16. Численное решение дифференциальных уравнений. Итерационная формула метода Рунге-Кутта. Погрешность формул численного решения дифференциальных уравнений.

Производной y′ функции y(x) в точке x называется предел отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента ∆x при стремлении приращению аргумента ∆x к нулю.

Геометрический смысл производной

Численное значение производной функции y′ в точке x равно тангенсу угла наклона α касательной, проведенной через эту точку к графику функции y(x).

Геометрический вывод метода Эйлера

Идея метода Эйлера заключается в замене бесконечно малых дифференциалов dy и dx конечными приращениями ∆y и ∆x (при ∆x≠0).

По оси х делается шаг h вправо до точки x1. Двигаясь из точки x1 вверх до касательной, находим значение y1. В полученном прямоугольном треугольнике

Таким образом,

P.S. Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения отрезком касательной приведенной к графику в левой точке отрезка. Затем строится касательная к кривой в правой точке отрезка и переносится параллельно до совмещения с концом касательной, построенной на предыдущей итерации и т.д. Полученная ломаная и есть приближенное решение.

Итоговая расчетная формула метода Эйлера

Шаг интегрирования

Начальное условие

Весь диапазон [x0, xn] делится на n частей, каждая из которых равна шагу интегрирования h. На каждом отрезке [xi, xi+1] используется формула Эйлера.

Численное решение дифференциального уравнения имеет вид набора отрезков прямых. Оценка погрешности получается путем двойного пересчета с половинным шагом интегрирования. Необходимо проверить все точки (i=1, n) и выбрать наибольшую по модулю разность между значениями функции y(x), полученными с полным и половинным шагом.

Понятие порядка метода

Порядок метода соответствует количеству вычислений правой части дифференциального уравнения y′ = f (x, y).

Для понимания: Идея коррекции метода Эйлера В простом методе Эйлера 1-го порядка приближенное значение функции y(x) на отрезке [xi, xi+1] рассчитывается исходя из вычисляемого однократно в начальной точке отрезка xi постоянного значения производной y′ (xi, yi). Поскольку в конце отрезка значение производной y′ нелинейной функции y(x) может заметно измениться, метод Эйлера 1-го порядка дает существенную погрешность (для снижения которой необходимо уменьшать шаг интегрирования). В методах 2-го и 4-го порядка значения производной вычисляются не только в начале, но и в середине и/или конце каждого отрезка. Для вычисления значения функции в конце отрезка y(xi+1) используется усредненное значение тангенса угла наклона касательной Ф(xi, yi).

Исправленный метод Эйлера

В исправленном методе Эйлера 2-го порядка производная вычисляется в начале отрезка (k1) и в конце отрезка (k2).

P.S.S Формулу которую требуют в вопросе, это общая формула с подставленными переменными. Здесь они приведены в удобный вид.

P.S.S.S. Геометрический смысл исправленного метода Эйлера заключается в следующем. Строится касательная к графику в левой точке отрезка. Затем строится касательная в правой точке отрезка. Находится средняя линия и переносится в левый конец отрезка. Правая точка касательной будет являться следующим приближением.

Оценка погрешности вычислений для метода порядка K

Метод Рунге-Кутта

В методе Рунге-Кутта четвертого порядка производная вычисляется четыре раза:

P.S. Формулу которую требуют в вопросе, это общая формула с подставленными переменными. Здесь они приведены в удобный вид.

Для вычисления каждого нового значения тангенса угла наклона касательной (k2, k3, k4) используется предыдущее значение (k1, k2, k3 соответственно).

Оценка погрешности вычислений для метода порядка K