Линейная алгебра: Векторы (2)
§1. Понятие вектора.
Определение: Вектор - направленный отрезок, имеющий определенную длину
Все векторы, которые будут рассмотрены, являются свободными. т.е. могут быть перенесены с помощью параллельного переноса в любую точку плоскости/пространства.
Линейные операции над векторами.
Определение: углом между векторами а и в называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов до совпадения с другим после приведения их к общему началу.
Свойства линейных операций:
Теорема: 1) Вектор а выражается однозначно через свою длину и орт. 2) Векторы а и в коллинеарные тогда и только тогда, когда имеет место равенству.
§2. (...) вектора на ось и её свойства.
Определение: осью называется прямая с заданным на ней направлением. Заданное направление считается положительным. Противоположное направление - отрицательным.
Определение: ортом оси называется вектор, направление которого совпадает с направлением оси и длины его равна единице.
Определение: углом между вектором и осью называется угол между этим вектором и ортом этой оси.
Определение:
Определение:
Определение:
Теорема: проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью.
§3. Линейная зависимость векторов.
Eсли равенство имеет место лишь в том случае, когда все лямды равны нулю, то система векторов называется линейно независимой.
Линейно независимая система векторов образует базис векторного пространства.
Два вектора называются ортогональными, если угол между ними - прямой.
Базис на плоскости образованный из двух единичных ортогональных векторов, называется ортонормированным базисом.
Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из векторов этой системы можно выразить через остальные в виде их линейной комбинации(обратное утверждение верно).
Теорема: всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.
Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.
Для того чтобы векторы были линейно независимы на плоскости необходимо и достаточно чтобы они были неколлинеарные.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной параллельных плоскостях. (...).
Теорема: для того, чтобы 3 вектора в пространстве были линейно независимы необходимо и достаточно чтобы они были не коллинеарные.
Разложение вектора по базису: Каждый вектор векторного пространства можно единственным образом представить в виде разложения по векторам базиса.