событие, либо другое.

К несовместным событиям относятся:

бросание монеты — может выпасть только либо орёл, либо решка; за один бросок орёл и решка не могут выпасть одновременно;
бросание игральной кости — после падения кость остаётся на одной грани, т.е. за один бросок может выпасть только одно число;
время суток — может быть либо только день, либо ночь; одновременно и день и ночь быть не могут.

Совместные события — события, появление одного из которых не исключает появление другого.

К совместным событиям относятся:

из двух колод вытянули одинаковые карты;
наступило утро, пошёл дождь;
число целое и чётное — например число 2 является одновременно целым и чётным.

Сложение и умножение вероятностей

Сумма вероятностей

Сумма нескольких событий A и B — событие A + B, состоящее в наступлении хотя бы одного из них. Может произойти либо событие A, либо событие B, либо оба события одновременно.

Если происходят несовместные события A и B, то вероятность суммы данных событий равна сумме вероятностей событий:

Задача #3

Бросаем игральную кость. Какова вероятность выпадения числа меньшего четырѐх?

Решение

Посмотрим, какие числа, которые могут выпасть, меньше четырёх. Это числа 1, 2 и 3.

Произведение вероятностей

Произведение событий A и B — события, происходящие одновременно.

Произведением двух событий A и B называют событие A*B, которое состоит в совместном появлении этих событий. Вычисляются по формуле:

Когда при одном испытании происходит некоторое событие, и при этом происходят другие, то вероятность совершения этих событий будет равна произведению вероятностей.

Задача #4

Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?

Решение

Вероятность выпадения шестёрки в первый раз равна 1/6. Всего кость бросили два раза. Значит, просто 1/6 возводим во вторую степень:
1/6 * 1/6 = 1/36

Ответ: 1/36.

Задачи

Решение различных задач на теорию вероятности.

Задача #5

В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение

Нужно, чтобы на двух костях выпало ровно 7 очков. Давайте посчитаем, сколько существует комбинаций выпадающих чисел, удовлетворяющих данному условию.
7 очков выпадает, если на костях выпадает: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Всего удовлетворяющих комбинаций 6.
Всего на двух кубиках возможных исходов 6 * 6 = 36 (т.к. на одном кубике 6 граней). Находим вероятность выпадения удовлетворяющих комбинаций, деля их кол-во на кол-во всех возможных исходов.
6 / 36 = 1/6 = 0,166...
Не забываем округлить до сотых.

Ответ: 0,17.

Задача #6

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

Решение

Перечислим все возможные исходы: орёл+орёл, орёл+решка, решка+орёл, решка+решка. Только в последнем орёл не выпадает ни разу. Значит, удовлетворяющее событие одно. Всего же возможных событий четыре (все они перечислены).
Теперь просто делим кол-во удовлетворяющих событий на кол-во всех событий:
1 / 4 = 0,25

Ответ: 0,25.

Задача #7

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 бадминтонистов, среди которых 22 спортсмена из России, в том числе Игорь Чаев. Найдите вероятность того, что в первом туре Игорь Чаев будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

Решение

Игорь Чаев — один из 22 спортсменов из России. Получается, с ним может сыграть только 22 - 1 = 21 бадминтонист из России. Всего всех участников кроме Игоря 76 - 1 = 75 человек.
21 — благоприятные исходы, 75 — все исходы (есественно, не учитывая Игоря). Делим благоприятные на все:
21 / 75 = 0,28

Ответ: 0,28.

Источники:

Видео по теме: