Как математически определить оптимальный размер сделки?
Критерий Келли — простая стратегия максимизации прибыли за счёт размера позиции. Объяснение финансового инфлюенсера Ming Zhao.
Что такое критерий Келли?
Чтобы объяснить, давайте сыграем в игру. Мы делаем ставку на подбрасывание монеты.
Какую часть своих средств вы поставите на следующий бросок? Лучше поставить 4200 раз по $69 или 69 раз по $4200? Почему это вообще имеет значение?
Интуитивно вы можете подумать: «Хм, шансы 51-49... матожидание положительное! Почему бы не вложить 100% средств в такую асимметричную сделку?!».
К сожалению, ничем хорошим это не закончится.
Предположим, вы начинаете с 10 тысяч долларов. Вы почти гарантированно разоритесь, совершив менее 20 сделок.
Ладно, хорошо, выдохнем. 100% было слишком агрессивно. Как насчет 15%? 5%? Давайте посмотрим на результаты моделирования.
Даже при 15% есть высокий шанс разориться до первой тысячи сделок. При 5% — до первых 6000 сделок.
«Значит, я должен сделать размер еще меньше?» — скажете вы. Но почему? Вот почему👇
Объяснение критерия Келли
Вкратце, матожидание состоит из 2 компонентов:
B) величина выигрыша за сделку.
Инвестирование часто является игрой с низкой частотой (А) и высокой (В).
Рассмотрим серию последовательных ставок в нашей игре с бросанием монеты. После 2 подбрасываний есть 4 возможных исхода, но выигрывает только 1.
После 8 бросков выигрывают только 3.
Другими словами, большую часть времени мы проигрываем. Но размер ваших ставок достаточно мал, и ваш портфель доживет до следующего крупного выигрыша, т.е. проживет достаточно долго, чтобы положительное матожидание сыграло свою роль.
Простая формула для определения оптимального размера ставки
У каждой сделки есть оптимальный размер сделки. Назовем его K%, или «процент Келли» от вашего портфеля. Это значение, которое максимизирует ожидаемую прибыль в течение многих последовательных сделок с аналогичным риском.
Давайте найдем K% для нашей игры в монету.
Другими словами, оптимальная торговая стратегия, которая максимизирует долгосрочную прибыль, заключается в том, чтобы каждый раз рисковать примерно 2% средств.
Применение критерия Келли к реальным сделкам
Ниже приведена блок-схема, описывающая систематический процесс применения критерия Келли, то есть принятия решения о том, сколько вложить, исходя из уровня уверенности в каждой сделке.
Фундаментальные инвесторы заключают сделки с:
(B) приблизительным вероятностным распределением.
Это идеальная ситуация для применения критерия Келли.
Например, допустим, вы считаете, что существует 55% вероятность того, что $COST поднимется до $580 во втором квартале, и 45% вероятность того, что он упадет до $525. Будете ли вы входить по текущей цене $555? Для простоты мы предполагаем, что вероятность того, что $COST останется во флэте (525-580), ничтожно мала.
Получается, что вы должны войти в сделку на 1% от вашего портфеля.
Трудности применения критерия Келли
Две ключевые проблемы в реальном мире могут помешать вам правильно использовать критерий Келли.
Проблема №1: Дробное инвестирование
Актив может не торговаться дробно. Представьте, что вы пытаетесь инвестировать 1% от портфеля в 100 тысяч:
- в коллы $TSLA (где минимальный размер контракта 100 лотов, т.е. 8-10 тысяч). Для этого вам нужны дробные опционы.
- в нефтяные фьючерсы (где минимальный размер контракта 1000 баррелей, т.е. 113 900). Для этого вам нужны дробные фьючерсы.
[К счастью, в случае с криптой такой проблемы не стоит]
Проблема №2: Непрерывные вероятности доходности акций
Распределения вероятностей в реальном мире непрерывны, а не бинарны/дискретны. К счастью, Эд Торп давно придумал решение этой проблемы: модифицированный метод Келли.
- Разделите движение акции на N (бесконечное) бинарных событий.
- Примените критерий Келли к каждому из них.
- Вычислите интеграл.
Более подробное объяснение можно найти здесь: https://sites.math.washington.edu/~morrow/336_20/2016papers/nikhil.pdf