Как «Задача о разорении игрока» поможет принимать решения в крипте и в жизни
Gambler's ruin — классическая задача из теории вероятности, которая может многому научить о жизни, бизнесе и инвестировании.
Она описывает ситуации типа «Давид против Голиафа» («Мастерство против размера»). Битва между Давидом и Голиафом продолжается в течение нескольких «раундов», в каждом из которых есть победитель. После каждого раунда проигравший отдает победителю часть своих ресурсов до тех пор, пока один из игроков не будет уничтожен.
Благодаря мастерству Давид имеет более высокую вероятность победы в каждом отдельном раунде, но из-за асимметрии размеров проигрыш влияет на него более негативно, чем на Голиафа. Поскольку у Голиафа больше ресурсов, он способен выдержать больше ударов, и в этом его преимущество.
Предположим, Давид приносит на стол $2000, а Голиаф — $10 000. Таким образом, у Голиафа пятикратное преимущество в размере. Однако мастерство дает Давиду 55% шансов на победу в каждом раунде. Поражение обходится проигравшему в $1000, которые уходят победителю. Исходя из этого, Голиафу нужно выиграть на 2 раунда больше, чем Давиду — уничтожить $2000 последнего. Давиду же для победы нужно выиграть на 10 раундов больше, чем выиграет Голиаф. Кто с большей вероятностью победит в битве?
Вот картинка, показывающая все возможные состояния, через которые могут пройти Давид и Голиаф, прежде чем один из них в конце концов победит другого. В математике такая последовательность называется цепью Маркова.
Существует множество способов анализа цепей Маркова, один из которых позволяет нам решить «задачу о разорении игрока». Применяя формулу, мы видим, что у Давида только ~36% вероятности выиграть нашу битву, т.е. шансы почти 2 к 1 в пользу Голиафа. Таким образом, преимущества мастерства в 55/45 недостаточно, чтобы преодолеть преимущество размера в 10К/2К при ставках $1000/раунд.
Какие выводы можно из этого сделать?
Вывод 1: жизнь вероятностна
Поэтому и мыслить стоит вероятностно, а не детерминированно. Предположим, что мастерство Давида дает ему преимущество 80/20 над Голиафом. В этом случае Давид почти всегда преодолевает преимущество Голиафа в размерах (~94% времени). Но даже шанс на победу в 94% — это еще не победа, поэтому если мы ставим на кого-либо из них, эти шансы нужно учитывать.
Вывод 2: когда мы противостоим кому-то с большими ресурсами, нужно стремиться к тому, чтобы шансы были в нашу пользу
Если шансы 50/50, а у нашего противника бесконечно глубокие карманы, мы наверняка проиграем битву. Именно здесь кроются корни названия: «разорение азартного игрока». Если азартный игрок с ограниченными ресурсами и отсутствием преимущества продолжает играть против казино с практически бесконечными ресурсами, рано или поздно он разорится.
Вывод 3: низкозатратные эксперименты повышают шансы на победу
Например, когда ставки составляют $1000/раунд, преимущество Голиафа в размере $10K/$2K дает ему шансы на победу почти 2 к 1, несмотря на преимущество Давида в мастерстве 55/45. Но что если мы уменьшим ставки до $100/раунд? Теперь шансы меняются, Давид побеждает Голиафа в 98% случаев! Это происходит потому, что каждый раунд становится низкозатратным экспериментом.
При стоимости проигрыша в $1000 достаточно всего 2 неудачных раундов, чтобы уничтожить Давида. Даже при шансах 55/45 такое случается довольно часто. Но когда каждый раунд стоит всего $100, требуется по крайней мере 20 неудачных раундов, чтобы разорить Дэвида. При коэффициенте 55/45 это маловероятно. Силу дешёвых экспериментов хорошо понимают современные IT-гиганты.
Вывод 4: ищите игры с ненулевой суммой.
«Задача о разорении игрока» представляет собой пример игры с нулевой суммой. Каждый доллар, проигранный одним игроком, выигрывает другой. Но что если бы победитель раунда получал $2, а проигравший терял только $1? В таких играх с положительной суммой обычно есть хороший шанс, что оба игрока выживут — даже слабый игрок, уступающий и по размеру, и по мастерству.
Вывод 5: в противостоянии сильному противнику стремитесь к тому, чтобы он не смог использовать всю свою силу
У Голиафа может быть хоть $1 млн — если в каждом раунде он забирает только $1000, остальные $999 тысяч просто простаивают. Выигрыши по $1000 дают гораздо больше Давиду. Подобные ситуации часто встречаются в бизнесе: небольшие компании конкурируют в нише, которая не слишком волнует крупных игроков, а закрепившись в ней, расширяются и становятся серьезной угрозой.