Неевклидова геометрия
Немного теории:
Неевклидова геометрия – это любая геометрия, более по-научному – геометрическая система, которая не является элементарной(евклидовой) геометрией. Традиционно, под неевклидовой геометрией подразумевают геометрию сферическую(отрицание 2-го постулата Евклида) или геометрию Лобачевского(отрицание 5-го постулата Евклида)
Про елементарную(евклидову) геометрию:
В знаменитых «Началах» Евклида было описано 5 аксиом(постулатов), на которых базируется вся евклидова геометрия (за исключением некоторых случаев, к примеру, теорема Паша).
Постулаты Евклида:
Допустим, …
1. Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию.
2. И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать по прямой.
3. И что из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг.
4. И что все прямые углы равны между собой.
5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну
сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых.
Конечно же, эти первые 5 аксиом не совсем были не совсем строго сформулированы, но их было достаточно для того, чтобы один математик понял другого. Четкая система аксиом впервые была предложена только математиком Давидом Гильбертом в 1899 году.
Теперь перейдем к геометрии неевклидовой.
Сегодня мы рассмотрим геометрию Лобачевского, или «гиперболическую» геометрию.
В ней отрицается пятый постулат Евклида, а именно: если есть прямая r, к ней с точки В опущен перпендикуляр BC, то есть такая прямая s, которая пересекает ВС в точке В под острым углом, при этом ни в одной точке не пересекая прямую r. (см. рисунок)
Из этого следует, много интересных фактов: например, что сумма углов треугольника в гиперболической геометрии меньше 180 градусов, и многое другое.
Немного истории:
Как ни странно, первым «неевклидовым» геометром можно считать самого Евклида. Ведь первые 28 предложений(теорем) он вывел не используя «неочевидную» пятую аксиому. До 1820 года многие математики в мире пытались доказать аксиому, заменить ее на более очевидную, но ближе всех был Дж. Саккери, который доказывал теорему с помощью так называемого четырехугольника Саккери (см.рисунок)
Свойства данного четырехугольника: ВС=DЕ, углы при вершинах С и Е – прямые, а углы при вершинах В и D всегда равны.
Саккери рассмотрел 3 гипотезы: когда углы В и D являются острыми, прямыми и тупыми. Позже он отверг гипотезу о тупых углах, тем самым лишив себя возможности открыть эллиптическую геометрию, а потом и гипотезу об острых, перед этим открыв много интересных фактов и теорем, которые используются в современной геометрии Лобачевского.
К. Гаусс, один из величайших математиков, вклад которого в математику невозможно переоценить, заметил, что отрицая пятый постулат, не ожидая какого-то противоречия, можно построить совершенно новую геометрию. В своих письмах Гаусс писал, что смог абстрагироваться от тогдашних «геометрических» традиций, тем самым развив «антиевклидову» геометрию. Но, опасаясь насмешек о ненужности данных иследований, не опубликовал свои идеи.
Честь открытия гиперболической геометрии досталась двоим математикам: Я. Бойяи и Н. И. Лобачевскому, которые выпустили свои научные работы приблизительно в одно и то же время (примерно 1830-е гг.), даже не подозревая о существовании друг друга. Лобачевский даже получил одобрение самого Гаусса. Но оба прогрессивных математика умерли непризнанными, только спустя несколько десятилетий ситуация смогла измениться.
Почему геометрия Лобачевского «работает»?
Доказательством этого является то, что используя аксиомы Лобачевского (напомню, что 4 аксиомы Евклида не опровергаются, только пятая была замененной на противоположную аксиому), можно построить модель.
Первой такой моделью был круг:
Из точки A проведем хорду AB. Все точки, лежащие внутри круга и принадлежащие хорде AB являются неевклидовыми и мы их можем принять во внимание, но какое бы малое расстояние мы не брали приближаясь к точке A, все равно будет существовать еще более маленькое, еще более близкое к точке A. Отсюда можно сделать вывод: хорда AB не имеет четко определенного начала и конца, следовательно AB – прямая.
Пусть даны неевклидова прямая AB и точка C вне ее. Бесконечное множество прямых, проходящих через точку C , не пересекают хорду-прямую AB. Из этого следует, что аксиома Лобачевского верна для этой модели.