19. Непрерывные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Моменты и центральные моменты. Пример.
Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.
Случайные величины, как правило, обозначают через X, Y, Z, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, x_1, x_2, x_3.
Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.
Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, которая может принимать конечное число изолированных друг о друга значений, т.е. если возможные значения этой величины можно пересчитать.
Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, все возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток числовой прямой. Пример: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.
Непрерывную случайную величину задают функциями двух типов:
1. Функцией распределения.
2. Функцией плотности.
Функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция F(x) = P(X<=x), которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х. Важной особенностью является тот факт, что функция распределения любой непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна!
Функция распределения (интегральная функция распределения) может быть представлена в виде:
где f(x) – некоторая неотрицательная функция, такая что
Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины X (дифференциальной функцией распределения).
На графике отображается вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значение в заданном промежутке, вычисляется следующим образом:
Функция распределения F(x) характеризует накопление вероятностей по мере увеличения x.
Функция плотности оценивает «концентрацию» вероятностей на различных промежутках.
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
Математическое ожидание – это арифметическое среднее всех возможных значений непрерывной случайной величины.
Находится по формуле:
Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (а, b), то математическое ожидание вычисляют:
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания и находится по формуле:
Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (а, b), то дисперсию вычисляют:
Дисперсия характеризует разброс случайной величины около её математического ожидания и, как видно из формулы, измеряется в квадратных единицах по сравнению с единицами самой случайной величины. Поэтому для согласования единиц измерения разброса случайной величины с единицами измерения самой величины вводится среднее квадратическое отклонение.
Если мы отклонимся от математического ожидания влево и вправо на среднее квадратическое отклонение, то на этом интервале будут «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины.
Моменты и центральные моменты
Обобщенными числовыми характеристиками для случайных величин в теории вероятностей, а также математической статистике являются начальные и центральные моменты.
Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание от величины в k-ой степени X^k:
Когда k = 1, ν1 = M(X);
Когда k = 2, ν2 = M(X2)и т. д.
Для дискретной случайной величины начальные моменты определяют зависимостью (на всякий случай)
Для непрерывной случайной величины
Если непрерывная величина задана интервалом X ∈ [a, b], то моменты вычисляют по формуле
Центральным моментом k-го порядка называют математическое ожидание от величины (X-M(X))^k:µ_k = M(X-M(X))^k (k = 1, 2, 3, …)
Когда k = 1, µ_1 = M(X-M(X)) = 0
для k = 2, имеем µ_2 = M(X-M(X))^2 = D(X);
при k = 3, µ_3 = M(X-M(X))^3;
и так далее.
Для непрерывной случайной величины центральные моменты вычисляют по формуле
Если случайная величина определена интервалом X ∈ [a, b], то центральные моменты определяют интегрированием
Пример:
Дальше:
График:
