Мадхава из Сангамаграмы( 1350 — 1425 )

Мадхава из Сангамаграмы — средневековый индийский и XIV—XV веков, основатель Керальской школы астрономии и математики. Сангамаграма, где он родился — это, как полагают историки, нынешний город в штате Керала, южная Индия.

Его величайшим достижением было введение бесконечных рядов; таким образом были сделаны первые шаги в направлении математического анализа. Он обнаружил то, что известно на Западе как ряд Грегори для функции арктангенса и ведет к выражению числа π в виде бесконечного ряда. Самые впечатляющие его открытия – бесконечные ряды для тригонометрических функций синуса и косинуса, которые на Западе были найдены только Ньютоном, на 200 с лишним лет позже.

Труды Мадхавы, за исключением двух, не сохранились, так что судить о его влиянии можно по многочисленным ссылкам и цитатам его учеников и последователей. Из-за этого, впрочем, трудно отделить результаты самого Мадхавы от достижений других керальских учёных.

Разложение тригонометрических функций

Тригонометрия, или использование треугольников для измерения, восходит еще к древним грекам; особенно много ей занимались Гиппарх, Менелай и Птолемей. Есть две основные области применения тригонометрии в деятельности человека: топография и астрономия. (Позже к этому списку добавилась навигация.) Существенно здесь то, что расстояния зачастую трудно (а в случае астрономических тел просто невозможно) измерять непосредственно, зато углы можно измерять везде, где есть прямая видимость. Тригонометрия дает возможность вычислить длины сторон треугольника по его углам, при условии что хотя бы одна сторона известна.

Математики Древней Индии, опираясь на работы греков, добились больших успехов в тригонометрии. Они обнаружили, что удобнее использовать не хорды, а тесно связанные функции синуса (sin) и косинуса (cos), которыми мы пользуемся и сегодня.

Приведём основные разложения в современных обозначениях (керальцы излагали их словесно, нередко стихами на санскрите).

Эти ряды часто называют рядами Мадхавы-Лейбница или Мадхавы-Грегори. С помощью указанных рядов Мадхава рассчитал и опубликовал точные таблицы синусов.

Значение числа π

π по приведенной выше формуле обнаружен в трактате «Махаджьянаяна», автор которого неизвестен. Часть историков приписывает его Мадхаве, другие — кому-то из его последователей в XVI веке. В трактате приводится также преобразованный ряд:

Сумма первых 21 слагаемых даёт значение 3,14159265359 все знаки, исключая последний, верны.

Возможно, Мадхаве принадлежит трактат «Садратнамала», где приводится ещё более точное значение: π=3,14159265358979324 (верны все знаки, кроме последнего)