6. Понятие определенного интеграла. Основные свойства и критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций.

Определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a, b] - предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных отрезков.

Например:

Интегральная сумма – сумма,через предел которой вводится определённый интеграл.

И, если количество отрезков разбиения устремить к бесконечности, то интегральная сумма (площадь ступенчатой фигуры) будет стремиться к площади криволинейной трапеции.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральной суммы при диаметре разбиения, стремящемся к нулю:

Свойства определенного интеграла

Ниже предполагается, что f(x) и g(x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

Критерий интегрируемости по Риману

Пусть функция f ограничена на отрезке [a, b]. Для того чтобы f была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство:

Это равенство означает, что для любого положительного eps найдется такое положительное δ, что для каждого разбиения П, диаметр которого d(П) < δ, справедливо неравенство:

Классы интегрируемых функций

Всякая непрерывная на отрезки [a,b] функция интегрируема на этом отрезке.
Любая монотонная ограниченная функция является интегрируемой функцией.
Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то и функция cf(x), где c – константа, интегрируема на этом промежутке.
Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то и функция |f(x)| интегрируема на этом промежутке.
Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на промежутке [a,b], то и их сумма, разность и произведение интегрируемы на этом промежутке.
Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то она интегрируема и в любой части этого промежутка.
Если функция f(x) интегрируема в каждой части некоторого промежутка, то она интегрируема и на всем промежутке.
Если значения интегрируемой функции изменить в конечном числе точек на конечные величины, то интегрируемость функции не нарушится. Применительно к функции f(x), которая не определена в конечном числе точек промежутка [a,b], это означает, что ни существование интеграла:

ни его величина не зависят от значений, приписанных функции f(x) в точках ее разрыва.