Магия бесконечности

И так, можно ли считать бесконечность числом? Ответ – нет. Но, с бесконечностью можно выполнять арифметические действия:

∞+1=∞

∞+∞=∞

5*∞=∞

1/∞=0

Технически, наибольшего числа не может существовать, так как к нему всегда можно прибавить единицу и получить число еще больше. Поэтому ребята-математики сошлись на том, что символ ∞ - это что-то произвольно большое(очень большое), больше, чем любое положительное число. Символ -∞ означает самое маленькое число, когда-либо существующее.

Выше вы увидели все математические действия с бесконечностью, кроме одного: вычитания. Считайте, что операция ∞-∞ не определена.

Теперь рассмотрим такое равенство:

0.999999…=1

Не согласитесь с этим? Конечно, значения справа и слева очень близки, но это же не значит, что они равны? Давайте начнем с наиболее очевидного:

0.3333…=1/3

Теперь умножим обе части нашего выражения на 3

1=3/3=0.9999999…

В результате получаем первое равенство!

Двигаемся дальше. Два числа или две бесконечные суммы чисел считаются равными, если они близки друг к другу. То есть, разница между этими числами меньше, чем любая существующая положительная величина, математики допускают, что это равные числа.

Вернемся к выражению 1+1/2+1/4+1/8+1/16+…=2

Эту сумму можно интерпретировать физически. Допустим, мы стоим на расстоянии 2-х метров от стены. Делаем один шаг вперед, ровно на один метр. Каждый ваш последующий шаг – это половина предыдущего. Таким образом, когда-нибудь вы станете к стене вплотную, но никогда не выйдете за пределы этой стены. Суму бесконечного ряда этих чисел можно так же подать геометрически и алгебраически, но мы вернемся к этому в следующий раз.

Сейчас же рассмотрим последнее, и, самое интересное, выражение: 1+2+3+4+5+…=-1/12

Запишем одну и ту же сумму в начальном виде со смещением на один член:

S=1-1+1-1+1-1+…

S= 1-1+1-1+1+…

Найдем сумму этих двух формул:

2S=1

То есть, S=1/2.

Теперь же запишем сумму всех натуральных чисел, но изменяя знак перед каждым парным числом, в начальном виде, и со смещением:

T=1-2+3-4+5-6+7-8…

T= 1-2+3-4+5-6+7-…

Теперь прибавим эти ряды:

2Т=1-1+1-1+1-1+1….

То есть, 2Т= S=1/2

Тогда Т=1/4

Запишем сумму всех натуральных чисел, и обозначим ее, как U.

U=1+2+3+4+5+6+7+8…

Теперь отнимем от этой суммы уже знакомый нам ряд чисел Т:

U-T=4+8+12+16+…=4(1+2+3+4+…)

То есть,

U-T=4U

3U=-T

Тогда U=-1/12.

Именно это и требовалось доказать.

Напомню, что при суммировании бесконечного количества элементов сумма всегда будет разной. Но не спешите отбрасывать эти результаты, как неправильные! В теории струн, например, используется как раз эта формула. Как видите, если пофантазировать, можно найти новые и красивые результаты…