Сфера Римана

Что это вообще такое?👇

Как бы это ни звучало странно, названа в честь немецкого математика Бернхарда Римана. Служит она для представления бесконечно удаленной от центра координат точки на комплексной поверхности.

И как это работает?

Во-первых, необходимо напомнить что такое комплексное число. Комплексное число состоит из действительной и мнимой части и записывается как:

𝑧=𝑥+𝑖𝑦

где 𝑖= √−1 есть ни что иное, как мнимая единица. Число, которое не существует на множестве вещественных чисел. А сам 𝑦 вместе с 𝑥 как раз принадлежат множеству существенных чисел.

Как можно понять по записи, комплексное число можно представить на Декартовых координатах. Будет оно иметь вид радиус-вектора (вектор, начинающийся в точке (0, 0) ) в точке (𝑥,𝑦).

И все же, что за сфера Римана?

В основе действия лежит элементарная геометрия.

Представим Евклидово трехмерное пространство с координатами (ξ, η, θ) и совместим комплексную плоскость C с плоскостью Oξη так, чтобы

действительная ось (O𝑥) совпала с осью Oξ, а мнимая ось (O𝑦) с осью Oη, и положительные направления соответствующих осей совпадали.

В пространстве изобразим сферу с радусом 𝑅= 0.5 и центром в

точке (0, 0, 0.5). Уравнение сферы имеет вид:

𝜉2 + 𝜂2 + (𝜃 – 12 )2 = 14 ,

Точка P (0, 0, 1) будет называться полюсом сферы.

Теперь соеденим точки P (0, 0, 1) и Z (𝑥,𝑦). Отрезок PZ пересекает сферу только в одной точке M. Для удобства координаты точки М будут

взяты (ξ, η, θ). Точка M(ξ, η, θ) называется стереографической проекцией точки z на сферу.

Стереографическая проекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками комплексной плоскости C и точками сферы с выколотым полюсом P.

В силу колинеарности точек P(0, 0, 1), M(ξ, η, θ) и z(x, y, 0) имеем

ξx = 𝜂𝑦 = 1 − 𝜃1 ,

откуда выводим

x = 𝜉1 − θ , y = 𝜂1 − θ , z = 𝜉 + 𝑖𝜂1 − θ .

Поскольку

|𝑧|2 = 𝜉2 + 𝜂2(1 − 𝜃)2 ,

то из уравнения сферы получаем

|𝑧|2 = 𝜃1 − θ .

Из имеющихся уравнений можно найти так называемы формулы стереографической проекции (уравнения для 𝜉,𝜂,𝜃):