Жиль Шатле. Математика как жест мысли (интервью)

Катрин Паолетти — В вашей книге «Les Enjeux du mobile: mathématique, physique, philosophie», вы попытались представить условия создания научных понятий; иными словами, понять то, что обычно называют научной рациональностью. Насколько я понимаю, вы стремились переосмыслить то, что вы называете «жестом», из которого в каком-то смысле начинаются все эти понятия?

Жиль Шатле — Я исхожу прежде всего из того, что жест — это не само движение, а «прообраз» движения. Жест всегда оказывается «стиснут» меж двух моментов времени: между положением вещей, которому он предшествует, и положением вещей, которое он создаёт, — может быть это и поэтическая формула, но к ней ничего не добавишь. Именно поэтому я выбрал такую «метафору»: мне нужен был термин, который, с одной стороны, носит на себе оттенок некоего правила, а с другой, — оттенок какого-то творчества.

К. П. — А как вы обосновываете тот факт, что такой жест как математика укоренён именно в философии?

Ж. Ш. — Могу ответить довольно просто, в принципе так же, как это верно подмечал Спиноза: как только [мы осознаём], что математика суть человеческое изобретение, отпадает всякая необходимость в трансценденции. Иными словами, свобода всё-таки возможна, и человек может «лепить» из себя что угодно совершенно самостоятельно. Сама математика выступает проявлением такой свободы, отсюда и происходит основной аргумент Спинозы: если возможна геометрия, то человек — это не просто нечто пассивное, не просто инертная материя, влекомая случайностью: человеку дозволено прикоснуться к универсальному, то есть, в некотором смысле, к божественному.

К. П. — Тем не менее, всё это не кажется «простым», ведь вы всё-таки исследуете такую область, которую можно назвать, наверное, до-формальной, как бы пре-генетической. Там, где любые виртуальные сущности всё ещё возможны. Видимо исследование именно этих областей позволяет вам переосмыслить такой жест мысли как математика.

Ж. Ш. — Как только мы познаём всю мощь математики абстрагироваться, рождаются следующие предположения: а не может ли она поведать нам нечто о нашей мысли или даже о том, что этой мыслью ещё помыслено не было? Пожалуй как раз это и может заинтриговать любого философа. Математика представляет собою важнейший жест человечества. Однако здесь же нас поджидает опасность, напрямую вытекающая из той своеобразной её «кристаллизации»: опасность воспринять её как «царицу наук», а не как практику, которая одновременно сочетает в себе и дисциплину, и творчество. С математикой, понятой не как союз дисциплины и творчества, связаны два, звучащие схожим образом, отношения к ней. Её либо опошляют, считая простым инструментом, либо возводят в ранг хрустальной статуи. И это две симметричные ошибки. В философии эту ошибку можно узнать по следующим взглядам: либо математика в ней носит «небесный» статус, либо сводится к некому упроченному алгоритму, наделённому почти магической силой, будто бы обладающему особой действенностью. Тем не менее, метаться из крайности в крайность — всё равно что отказаться вмешаться вовсе; это две серьёзные ошибки, которые можно поставить в один ряд как равнозначные.

К. П. — Однако вы противопоставляете этому себя. Вы обращаетесь к жесту, к размышлению о жесте и вместе с ним вводите также понятие тела, то есть нечто физическое. В то же время, в этом жесте вы вовлекаетесь в динамичное исследование мысли, прибегая к интуиции.

Ж. Ш. — Я стремлюсь осмыслить роль некоторых из тематических тропок, с направлением которых согласны более-менее все, начиная с математиков. Причём тропки эти витиеваты — по ним не «пройдёшься» одной лишь дедукцией. Возьмём, например, проблему, которая может заинтересовать философа: почему понятие «точки» используется на всех уровнях математики? И дело здесь не в привычке пользоваться конкретным термином, как если бы терминология была всего-навсего делом привычки (хотя не помешало бы понять ещё и то, почему такая привычка так легко к нам прилипает). Вот, примерно такими вопросами философы нередко пренебрегают.

Почему даже в случае довольно сложных множеств вспоминают о понятии точки? Почему, например, революционная интеллектуальная операция, совершённая геометром-алгебраистом Александром Гротендиком, привела к переходу от «мира» точки к «миру» стрелки [1]? Очевидно здесь мы и оказываемся в самом сердце проблемы: философская рациональность не нашла современной формы, способной представить такое событие во всей его полноте. Событие, в свете которого полностью меняется математическая терминология, ломаются [привычные] способы мышления, формализация начинает казаться чем-то вроде абсолютно «непробиваемого» айсберга и всё кристаллизуется. И нередко приходится слышать мысль о том, что всё уже наперёд понятно, раз нам подвластна формализация. Всем наукам осталось всего-то формализоваться, и весь мир останется доволен... И всё же нет, всё не так. И я думаю именно это и стоит хорошенько осознать. Полностью поддаться движению формализации, значит всего-навсего преклониться пред формализмом, — эта тема перекликается с тем, как ставил вопрос о формальном Мартин Хайдеггер, хотя мы относимся к этому, пожалуй, с меньшим пессимизмом. Нужно, напротив, вмешиваться с вопросами по типу: «А в какой мере формальное сущее нежно?» [2] Это и приводит к проблематике тела как «плоти». И для меня, и для Эдмунда Гуссерля, и для многих его учеников тело — не просто физический объект: может быть и к математике имеет смысл отнестись как к плоти? Не сказал бы, что я сторонник феноменологии, но в любом случае эта точка зрения кажется мне актуальной и, в частности, позволяет понять взаимосвязь математики с физикой. Не стоит забывать, что даже такой позитивист и в принципе мощный интеллектуал, как Фон Нейман, считал, что математика в её нынешнем виде представляет собой не что иное как переходный этап, — своего рода физико-математику, — из которой быть может возникнет наука о мозге. Причём эти слова совсем не значат, что обязательно существует своего рода нейронный формализм относительно мозга. Смысл этих слов скорее следующий: современная мысль, наблюдая за тем, как интуитивный формализм предстаёт в виде сущностей, то действующих в прояснении явлений сообща, то конкурирующих за право быть «единственно истинным», убивает своё время за отчаянием, — хотя, напротив, ей следовало бы сжиться с этим внутренним напряжением, принять это состояние как собственную природу. Лишь очень немногие умы (среди них, разумеется, сегодня Эйнштейн, Хокинг или Пенроуз) способны почувствовать, что пока мы всё ещё находимся на уровне азов. Возможно, мы стоим на пороге у знаменитого Спинозовского «познания третьего рода», перед которым вещи раскрываются одновременно во всей их сути и желаемой ясности. А это значит нам ещё предстоит вкусить все тяготы, сравнимые с трудом землекопа. Не выйдет попросту воскликнуть: «У меня вышло! У меня получилось!», а затем «Я верю в это!» Всё своё время — и, вероятно, в этом состоит смысл всякой мыслительной или научной деятельности — человек думает, будто он уже у самой цели. Мы всё время как будто «уже там», но на самом деле это не так. И в этом, конечно, есть что-то глубоко обескураживающее, но и глубоко захватывающее!

[1] Речь идёт о том, что в какой-то момент интуиция о математических объектах среди математиков радикально сменила вектор: стали пристально рассматривать уже не столько сами объекты, сколько отношения между ними, — преобразования между множествами. «Стрелку» в данном случае не нужно воспринимать в качестве объекта, так же, как «точку». Стрелка — это просто символ в записи как раз-таки этих «отношений между объектами», отображениями множества на множество. Однако Шатле хочет подчеркнуть, что эти отношения, «морфизмы», например, в теории категорий (из-за неё Гротендик и упоминается) сами становятся объектами, новыми рассматриваемыми «точками».
Кстати, у Гротендика есть книга «Урожаи и посевы», — она наверняка покажется интересной любому гваттаристу, шизоаналитику или психоаналитику (хотя бы из-за глубокого персонологической семантики, замиксованной там с подробным повествованием о его математической жизни).

[2] Здесь, видимо, Шатле пытается протолкнуть новый образ отношения к формальному, которое чисто по привычке или традиции (хотя бы из-за доминирования структурализма в современных науках) ощущается как твёрдая, выбитая в камне штука или вовсе непостижимая, как «трансцендентальная схема» Канта, которую он связывал с «тайным искусством» [видимо определённой способности человека или природы в целом].

К. П. — Я хотела бы вернуться к вопросу о том жесте мысли, который позволил Гротендику перейти от точки к стрелке. Могли бы ли вы провести параллель между этим жестом, присущим математику, и жестом философа, создающего новый тип понятий?

Ж. Ш. — Вероятно, существует некое соответствие между созданием понятий в философии и созданием математических объектов или псевдо-объектов. Я думаю, и философу, и математику важно осознать, что собою представляет тот [внутренний] фарс, о котором такая штука, как точка, даже не пытается ничего скрывать.

Скажем, примерно до 1870 года понятие точки использовали тривиально: речь шла о том, чтобы обозначить ту или иную вещь как своего рода спонтанное сосредоточение. С появлением функционального анализа и конечномерных пространств точка становится или, если угодно, начинает рассматриваться как своего рода фокус, к которому сходится множество малых окрестностей [3]. Обо всём этом и говорят знаменитые теоремы Банаха, Бэра и др [4]. Кстати, ученики математических школ испытывают определённые трудности с этими вещами, потому что чувствуют, что именно «на этом месте» всё начинает шататься: в геометрии ты сталкиваешься с измерениями бесконечной размерности и, грубо говоря, именно в этот момент понимаешь, что точка — это уже не про координаты (x, y, z), а про последовательность окрестностей, диаметр которых стремится к нулю. Всё это может показаться очень простым, потому что каждый может «представить» себе диаметр, которой сужается до «размеров» точки. Однако гораздо труднее увидеть, что именно здесь проходит центральная ось, тот узловой момент, начиная с которого становится возможным завоевание «бесконечномерного». Можно усилить метафору, тогда я сказал бы так: точка — это сразу и потенция [puissance] к сжатию, и потенция к тому, чтобы развязать виртуальные сущности, дать им сорваться с цепи. Великая идея Эвариста Галуа заключалась как раз в том, чтобы перейти от точки к оператору [5], — который и сам впоследствии оказывается точкой. В некотором смысле именно по такой тропе и прошёлся Александр Гротендик: происходит своего рода скачок в степени интуитивности.

[3, 4] В математическом анализе точки [функции] берутся не столько как уже «готовые тождества», а исследуются с помощью вычислений пределов, — здесь и возникают окрестности, «в пределах» которых как раз и «узнаётся» исследуемая точка (в двумерном случае окрестность точки — это окружность, в трёхмерном — сфера, в n-мерном, о котором идёт речь, — нет никакого представления этой окрестности, кроме как математической записи).

Теорема Банаха говорит о существовании неподвижной точки, узнаваемой «по последствиям» отображений над множеством, например, в бесконечномерном пространстве.

Теорема Бэра показывает, что структура некоего пространства не сводится к простой совокупности его точек: существенны свойства окрестностей и локальная плотность множества вокруг его точек.

[5] Простейший оператор — это функция, которая ставит в соответствие определённому аргументу некоторое вычисленное значение. Скачок интуиции Гротендика от Галуа состоит в следующем: не просто превозвысить значение преобразования над объектом преобразования, а сам объект понимать как совокупность некоторых преобразований.

К. П. — Следовательно существует потенция к порождению, делающая этот «скачок» возможным?

Ж. Ш. — Именно, потенция к порождению. Вот именно это и нужно понять. Осознать, что объекты на первый взгляд стабильные и привычные, на самом деле могут оказаться настоящими ящиками Пандоры. Математик — это такой господин, которому известно, что в точках прячутся настоящие, невероятной силы бомбы, либо сметающие всё на своём пути, либо всасывающиеся вовнутрь самих себя.

К. П. — Справедливо ли будет сказать, что в какой-то мере именно ослепительные вспышки математических теорем и доказательств в конечном счёте несколько затмили подобную динамичность, присущую жесту мысли?

Ж. Ш. — В самом деле, людей, которые работают над сочинением и доказательством теорем, не так уж и много, поэтому вполне нормально, что эти истины производят эффект ударившей молнии, — то, что вы совершенно справедливо называете вспышками. Это всё ещё старый вопрос о том, выводятся (дедуцируются) ли некоторые вещи или они абсолютно случайны? Это проблема события...

Однако все эти открытия предваряет длительная, усердная работа, в которой очерчивается предмет [открытия], и здесь мы немного возвращаемся к Аристотелю, который говорил, что осла ничему научить нельзя, а вот невежду, можно! Сначала у нас есть только наброски, наброски фигуры, которая займёт своё место в событии. Я часто привожу пример того действия, которое геометрический рисунок оказывает на школьников: известно, насколько чудесными для них могут казаться некоторые построения, — чудесными в том смысле, что они заставляют увидеть, раскрывают полную картину. Отталкиваясь от треугольника или от отрезка прямой, мы строим другой треугольник, и вдруг возникает ощущение, будто всё «встало на свои места»; довольно часто с восхищением отмечают, что иная идея дополнительного построения «просто гениальна!» Мне кажется именно эта тема и достойна интереса философа: вопрос о том, «что произошло?». В самом начале уже есть нечто, чего пока нет на рисунке, чего пока не видно; и вдруг кто-то проводит пунктиром линию, и это нечто появляется; истина предстаёт перед нами вспышкой молнии [6]. И всё же это не совсем хорошее сравнение, поскольку то, что происходит здесь, в решении, совершенно рационально! Так что же всё-таки произошло? Именно этот вопрос и кажется мне куда более эффективной и понятной точкой входа, чем вопрос по типу: «Но в конце концов, где же находятся эти [виртуальные] математические объекты?».

[6] Пример школьной задачи, которую «решает» чудесное дополнительное построение.

Я знаю, что сейчас многие интересуются методами стимуляции и измерения электрической активности, отвечающей за производство знаний нейронами. Известно, что если мы выполняем будь то умножение или сложение, да что угодно, то «загораются» те или иные участки мозга. И, конечно, я говорю приблизительно и метафорически: «нам известно, где примерно это происходит». Но это не даёт ответов! [Я всё ещё не знаю, что же произошло]. Очевидно, я не буду знать, стимулируется ли та или иная область моего мозга, когда я глазами прыгаю от одной прямой к другой. Все эти сведения никак не позволяют мне «понять»! Тогда мне зададут вопрос: «А что значит понимать?» Вот здесь и может вмешаться философия. Я материалист и вовсе не отрицаю, что существует «распознавание», материальный след мысли: это бесспорно, тем не менее этого недостаточно! Вопрос всё равно остаётся и ставится следующим образом: «Что именно способствует порождению одной вещью другой?», — и речь идёт именно о порождении, а не о чём-то уже существующем. Это проблема о том, что в языке всегда читается между строк, проблема, которая по сути является проблемой о «создании возможного» («création des possibles»). Многие восхищаются противостоянием человека и машины в шахматах: тем, как компьютер становится сильнее человека. Но это полный абсурд, ибо вопрос снова ставится неверно! И я не то чтобы не признаю силы компьютера, однако нужно понять в точности, в чём она заключается. Пока что компьютер не способен «создавать возможное»; ему не переплюнуть Галуа: ему не найти корней уравнения, для которого на первый взгляд корней нет [7]. А человек найдёт. Компьютер, безусловно, мощнее человека, когда речь идёт о переборе всех возможных комбинаций. Но вы сами, наверное, уже видите в чём заключается превосходство человека. Остаётся лишь узнать его причины. Некоторые, возможно, отвергнут это представление о превосходстве человека: человек, несомненно, обладает способностью нечто выявлять, силой предписывающего указания, благодаря которым то, что не было возможным, что было имплицитным и невидимым, становится видимым. Мне могли бы возразить: «но ведь компьютер способен на то же, поскольку он может показать, что какое-то решение осталось незамеченным». Однако дело здесь не в том, что наши «видения», возможно, одинаковы. Человек с помощью компьютера с лёгкостью может увидеть все возможные варианты, которых он раньше не замечал. Но увидеть уже существующие возможности — совсем не то же самое, что создать возможности, которых ещё нет! Всё уже сыграно на уровне тонких нюансов языка, и особенно там, где сам язык, кажется, сопротивляется подобной «осаде». Под explicatio подразумевается не развёртывание уже готовой вещи, которая существует заранее: само движение объяснения является частью объясняемого. И мы снова возвращаемся к проблеме мысли. Именно попытка помыслить немыслимое делает эту проблему чрезвычайно трудной, — это, конечно, старая гегелевская тема, «хитрость разума». Однако вся загвоздка заключается в том, что наши людские ожидания обманываются, — и слава Богу, что обманываются! Не будь у нас обманутых ожиданий, мы бы ничем не отличались от компьютеров. А у компьютеров не бывает обманутых ожиданий: у них бывают сбои, что совсем не то же самое...

[7] Существует задача о решении уравнения n-ой степени в радикалах (формулы для корней, включающие коэффициенты уравнения). До Галуа математики надеялись найти формулы в радикалах для уравнений любой степени. После работ Абеля стало ясно, что общего решения для степени выше 4 не существует, а Галуа объяснил это через структуру симметрий корней уравнения. На сегодняшний день у нас есть группы Галуа, которые помогают перевести эту задачу с вычисления самих корней на исследование допустимых преобразований между корнями.

Переведено для phi(l'eau)sophie: https://t.me/phileausophie