Медианы: геометрия становится музыкой

Перевод главы VIII из книги Лолор Роберта — «Сакральная геометрия. Философия и практика» (Robert Lawlor “Sacred geometry. Philosophy and practice”, © 1982 Thames & Hudson Ltd, London Reprinted 2002) (страницы с 80 по 89).

Аннотация переводчика.

Связь между звуком (музыкой), геометрией и архитектурой замечена человечеством уже давно. В европейской практике одним из первых, кто указал на наличие этой связи, был Платон. В индусской ведической философии звуку отдается весьма большое значение, и на его основе существует отдельный вид йоги – нада-йога («нада» – звук). Считается, что древние мегалиты строились с помощью какой-то технологии, в основе которой был звук, способный сдвигать тяжелые предметы и вырезать камни из скал. Мистическая сила музыки рассматривалась Шопенгауэром, Йоханом Кеплером и многими другими известными учеными и философами, но особого успеха, кроме цитирования древних трактатов, в разгадке тайны этой связи не было ни у кого. Вашему вниманию предлагается довольно интересное исследование данного вопроса от Лолор Роберта, проделавшего огромную работу по систематизации знаний, накопленных в данной области.

Геометрия становится музыкой

Ранее мы рассматривали теорию разделения единства на множество с точки зрения двух аспектов:

1. идея наличия некоторой корневой функции, основанной на квадратных корнях из 2 и 5;
2. идея взаимных идеальных отношений из трех или четырех шагов, рассчитанных из указанных корней.

В этой главе мы рассмотрим идеи корней, прогрессий и отношений совместно с тем, чтобы еще раз досконально выявить все взаимосвязи между ними. При этом свое исследование мы будем вести путем выявления связей между геометрическими пропорциями и музыкальной гармонией. Надеемся, что это исследование прольет свет на высказывание Гете, что «геометрия – это замороженная музыка».

Начать данное исследование стоит с теории отношений, являющейся краеугольным камнем античной философии и заключенной в простом наблюдении за взаимным поведением членов функций. Возвращаясь к нашей дискуссии по поводу пропорций из трех или четырех членов (стр. 44) и используя ее в качестве отправной точки, мы обратимся к предупреждению Платона, что сравнение функций из четырех членов, не дает непрерывного ответа, то есть имеет дискретный характер. Это предупреждение до сих пор остается полем, открытым для споров. Такое утверждение еще называют «дискретным знанием». В противовес этому Платон вводит термин «непрерывное знание», которое не является простой суммой накопленных фактических и теоретических знаний об окружающем мире, но представляет собой мысленное постижение метафизических законов, стоящих за физическим миром. Метафизические законы, по которым конструируется форма и поведение всех объектов, являются действительной целью исследователя, желающего приобрести не фрагментарное, а полное или «непрерывное» знание об окружающем мире. Такие законы, согласно Платону, могут быть открыты благодаря изучению отношений или связей между двумя крайними феноменами, определяющими их взаимное поведение. Ранее мы уже изучали такую систему отношений между тремя членами – a : b :: b : c – выраженную через геометрическую прогрессию, именуемую греками «логосом». Но этот простой пример расскажет нам не только о взаимной системе отношений трех членов прогрессии. Наука Отношений изучает систему пропорциональных отношений не столько между указанными тремя членами, сколько поведение самой этой системы, как отдельного объекта для исследования, раскрывающего нам суть различий между этими тремя членами.

Пропорция отношений может быть выражена как А-группа трех неравных чисел, и двух отношений или связей каждого из этих чисел к остальным, а также каждого из чисел по отношению к самому себе.

Этот странный математический «коан» (коан – короткое парадоксальное высказывание в дзен-буддизме, используемое в качестве умственного упражнения, прим. перев.) содержит в себе три вида прогрессии, через которые могут быть выражены связи – Арифметическую, Геометрическую и Гармоническую.

Давайте попробуем выразить эту трехступенчатую систему отношений (иначе -медиан) по шагам. Итак, медианная пропорция формируется в группе из трех чисел (a, b, c). При этом a больше, чем b, а b больше, чем c (a>b>c). Тогда система отношений или разниц выражается следующим образом:
a-b,
b-c.

Тогда выражение взаимных отношений будет выглядеть как:
a-b : b-c,

а отношение каждого числа в последовательности к самому себе будет выражаться так (вариант 1):
a-b : b-c :: a : a, b : b, c : c

а отношение каждого из этих числе к двум другим будет выражаться так:

(вариант 2) a-b : b-c :: a : b или
(вариант 3) a-b : b-c :: a : c.

В первом варианте решение выражения по отношению к b будет выражаться следующим образом:
b = (a + c) / 2,
что является формулой арифметической прогрессии. Числа арифметической прогрессии 3, 5, 7 будут получены при основании прогрессии b = 5.

Во втором варианте решение выражения по отношению к b будет выражаться следующим образом:

или

что является формулой геометрической прогрессии. Числа прогрессии 4, 8, 16 будут получены при основании прогрессии b = 8.

В третьем варианте решение выражения по отношению к b будет выражаться следующим образом:
b = 2ac/(a+c),
что является формулой гармонической прогрессии. Числа прогрессии 2, 3, 6 будут получены при основании прогрессии b = 3.

Эти три варианта выражения отношений дают нам полную математическую формулу выражения всех типов связей. Арифметическая пропорция выражает закон сложения и обратного ему вычитания, и описывает систему связей, дающую серию натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Геометрическая пропорция выражает закон умножения и обратного ему деления, и дает на выходе различные варианты геометрических серий чисел. Здесь мы должны добавить, что добавление и умножение – есть два способа математического выражения стремления к росту в природе. Гармоническая пропорция является следствием комбинации первых двух. Она формируется путем умножения двух экстремумов (a, c) и последующего деления их среднего значения или арифметического основания (a + c) / 2. Для примера возьмем два экстремума 6 и 12, их умножение даст нам цифру 72, среднеарифметическое между ними – 9, а 72/9 = 8. Таким образом мы получаем гармоническую пропорцию 6, 8, 12.

Арифметическая пропорция:

Геометрическая пропорция:

Гармоническая пропорция:

Каждая из указанных видов пропорций имеет набор уникальных характеристик. Например, арифметическая прогрессия демонстрирует равенство разностей, но неравенство отношений. Например, для арифметической последовательности: 3, 5, 7 будет справедливо следующее:

С другой стороны, геометрическая прогрессия демонстрирует равенство отношений, но неравенство разностей. Например, для геометрической последовательности: 2, 4, 8 будет справедливо следующее:

Наиболее важной и отчасти мистической характеристикой гармонической пропорции является тот факт, что инверсия любой гармонической прогрессии будет равна арифметической прогрессии. Например, последовательность 2, 3, 4, 5 – нарастающая арифметическая прогрессия, а ее инверсное значение – 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 – убывающая гармоническая прогрессия. В музыке такое инверсное отношение между арифметической и гармонической прогрессиями означает, что два экстремума двойных отношений дают нам двойную октаву, что в итоге дает нам прогрессию, именуемую «музыкальной пропорцией»: 1, 4/3, 3/2, 2. Другими словами арифметическая и гармоническая разность между двойными геометрическими отношениями представляет собой числовую последовательность, соответствующую тональным интервалам звукового ряда «чистая кварта» (perfect forth) и «чистая квинта» (perfect fifth) – базовые консонансы практически во всех музыкальных звуковых рядах (консонанс – благозвучно звучащее сочетание звуков в музыке, прим. перев.).

Базовая структура пропорций, которую мы используем в нашей математике, также представляет собой базовую структуру в сфере музыки. Давайте исследуем роль этих пропорций, как основных архетипов, создающих все виды форм во Вселенной музыки.

Прогрессия 1, 4/3, 3/2, 2 – демонстрирует нам частоты основного тона, кварты, квинты и октавы. Затем мы обратим внимание на арифметические и гармонические пропорции между длинами струн, равными 1 и 1/2. Деление струны пополам дает нам октаву, или звук в два раза большей частоты, нежели основной тон. Основание гармонической прогрессии между 1 и 1/2=2/3, дает музыкальную квинту, а основание арифметической прогрессии между 1 и 1/2=3/4 – музыкальную кварту. Если мы сравним эти две прогрессии, то мы увидим инверсию их коэффициентов и пересечение функциональных позиций между арифметическим и гармоническим основаниями.

Рисунок 1. Деление гитарных струн. Перевод надписей: Fundamental – основной тон, Fourth – кварта, Fifth – квинта, Octave – октава, Harmonic – гармоническая прогрессия, Arithmetic – арифметическая прогрессия.

Примечание.

Музыкальная октава представляет собой деление основного тона (гитарной струны, например, прим. перев.) пополам, и соответственно ее частота в два раза выше этого тона. Например, если на гитаре мы дернем первую струну, то мы услышим основной тон, в музыкальной нотации соответствующий ноте МИ (E). Для простоты расчетов присвоим этой ноте цифру 6, обозначающую количество вибраций в секунду (в действительности 82,5) (речь идет о ноте МИ большой октавы, имеющей частоту 82,41 Гц, прим. перев.). Теперь если мы задержим наш палец на ладу, помеченном как E’ (МИ, прим. перев.), что находится ровно посередине нашей струны, то частота вибрации этой струны возрастет ровно в два раза. Полученное значение вибраций арифметически относительно нашего основания, равного 6-ти, станет равным 12-ти, то есть 2:1. Октавный звук имеет одну странную характеристику, он имеет в два раза более высокую частоту, но слышится при этом как основной тон. Опыт прослушивания октавы содержит в себе одновременное ощущение схожести и разницы звуков, по сравнению с основным тоном. Эта особенность восприятия культивируется в сакральной геометрии: нечто разделенное, но гармонично соединяемое вместе.

Аналогично, если мы поместим наш палец на гитарный лад СИ (вторая струна на гитаре, прим. перев.), то струна СИ будет звучать по отношению к струне МИ как 3:2, или по нашей калькуляции – 9:6. Полученный тон СИ является приятным на слух консонантом и именуется музыкальной квинтой (в английской нотации – музыкальная «пятая» – musical fifth, прим. перев.), потому что это пятый тон в натуральном звуковом ряде (если принять за единицу число колебаний первого звука (основного тона) струны, то числа колебаний частичных тонов выразятся рядом простых чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 и т. д. Такой ряд звуков называется натуральным звукорядом. Прим. перев.), диатонический мажорный лад, с МИ как ДО, а СИ как СОЛЬ. На гитаре мы получаем звукоряд, состоящий из восьми натуральных тональных деления от МИ до МИ, именуемых «октавами». Если мы положим палец на лад ЛЯ струны ЛЯ, это даст другой вид консонанса, именуемый квартой, и его отношение частот будет соответствовать 4:3, или 8:6 в нашей нотации.

Загадка музыкальной гармонии, заключенная в одновременной инверсии, также содержит в себе добавление и умножение. Октава основного тона может быть получена путем сложения интервалов: длина строки, составляющая сумму квинты и кварты, составляет октаву, а умножение частоты вибраций кварты и квинты также сформирует нам октаву (4/3х3/2=2). Комбинированный эффект добавления и умножения в математике даст нам логарифм, который, как мы видели ранее, является основанием Золотого Сечения в архитектуре.

Нижеследующая таблица демонстрирует скрытую тайну законов звука, заключенную в том, что возрастающие числа, демонстрирующие отношения звуковых частот, соответствуют обратному порядку длин струн. Закон музыкальной гармонии, рассматриваемый с точки зрения идеи частотных пропорций, неожиданно становится законом естественного порядка во Вселенной, некоем Дао всех вещей, согласно которому обратные друг другу одновременные движения влияют друг на друга с тем, чтобы создавать звук и все видимые формы.

Рисунок2. Таблица отношений частот звуковых волн и длин струн. Перевод надписей: Vibration – колебания. Note – нота. H M (Fourth) – кварта. A M (Firth) – квинта. Octave – октава. String length – длина струны.

Теперь мы готовы продемонстрировать этот числовой и гармонический принцип в геометрии. Геометрическое основание может быть выражено формулой:

Тогда гармоническое основание может быть выражено формулой:
b(a+c)=2ac,
и таким образом является результатом сложения двух экстремумов, что может быть выражено как:

.

Геометрическая пропорция также называется идеальной пропорцией потому, что она прямо-пропорциональна и ограничена одним средним значением. И арифметическая и гармоническая медианы представлены в этой геометрической пропорции посредством взаимного обмена противоположностей, игрой между чередованием и инверсией.

Практические примеры

Давайте попробуем найти доказательства нашей теории о прогрессиях и гармонии в музыке, о которых говорили выше. Для начала возьмем две геометрических прогрессии начинающиеся с цифр 2 и 3 с шагом 2. Первый член прогрессии – 2 будем именовать мужским, а 3 – соответственно женским. Соотношение 1:2 символизирует октаву, пространственная среда, в которой первое консонантное деление на три (квинта 2/3) символизирует начало или определение шаблона будущей формы, то есть некоего правила или формулы, задающей фиксированные пропорции в изначально безбрежном и необусловленном звуке – октаве.

3 6 12 24 48
2 4 8 16 32

В работе Платона «Тимей» продемонстрирован тот факт, что посредством умножения цифр 2 и 3 можно выразить все цифры в Пифагорейской музыкальной системе, состоящей из квинт 3:2. Как платонисты мы помним, что цифра Два символизирует силу умножения, октаву, женское начало, изменчивость, в то время как цифра Три символизирует мужское начало, точность, твердость, устойчивость к изменениям, неизменный источник шаблонов построения форм, таблица умножения на которую даст нам все доступные виды музыки. Так была описана в его работах «музыка сфер», как универсальная гармония, возникающая между этими двумя символами женского и мужского начала.

Рисунок 3. Эта диаграмма Джорджи (Франческо Георгий Венето (Джорджи) (1460-1540), итальянский францисканский монах и автор работы De Harmonia Mundi Totius, прим. перев.) показывает две геометрических прогрессии, начинающихся с цифр 2 и 3 и данных Платоном в «Тимей», демонстрирует их связь с музыкальными пропорциями 6, 8, 9, 12. Он использовал музыкальные пропорции в качестве основания для расчета оптимального количества октав, кварт и квинт, формирующих гармоническую систему, которую можно использовать в архитектуре, изобразительном искусстве и других видах творчества.

Теперь давайте попробуем интерпретировать эти две геометрические последовательности, и выясним, что геометрическая прогрессия на самом деле является комбинацией арифметической и гармонической прогрессий.

Рисунок 4. Комбинация прогрессий. Перевод надписей: Arithmetic – арифметическая прогрессия, Harmonic – гармоническая прогрессия.

На рисунке мы видим, что каждое перекрытие наборов из трех чисел дает нам либо арифметическую, либо гармоническую прогрессию: 2, 3, 4 – арифметическая, 3, 4, 6 – гармоническая; 4, 6, 8 – арифметическая, 6, 8, 12 – гармоническая и так далее. Таким образом перемешивание мужского числа, рассчитанного в геометрической прогрессии, и женского числа, рассчитанного также, дает нам в итоге два перемежающиеся числовых ряда, составляющих интересную пропорцию.

Давайте теперь попробуем использовать тот же подход, использованный в одномерной линейной структуре, в структуре двумерной, в виде Лямбда Таблицы (такую таблицу также иногда называют «лямбдома», и она представляет собой тетрактис Пифагора, дополненный лямбдой из диалога Платона «Тимей», посвященный происхождению и устройству Вселенной, прим. перев.):

Это треугольный массив чисел, которые пересекаются в геометрической прогрессии от 2 (по горизонтали) и от 3-х (по диагонали). Все последующие вертикальные числа соотносятся друг к другу как 2:3, что аналогично умножению одного числа на 3/2 для того, чтобы получить следующее число. Это последовательное умножение на 3/2 (музыкальную квинту) и есть тот метод, что был использован Пифагором для формирования музыкального звукового ряда. Характеристики числовых рядов, указанные на страницах 82 и 83 (в нашем случае в данной статье, прим. перев.), теперь становятся очевидными.

Генеративный характер Лямбда Таблицы изображен на бедрах женщины в работе 1503 г. на странице 7. Исследуя данную таблицу мы обнаруживаем, что каждый квадрат из четырех чисел, например 2, 4, 6, 3, содержит в себе две арифметических прогрессии (2, 3, 4 и 2, 4, 6), дающие нам три грани квадрата (кроме нижней грани) и одну диагональ. Кроме того, аналогичная фигура получается из гармонической прогрессии 2, 3, 6 и 3, 4, 6, что дает нам три стороны квадрата, две из которых совпадают с квадратом предыдущим, а третья проходит внизу, а также диагональ.

Рисунок 5. Квадраты арифметической и гармонической прогрессии.

Эту таблицу дал нам Никомах Герасский (древнегреческий философ, математик, теоретик музыки, 60-120 г. н.э., прим. перев.), в ней наложены указанные две пропорции, дающие нам квадрат, как конечный символ, выражающий базовые основы существования реальности. Это выраженное графически соответствие между числами и музыкальными пропорциями, указанное в «Тимей», и способ, которым Мировая Душа проявляется в физическом мире.

Другое геометрическое упражнение показывает связь между исходными функциями и медитативными практиками, создающими мир гармонии в музыке.

Рисунок 6. Используя квадрат со сторонами и площадью, равными единице, мы можем дать геометрическое или тригонометрическое доказательство того факта, что если от пересечения диагонали квадрата с длиной линии равной √2 с линией, и линии с длиной √5/2 провести линию под прямым углом к верхней грани квадрата, то мы получим деление этой грани на части, равные 1/3 и 2/3. А в итоге мы получим трехступенчатую арифметическую прогрессию: 1/3, 2/3, 1.

Рисунок 7. Снова вернемся к этому квадрату. Теперь нарисуем дугу по окружности из левого нижнего угла в правый верхний угол. Снова найдем точку ее пересечения с диагональю √2. Из полученной точки нарисуем новую дугу относительно левой верхней вершины квадрата с вычисленным через пересечение радиусом. В итоге мы снова получим деление верхней грани квадрата, но теперь в трехступенчатой гармонической прогрессии: (√2-1),(2-√2),1.

Рисунок 8. Последний способ деления квадрата со стороной, равной 1, приведет нас прямая с длиной √5⁄2. Эту прямую мы проведем из левого верхнего угла в середину правой грани. Далее из правого верхнего угла мы нарисуем дугу из окружности, радиус которой также равен половине длины правой грани или 1/2. Из полученной точки пересечения мы нарисуем новую дугу из окружности в центре верхнего левого угла. Пересечение этой окружности с верхней гранью даст нам ее деление в соответствии с геометрической пропорцией: 1⁄(ϕ^2,1⁄(ϕ,1)) (где ϕ=(√5-1)/2=1,618 – постоянная «золотого сечения», прим. перев.).

В квадрате ABCD со сторонами, равными 1, диагонали проводятся через углы AC и BD. Если нарисовать окружность с радиусом BD (как мы видели выше радиус в этом случае будет равен √2) и центром в точке B вниз от точки D, то мы получим новую точку – G, отстоящую от B на √2. Дорисуем новый прямоугольник со стороной √2, получив точки G и H. Далее нарисуем в точке С новую окружность с радиусом, равным длине грани СG, то есть разнице радиуса окружности √2 и единичной стороны квадрата: √2-1. Пересечение этой окружности с диагональю единичного квадрата AC даст нам точку F. Аналогичная окружность из точки D, пересекаясь с диагональю BD даст нам точку E. Далее из вершин единичного квадрата A и B нарисуем новые окружности с радиусами AF=BE. Соединив полученные дуги и соответствующие им грани единичного квадрата и нового прямоугольника мы получим изображение кубка (идеальный «Грааль»).

Рисунок 9. Пример изображения красивого кубка или судна, нарисованного в стиле кубка, полученного путем гармонического деления целой фигуры. Мы можем сказать, что видим здесь идеальное изображение Святого Грааля.

Это кубок представляет собой пример analogos геометрической пропорции, выраженной путем деления изначально единой фигуры на ряд средних и экстремальных значений.

Все три медианы были рассчитаны исходя из того, что единица принималась как наибольшее число из соответствующего ряда. Эти ряды чисел провозглашены основой трансцедентальных (сверх-рациональных) пропорций, ввиду предположения, что в неизмеримом состоянии они уже заложены в первоначальное единство, из которого исходят. (Нужно помнить, что античная музыка построена только на целых числах, но основные принципы музыкальной структуры базируются на показанных здесь правилах деления). Эти три медианы составляют собой триединство триединств, другими словами, это три ступени деления каждой из трех видов прогрессий. Посредством священных корней из чисел 2 и 5 они выражают гармоническое деление Времени (музыка) и Пространства (геометрия), и часто используются в традиционных культурах, находя свое выражение в архитектуре, изобразительном искусстве, науке, мифологии и философии.

Комментарии к практическим примерам

Найденные Платоном гармонические соотношения, указывают на фундаментальную связь между музыкой и геометрией. В своем «Седьмом письме» Платон указывал, что эта связь и есть фундаментальное знание, над достижением которого действительно стоит работать. И возможно именно по данным законам египтяне построили две свои пирамиды в Гизе, в основе которых геометрическая прогрессия 1,√ϕ,4, используемая при расчете размеров граней треугольников на сторонах одной пирамиды, а арифметическая прогрессия 3, 4, 5 другой. В наши дни Симона Вейль (Simone Weil) (Симо́на Адольфи́на Вейль (Вайль) — французская религиозная мыслительница и философ, 1909-1943 г., прим. перев.) указывает, что весьма важно исследовать эти законы, лежащие по ее мнению в основе христианского мистицизма.

Посредством работ Ханса Дженни (Hans Jenny) (швейцарский исследователь, придумавший термин «киматика», 1904-1972 г., прим. перев.) мы можем воотчую лицезреть прямую связь между формой и звуком в физическом мире. Эксперименты Дженни показали нам, что частоты звуковых волн имеют способность влиять на хаотичное движение частиц или строить различные формы из плотных изначально бесформенных эмульсий. Создавать периодически повторяющиеся последовательности. Другими словами звук – это инструмент посредством которых временные шаблоны могут сформировать пространственные и геометрические формы.

Рисунок 10. Планетарная система базируется на музыкальной пропорции 6, 8, 9, 12, построенной на арифметической и гармонической прогрессиях, между геометрическими соотношениями 6 и 12, в которой все тона построены на Пифагорическом диатоническом (мажорном) звукоряде (его также называют «Пифагоров строй», прим. перев.) (к сожалению найти данное изображение в хорошем качестве с читаемыми надписями автору перевода не удалось, если у кого-то получится, то пришлите пожалуйста для публикации. Связь между музыкальной гармонией и движением планет, а также саму теорию «музыки сфер» подробно изучал Иоганн Кеплер, опубликовав в 1619 году работу «Harmonices Mundi» (Гармония мира). Более того, в том же труде Кеплер предположил, что есть связь между орбитами планет и Платоновыми телами, которые в сакральной геометрии и оккультной химии считаются «кирпичиками» всей материи. Прим. перев.).

Рисунок 11. Каноническое изображение человеческого тела от Альбрехта Дюрера, как символе выражения всех трех видов прогрессий и отношений в Единстве.

Рисунок 12. Различные звуковые частоты заставляют разбросанные случайным образом частицы выстраиваться в различные геометрические узоры.

Рисунок 13. Геометрические узоры, формируемые частотными интерференциями электрического луча. Семиконечная фигура возникает из окружности и возвращается обратно в нее.

Рисунок 14. Вибрационное изображение базового звука Ом.

Рисунок 15. В Древнем Египте за эпистемологический базис философии и науки была взята природная способность откликаться на законы гармонии в звуке и форме. Можно провести аналогию со слепым арфистом, чье легендарная мудрость происходит не из познания окружающего видимого мира, но из внутреннего знания метафизических законов, на котором он построен.

Большое количество современных направлений в науке проводят свои изыскания в попытках проверить теории древней космогонии, в которой указывается вибрационное происхождение всех вещей от Божьего Слова или Космического звука. Алан Даниэлу (Alain Daniélou) указывал, что мистическая взаимосвязь между вибрацией и формой является центральной идеей всей духовных учений прошлого:

От атомов до Вселенной каждое движение происходит согласно определенному темпу или ритму или периодичности и может быть подвержено сравнению с вибрацией, и лучше всего в природе этот эффект выражается с помощью звука. Не все вибрации доступны нашему уху, но взаимосвязь формы и вибрации может быть понята путем изучения различных частот слышимых нами звуков. Подобие звуков на разных частотах и форм или объектов идеально лучше всего выразимо посредством музыки.

Чистые звуки нематериального характера содержат в себе глубочайшую природу вещей, и именно их Кабир называет «неслышимая музыка». Такие звуки мы можем регистрировать только с помощью специальных приборов, более чувствительных, чем наши уши. Одной из основных целей психо-ментальной дисциплины, называемой йогой, является повышение нашей чувствительности, и, в частности, способности распознавать такие звуки.
(Traité de musicologie comparée)

А Джон Вудрофф (John Woodroffe) сопровождая свои переводы с Хинди говорил:

Натуральным именем любой сущности является звук, производимый гармоничным согласным движением сил, действие которых привело к его созданию. Поэтому говорится, что тот, кто мысленно или физически произносит натуральное имя сущности, тот дает ей жизнь.

(Garland of Letters)