Решение задачи 499
Сумма трех наибольших натуральных делителей натурального числа N в 10 раз больше суммы трёх наименьших его натуральных делителей. Найдите все возможные значения N.
Так как сумма наибольших трех делителей кратна десяти, то она четная. Если N нечетно, то все его делители тоже нечетны, значит и сумма трех наибольших тоже нечетна, противоречие. Противоречие. Значит, N четно.
Докажем, что N кратно четырем. Пусть N не кратно четырем, но кратно двум (доказано выше). Тогда три наибольших делителя это N, N/2, N/p, где p — нечетно. Первый и третий четны, а второй нечетен, значит сумма нечетна, противоречие.
Итак, N кратно четырем. Значит, наименьшие три делителя это 1, 2 и 3 или 1, 2 и 4. Рассмотрим два случая и запишем равенство из условия.
Первый случай (наименьшие делители это 1, 2 и 3):
10(1 + 2 + 3) = N + N/2 + N/3 = 11N/6 => 60 = 11N/6. Нет решений.
Второй случай (наименьшие делители это 1, 2 и 4):
10(1 + 2 + 4) = N + N/2 + N/4 = 7N/4 => 70 = 7N/4 => N = 40.