Сортируем овощи с помощью первой теоремы об изоморфизме
Давайте представим, что вы забросили математику и начали выращивать овощи. Прочитав необходимые книги, после года усердного труда на свежем воздухе, вы вырастили репу, капусту, салат, морковь и свеклу, и решили отправить урожай на склад.
Однако, во время работы вы нет-нет, да и отвлекались на нерешенные проблемы математики. Это, конечно же, сказалось на качестве грядок. На ваших грядках овощи оказались перемешанными: морковь росла рядом с капустой, салат неподалеку от свеклы, а репа и вовсе встречалась в крайне неожиданных местах.
В результате, перед отправкой овощей на склад, вам пришлось поштучно сортировать каждый овощ: морковку относить в ящик с морковью, капусту с капустой и так далее. Уже у складских ящиков вы отбраковывали гнилые овощи. В результате склад оказался наполнен ящиками с отсортированными качественными овощами.
Склад — это множество B, а операция переноса овощей в ящик с отбраковкой гнили — это гомоморфизм f.
То есть гомоморфизм f отображает каждый элемент множества A (каждый не гнилой овощ на вашей грядке) в элемент множества B (овощ в правильном ящике на складе).
И тут к вам в гости заглянул сосед — заядлый огородник и неплохой алгебраист. Он сказал, что носить и сортировать овощи поштучно — это моветон, и можно действовать по иному.
Во-первых, нужно сразу, на месте отбрасывать гнилые овощи.
Гнилые овощи образуют ядро отображения f — Ker(f).
Во-вторых, после отбрасывания гнилых овощей, одинаковые овощи следует складывать в кучки. И уже после этого укладывать готовые кучки в ящики.
Овощи в ящиках — это образ отображения f, Im(f).
Перенос кучек овощей в ящик — это биекция: A / Ker(f) → Im(f).
Наконец, ящики, наполненные отсортированными, перебранными овощами, следует относить на склад.
Перенос ящиков с овощами на склад — это инъекция: Im(f) → B.
В этом и заключается суть первой теоремы об изоморфизме.
В более строгом математическом выражении первая теорема об изоморфизме гласит примерно следующее:
Гомоморфизм f, действующий из множества A во множество B, f: A → B, раскладывается на три отображения:
Первая теорема изоморфизма помогает упростить сложную структуру (огород с разными несортированными овощами) до чего-то более понятного (склад с четкими категориями). Ядро (гнилые овощи) — это то, что мешает прямому соответствию. Убрав его, мы получаем идеальное соответствие между огородом и складом.
Картинка в начале заметки иллюстрирует вышесказанное. В качестве огородницы на ней изображена математик Амалия Эмми Нетер (Emmy Noether). Она доказала рассмотренную теорему и внесла значительный вклад в развитие алгебры.
Источник.
A comic page for the first isomorphism theorem. (2022).
Строго про теоремы об изоморфизмах написано в Википедии.