Линейная математика: Определения и теоремы

§3.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1-го порядка - число, равное элементу этой матрицы.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 3-го порядка - число, вычисленное одним следующий способов: (Метод треугольников, Саррюса, Крамера, Гаусса)

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ:

1. Если строка/столбец нулевая, то определитель равен 0
2. Если строки/столбцы одинаковые, то определитель равен 0
3. Если строки/столбцы пропорциональные, то определитель равен 0
4. Из всех элементов строки/столбца можно вынести общий множитель
5. Если строку/столбец умножить на k!=0, то определитель изменится в k раз
6. При транспонировании матрицы, её определитель не меняется
7. Если поменять местами 2 строки / столбца, то определитель поменяет свой знак
8. Если к эл-там одной строки/столбца прибавить элементы другой строки/столбца (умноженные на k!=0), то определитель не изменится§4. Теорема об разложение определителя.Минор элемента a_ij матрицы А - определитель, полученный из элементов матрицы А путем вычеркивания i-строки j-столбца. Алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы А - минор этого элемента, взятый с тем же знаком, если сумма элементов четна, и с противоположным знаком, если сумма элементов нечетна. ТЕОРЕМА ПО РАЗЛОЖЕНИЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ/СТОЛБЦУ: Определитель равен сумме произведений элементов i-строки (j-столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения

§4. Теорема об разложение определителя.

Минор элемента a_ij матрицы А - определитель, полученный из элементов матрицы А путем вычеркивания i-строки j-столбца

Алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы А - минор этого элемента, взятый с тем же знаком, если сумма элементов четна, и с противоположным знаком, если сумма элементов нечетна.

ТЕОРЕМА ПО РАЗЛОЖЕНИЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ/СТОЛБЦУ:

Определитель равен сумме произведений элементов i-строки (j-столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения

Определение: треугольная матрица - матрица, в которой ниже главной диагонали все эл-ты равны нулю

Т.: определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов

§5. Обратная матрица.

Определение: матрица невырожденная, если Δ!=0
Матрица вырожденная, если Δ=0

Определение: матрица А^-1 называется обратной, если при умножения слева или справа А*А^-1 получается единичная матрица Е

- - - - - - - - - - - - -
А*А^-1=А^-1*А=Е -
- - - - - - - - - - - - -

Т.: Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (Δ!=0)

Определение: А^С - союзная матрица к А и имеет вид:

- - - - - - - - -
А^С = (А_ij)^T
- - - - - - - - -

Т.: Алгоритм нахождения обратной матрицы:

- - - - - - - - - - - - -
А^-1 = (1/ΔА) * А^С
- - - - - - - - - - - - -
1. Находим ΔА (Проверка на вырожденность А)
2. Находим союзную матрицу А^С
2.1. Находим все алгебраические дополнения А
3. Используем теорему "Алгоритм нахождения обратной матрицы"
4. Проверка А*А^-1 = Е

§6. Матричные уравнения.

Уравнение | решение
А * Х = В | Х = А^-1 * В
Х * А = В | Х = В * А^-1
А * Х * С = В | Х = А^-1 * В * С^-1

§7 Системы линейных алгебраических уравнений ( СЛАУ )

Определение: СЛАУ совместна, если имеет хотя-бы одно решение
СЛАУ несовместна, если не имеет решений
СЛАУ определена, если имеет единственное решение
СЛАУ неопределенна, если имеет бесконечное множество решений

§8 Метод Гаусса (т. Кронекера-Капелли)

СЛАУ совместна, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы
r(A)=r(A|B)
Ранг - максимальное число линейно независимых строк в матрице А

Определение: Эл-т матрицы крайний, если этот эл-т != 0, а все остальные эл-ты строки, стоящие левее этого эл-та равны нулю

Определение: Матрица ступенчатая, если крайний эл-т каждой след. строки расположен правее крайнего эл-та пред. строки

Т.: Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк.
=====
Элементарные преобразования матриц:
1. Нулевую строку может удалить
2. В матрице можно изменить порядок строк
3. Матрицу можно транспонировать
4. Все эл-ты строки матрицы может умножить на одно и тоже число
5. К эл-там одной строки матрицы можно прибавить эл-ты другой строки матрицы, предварительно умноженные на одно и тоже число.

ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СЛАУ МЕТОДОМ ГАУССА ВОЗМОЖНЫ СЛЕДУЮЩИЕ СЛУЧАИ:

1. r(A) < r(A|B)
СЛАУ НЕСОВМЕСТНА, РЕШЕНИЙ НЕТ
2. r(A) = r(A|B)
СЛАУ СОВМЕСТНА И ОПРЕДЕЛЕНА
3. r(A) = r(A|B) < n
СЛАУ НЕСОВМЕСТНА И НЕОПРЕДЕЛЕНА

(РЕШЕНИЙ БЕСК МНОЖЕСТВО, ПРИ ЭТОМ ЧИСЛО ГЛАВНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ РАВНО РАНГУ, ЧИСЛО СВОБОДНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ РАВНО n минус ранг (n-r(A))

ГЛАВА 2. §1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.

Определение: Вектор - направленный отрезок, имеющий определенную длину.
Нулевой вектор - вектор, длина которого равна нулю
Единичный вектор - вектор, длина которого равна единице

Орт вектора А направлен в ту же сторону что и вектор А

- Векторы противоположно направленные, если имеют противоположные направления
- Векторы со направленные, если их направления совпадают
- Векторы противоположные, если они противоположно направленны и длины их равны
- Векторы равные, если они со направленные и их длины равны
- Векторы коллинеарные, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ:

1. Сложение
2. Вычитание
3. Умножение на число!

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ между векторами:

1. vA+vB = vB+vA
2. (vA+vB)+vC = vA+(vB+vC)
3. vA-vB = vA+(-vB)
4. vA+vO = vA
5. k*vO = vO
6. 0*vA = vO
7. -1*vA = -vA
8. vA+(-vA) = vO
9. k*(vA+vB) = k*vA+k*vB
10. k1*k2*vA = (k1*k2)*vA

Определение: Угол между векторами А и В - наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов до совпадения с другим после проведения из к общему началу.

Теоремы:
1) vA выражается однозначно через свою длину и орт
- - - - - - - - - - - - - -
vA = |vA|*|vA^0| (орт)
- - - - - - - - - - - - - -
2) vA и vB коллинеарные, когда имеет место равенство
- - - - - - - - - - - - - -
vA || vB <=> vA = k*vB, k=const
- - - - - - - - - - - - - -

§2. Проекция вектора на ось и её свойства.

Ось - прямая с заданный на ней направлением.
Заданное направление положительно.
Противоположное направление отрицательно.
Орт оси - вектор, направление которого совпадает с направлением оси и длина его равна единице
Угол между вектором и осью - угол, между этим вектором и ортом этой оси.
Проекция точки А на ось L - точка А, в которой ось пересекает перпендикулярную ей плоскость, подходящую через точку А
Составляющая вектора А на ось L - вектор А, начало и конец которого есть проекции начала и конца вектора А на ось L.
Проекция вектора А на ось L - длина составляющей:
1. Взятая со знаком плюс, если направление оси и составляющей совпадают;
2. Взята со знаком минус, если их направление противоположное

Теорема: проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью
- - - - - - - - - - - -
Проекция вектора А на ось L = |вектора А| * cos α
- - - - - - - - - - - -

§3. Линейная зависимость векторов

-Рассмотрим систему векторов данная система является линейно зависимой если существует лямда.

Действительные числа не все равные 0 такие что выполняется равенство

Определение: Если равенство имеет лишь в том случае если все лябмды равны 0 то система линейно независимая

Линейно независимая система векторов образуют базис векторного пространства.

Определение: Два вектора называют ортогальными если угол между ними прямой.

Определение: Базис на плоскости образованный из двух единичных ортогальных векторов называют ортонормирован базисом

Определение: Если система векторов линейно зависима то хоть бы один из векторов этой системы можно выразить через остальные в виде из линейной комбинации (обратное утверждение верно )

Теорема: Всякие три вектора на плоскости линейно зависимые

Макс число линейно независимых векторов на плоскости равно 2

Для того чтобы векторы линейно независимы на плоскости необходимо и достаточно чтобы они были не коллинеарные

Максимально число линейно независимых векторов на плоскости равно 2

Векторы называют компланарными если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях

векторы называют компланарными если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях

всякие и вектора в пространстве линейно зависимы это относится и к большему числу векторов.

Теорема: Для того чтобы 3 вектора в пространстве были независимы необходимо и достаточно чтобы они были не компланарны

Разложение вектора по базису каждый вектор векторного пространства можно единственным образом представить виде разложения по векторам базиса.

§3. Нелинейные операции над векторами.

1 скалярное произведение

Определение: Скалярное произведением называют число равное произведения длин этих векторов на косинус угла между ними

a*b= |a|*|b|* cos y

Если один из векторов О то скалярное произведение равно 0

обозначается (a. b )

§. Векторное произведение векторов.

Определение: векторы abc образую правую тройку векторов если они:
1) не компланарно;
2) взятие именно в такой последовательности;
3) кратчайший поворот от вектора а до вектора в из конца вектора с видеться совершающимся против часовой стрелки.

Определение: векторным произведением векторов а и в называют вектор с = ахв который удовлетворяет три условия.

Трём условиям:
1)Вектор|аxb|=вектор|a|*вектор|b|

§. .