25. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера, по методу Гаусса.

Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель

его называют главным определителем системы.

Если Δ = 0, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если Δ != 0, то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:

Корни уравнения находим по формулам:

Решение систем линейных уравнений по методу Гаусса

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу!

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы:

По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы:

Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае:

Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями.

Если нужно просто узнать ранг матрицы , то можно применять элементарные преобразования и к столбцам. Но если ранг применяется для решения СЛУ, то работаем только со строками, столбцы трогать нельзя.

Существуют следующие элементарные преобразования:

Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки.
Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной.
Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить.
Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля.
К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля.

Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы, а значит и решение системы уравнений

Алгоритм нахождения ранга матрицы для СЛУ

Составляем расширенную матрицу
В любой строке выбираем любой ненулевой элемент, и объявляем его базисным элементом a_ij != 0 - базисный элемент. Умножаем i-ю строку на подходящие числа и прибавляем к остальным строкам матрицы так, чтобы в j-ом столбце были все нули кроме элемента a_ij. Если окажется, что в матрице все строки = 0, кроме i-ой, то ранг матрицы равен 1, если нет, то идем дальше.
В любой другой строке выбираем ненулевой элемент a_pk != 0 — объявляем этот элемент базисным — умножаю p-ю строку на подходящие числа и прибавляю к остальными строками матрицы так, чтобы в k-ом столбце были все нули кроме элемента a_pk. Если окажется что все строки кроме i-ой равны нулю, то ранг матрицы равен нулю.
В ином случае продолжаем эту процедуру пока не получим матрицу в которой:

в каждой строке по одному базисному элементу
в столбцах где находится базисные элементы все нули, кроме базисных, тогда ранг матрицы равен количеству базисных элементов.

Алгоритм решения СЛУ

Записываем расширенную матрицу и находим ранг с помощью элементарных преобразований.
Если окажется, что в расширенной матрице до вертикальной черты есть строка, где все нули, а после черты не ноль, то СЛУ несовместна, т.е. ранг расширенной матрицы != рангу основной матрицы.
Если система совместна, т.е. ранг расширенной матрицы = рангу основной матрицы, то переменные, стоящие на местах базисных элементов объявляем базисными переменными. А остальные свободными переменными.
По последней матрице восстанавливаем систему. При этом базисные элементы оставляем в левой части, остальные переносим в правую часть с противоположным знаком. Выделив полученные равенства на коэффициенты при базисной переменной получим общее решение.
Чтобы найти частное решение необходимо свободным переменным задать любые произвольные значения базисных переменных и общего решения.