7. Понятие двойного интеграла и его свойства. Сведение к повторному интегралу. Нахождение объемов.

Двойной интеграл

Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных есть двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области D, принадлежащей плоскости Oxy, задана непрерывная функция u = f(x; y). Разобьем эту область на n элементарных областей D_i (i = 1; n), площади которых будем обозначать как ΔS_i, а наибольшее расстояние между точками соответствующей области - через d_i:

В каждой элементарной области D_i выберем произвольную точку M_i(x_i; y_i). Значение функции f(x_i; y_i) в этой точке умножим на площадь соответствующей элементарной области и все такие произведения просуммируем:

Полученная сумма называется интегральной суммой функции u = f(x; y) в области D.

Найдем предел указанной интегральной суммы при n -> ∞ таким образом, чтобы d_i -> 0. Если такой предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные области, ни от способа выбора в них точек M_i, то он называется двойным интегралом от функции u = f(x; y) по области D и обозначается:

Итак, двойной интеграл определяется равенством:

Область D называется областью интегрирования, x и y – переменные интегрирования, функция u = f(x; y) – подынтегральной функцией, которая является интегрируемой в области D; dxdy = dS – элементом площади.

Свойства двойного интеграла:

1. Константу можно выносить за знак двойного интеграла:

2. Двойной интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов от каждой из них:

3. Если область интегрирования D можно разбить на две области

D_1 и D_2, например, как это показано на рисунке 2, то:

Рисунок:

4. Если в области интегрирования D функция f(x; y) >= 0, то и двойной интеграл:

5. Если функции f(x; y) и g(x; y) в области D удовлетворяют неравенству f(x; y) >= g(x; y), то справедливо и неравенство:

где S - это площадь области D.

7. Если функция u = f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой равна S, то

где m и M – наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D соответственно.

Сведение к повторному интегралу

Случай прямоугольной области

Пусть дана функция двух переменных f(x; y) и ограничена для D:

D = {(x; y) | a <= x <= b; c <= y <= d}

означающие, что фигуру D слева и справа ограничивают прямые x = a и x = b, а снизу и сверху y = c и y = d. Здесь a, b, c, d - числа.

Пусть для такой функции существует интеграл:

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид:

Здесь пределы интегрирования a, b, c, d - числа.

(сначала вычисляется внутренний интеграл, а потом внешний)

Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид:

График:

Случай криволинейной или треугольной области

Пусть снова дана функция двух переменных f(x, y), а ограничения для D: уже несколько другого вида:

D = {(x; y) | a <= x <= b; y_1(x) <= y <= y_2(x)}

Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают, как и в случае прямолинейной области - прямые x = a и x = b, но снизу и сверху - кривые, которые заданы уравнениями y_1(x) и y_2(x).

Пусть для такой функции также существует двойной интеграл:

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид:

Здесь пределы интегрирования a и b - числа, а y_1(x) и y_2(x) - функции. В случае треугольника области одна из функций y_1(x) или y_2(x) - это уравнение прямой линии.

Как и в случае прямолинейный области, сначала нужно вычислять правый определенный интеграл, затем - левый определенный интеграл.

Точно также можно менять x и y "ролями":

График:

Двойной интеграл как объем тела

Рассмотрим основной геометрический смысл двойного интеграла

Предполагаем, что функция z = f(x,y) существует в каждой точке (x,y) плоской области D и задаёт некоторую поверхность трехмерного пространства. Для определенности считаем, что f(x,y)>0, то есть поверхность располагается над плоскостью XOY.

Согласно общей концепции интегрирования, произведение

f(x,y) * dx * dy  ("высота" x "длина" x "ширина")

равно бесконечно малому объёму dV элементарного кусочка тела (посмотрите на кусок, выделенный на чертеже пунктирными линиями, и мысленно сделайте бесконечно малыми его «длину» и «ширину»). Двойной же интеграл объединяет эти бесконечно малые значения dV по всей области D, в результате чего мы получаем суммарный (интегральный) объём всего цилиндрического бруса

Что это за тело, думаю, понятно – снизу цилиндрический брус ограничен заштрихованной областью D, а сверху – фрагментом поверхности z = f(x,y) («шапкой»).