18. Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Моменты и центральные моменты. Пример.

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайные величины, как правило, обозначают через X, Y, Z, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, x_1, x_2, x_3.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, которая может принимать конечное число изолированных друг о друга значений, т.е. если возможные значения этой величины можно пересчитать.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, все возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток числовой прямой.

Закон распределения дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина характеризуется значениями, которые она может принимать, и вероятностями, с которыми эти значения принимаются.

Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и соответствующими им вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Если известны все возможные значения x_1, x_2,..., x_n случайной величины Х и вероятности p_1, p_2,..., p_n появления этих значений, то считают, что закон распределения ДСВ Х известен и он может быть записан в виде таблицы:

Закон распределения ДСВ можно изобразить графически, если в прямоугольной системе координат изобразить точки (x_1, p_1), (x_2, p_2),..., (x_n, p_n) и соединить их отрезками прямых линий. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Математическое ожидание— это число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины.

Пусть известен закон распределения ДСВ Х:

Математическим ожиданием ДСВ Х называется сумма произведений каждого значения этой величины на соответствующую вероятность:

Математическое ожидание случайной величины приближённо равно среднему арифметическому всех её значений. Поэтому в практических задачах часто за математическое ожидание принимают среднее значение этой случайной величины.

Смысл: если подбросить шестигранный кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близко к 3,5 (пример вычисления

– и чем больше провести испытаний, тем ближе.

С помощью данной формулы можно посчитать выгодно ли играть в игру, к примеру не выгодно играть в рулетку, потому что куда бы не поставил игрок выходит, что у него 18 выигрышных вариантов и 19 проигрышных, следовательно он проигрывает в среднем 2,7 рубля

Дисперсия случайной величины — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

В практических задачах для вычисления дисперсии используют равносильную формулу

Смысл: смысл дисперсии можно так же привести игровой, но он не слишком крутой (как например у мат. ожидания). Дисперсия может характеризовать стиль игры. Игра с низкой дисперсией – это осторожная игра. Игрок склонен выбирать самые надёжные схемы, где за 1 раз он не проигрывает/выигрывает слишком много. Например, система «красное/чёрное» в рулетке или осторожный игрок в покер. 

Игра с высокой дисперсией. Её часто называют дисперсионной игрой. Это авантюрный или агрессивный стиль игры.

То же самое происходит на Форексе, и так далее.

Дисперсия характеризует разброс случайной величины около её математического ожидания и, как видно из формулы, измеряется в квадратных единицах по сравнению с единицами самой случайной величины. Поэтому для согласования единиц измерения разброса случайной величины с единицами измерения самой величины вводится среднее квадратическое отклонение.

Если мы отклонимся от математического ожидания влево и вправо на среднее квадратическое отклонение, то на этом интервале будут «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины. Однако так сложилось, что при анализе рассеяния почти всегда оперируют понятием дисперсии.

Моменты и центральные моменты

Обобщенными числовыми характеристиками для случайных величин в теории вероятностей, а также математической статистике являются начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание от величины в k-ой степени X^k:

ν_k = M(X^k) (k = 1, 2, 3, …)

Когда k = 1, ν_1 = M(X);

Когда k = 2, ν_2 = M(X^2)и т. д.

Для дискретной случайной величины начальные моменты определяют зависимостью

Для непрерывной случайной величины (на всякий случай)

Центральным моментом k-го порядка называют математическое ожидание от величины (X-M(X))^k:

µ_k = M(X-M(X))^k (k = 1, 2, 3, …)

Когда k = 1, µ_1 = M(X-M(X)) = 0

для k = 2, имеем µ_2 = M(X-M(X))^2 = D(X);

при k = 3, µ_3 = M(X-M(X))^3;

и так далее.

Для дискретной случайной величины центральные моменты вычисляют по формуле

Пример: