Комбинаторика

Наверное, многие помнят, как вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, или до любого известного натурального числа. Для этого существует формула:

n(n+1)/2

В случае с первой сотней чисел у нас получится 5050. Давайте теперь попробуем найти произведение всех первых натуральных чисел до 100. Получится 158-значное число с 24-мя нулями. Для удобства обозначения таких огромных чисел математики придумали восклицательный знак, а именно факториал.

Решением комбинаторных задач зачастую являются огромные числа, например, количество расстановок дюжины книг на книжной полке близится к половине миллиарда. Если вы перетасуете колоду из 52 карт, то получится 52! варианта, то почти с 100-процентной вероятностью можно утверждать, что последовательность карт никогда не повторялась, и никогда не повторится. И это при условии, что все люди на Земле будут несколько лет тасовать каждый свою колоду!

Правило сумы и произведения

Вся комбинаторика базируется на этих двух правилах.

Правило сумы используется, когда нужно посчитать общее количество вариантов при наличии нескольких возможностей для выбора. Например, у нас есть 6 книг по математике и 5 книг по физике. Таким образом, количество вариантов почитать одну из книг 6+5=11.

Правило умножения применяется к заданиям на два действия. Например, если есть а вариантов исполнения первого действия и b вариантов для другого. Таким образом, общее количество вариантов будет равно a*b. Например, если в столовой есть 5 видов супа и 3 вида салата, то количество разных вариантов обеда будет 5*3=15. Если к этому прибавить еще 7 видов второго блюда, то количество этих вариантов возрастет в 7 раз: 15*7=105.

Поговорим о магическом числе «С из n по k». Это количество вариантов выбора k элементов из n элементов. Его вычисляют по формуле

n!/k!(n-k)!

Немного об азартных играх

Применим полученную информацию в свою пользу, а именно для подсчета шансов собрать какую-то комбинацию в покере.

Комбинация в покере – 5 карт из 52-х в колоде. Таким образом, количество возможных комбинаций в покере – C из 52 по 5. Таким образом, имеем 2 598 960 комбинаций.

Комбинация из 5 карт одной масти имеет название флэш.

Сколько всего комбинаций флэша? Всего карт каждой масти 13, то есть количество комбинаций равно Сиз 13 по 5, умноженное на 4= 5148.

То есть, шанс получить одну из них – 5148\2598960, то есть приблизительно 1 к 500.

Пишите в обсуждение, если хотите узнать больше о комбинациях в покере, игры для настоящих математиков!😉