Математический фокус: загадочная цифра 9

"В детстве моим любимым моим числом была девятка: ее магия мне казалась бесконечной, неисчерпаемой", - говорит математик Артур Бенджамин.

Итак, следуйте следующим инструкциям и вы в этом убедитесь:

1. Задумайте число от 1 до 10 (или выберите большее целое число;
если хочется, можете воспользоваться калькулятором).
2. Умножьте его на 3.
3. Прибавьте 6.
4. Снова умножьте на 3.
5. Теперь на 2, если хотите.
6. Сложите между собой цифры своего числа. Если в результате у вас
получилось однозначное число, остановитесь.
7. А если двузначное, снова сложите между собой цифры своего результата.
8. Сконцентрируйтесь на ответе.

У меня стойкое ощущение, что у вас получилось 9. Правильно? Если
нет — проверьте свои вычисления.

Что такого волшебного в девятке?

Первое магическое свойство числа 9 становится явным, когда смотришь на ряд
получаемых от него произведений:

Что общего между этими числами? Если вы сложите между собой
цифры каждого из них, вы гарантированно получите 9.

Давайте проверим: 18 состоит из 1 + 8 = 9, 27 — из 2 + 7 = 9, а, например, 144 —
из 1 + 4 + 4 = 9. Постойтека, вроде есть одно исключение — 99. Сумма
его цифр — 18, но 18 — это произведение 9 и 2.

Вывод, который мы сделаем, может быть, и знаком вам по начальной школе:

Например, если цифры числа 123 456 789 в сумме дают 45 (которое
кратно 9), оно также кратно 9. А 314 156, сумма цифр которого равна 23
(которое на 9 не делится), таковым, наоборот, не является.

Чтобы понять, как это правило связано с фокусом, и в чем, собственно говоря, его суть, обратимся к алгебре.

Вы начали с определенного числа — назовем его N. После его утроения
мы получим 3N, которые после следующего шага превращаются в 3N + 6.
Повторное утроение дает нам 3(3N + 6) = 9N + 18, что равно 9(N + 2).
Если вы это удвоили, у вас будет 18N + 36 = 9(2N + 4), если нет — в результате фигурирует произведение целого числа на 9, и вы в любом
случае закончите числом, кратным 9. Сложив между собой его цифры,
вы снова получите кратное 9 число (скорее всего, 9, 18, 27 или 36), сумма
цифр которого должна опять же быть равна 9.

© из книги Артура Бенджамина "Магия математики"