Линейная алгебра: Матрица (1)

§1. Матрица. Основные понятия.

Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица упорядоченных элементов любой природы.

Матрицы обозначаются большими буквами: A,B,C - Матрица; nXm - размер матрицы; n - число; m - буква; aij - элемент матрица A расположен в i - строке, j - столбце;

— Пример:

Найти: a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a34;

a11 = -5; a12 = 7; a13 = 8; a14 = -9; a21 = -3; a22 = 3; a23 = 3; a24 = -1/2; a34 = Не существует.

Определение: Матрица в которой количества чисел строк равно числу столбцов называется квадратной "n" порядка.

— Пример: ❌

Определение: Элементы квадратной матрицы имеющие одинаковые номера строки и столбца называется диагональными элементами и образец главную диагональ матрицы.

— Пример: Диагональ элемента, где i = j.

Найти: a11, a22, a33, a44 - Главную диагональ; a14, a23, a32, a41 - Побочную диагональ.

Главная диагональ: a11 = 1; a22 = 6; a33 = -3; a44 = 18.

Побочная диагональ: a14 = 4; a22 = 7; a23 = 2; a24 = 4.

Определение: Матрица у которой все не диагональные элементы равны нулю называются диагоналями матрицы.

— Пример:

Диагональная матрица 3 порядка.

Диагональная матрица 4 порядка.

Определение: Диагональная матрица у которой все диагональные элементы равны единице называется единичной матрицей.

— Пример 1: ❌

— Пример 2: ❌

§2. Операции над матрицей.

1) Сложение(Вычитание):

— Пример:

1. A-B:

2. A+B:

3. B-A:

Так же как и A-B только везде меняется знак.

2) Умножение на число K≠0:

— Пример:

Найти: K*A

Определение: Общий множитель всех элементов матриц можно вывести за знак матрицы.

— Пример:

3) Транспонирование матриц:

Определение: Матрица называется транспонированной к матрице А, если строки заменить столбцами.

— Пример:

4) Умножение матриц:

Определение: Для умножение двух матриц необходимо, чтобы числа столбцов в первой матрице равнялось числу строк во второй.

— Пример:

Определение: Произведение двух матриц называется новая матрица каждый элемент который равен сумме произведений элементов i-строки матрица A на элементы j-столбца.