Математические проблемы 21 столетия

Лаконично о нерешенных проблемах Гильберта, реферативно о проблемах Смейла и вскользь о миллионе долларов США.

Проблемы Гильберта

Думаю, что все мои читатели слышали о двадцати трех проблемах Девида Гильберта, сформулированных им в начале XX века.

К настоящему времени восемь проблем Гильберта решено и десять проблем решено частично, так как существуют некоторые разногласия по поводу их окончательного решения.

Три проблемы Гильберта остаются нерешенными.

• 8. Проблема простых чисел: гипотеза Римана и проблема Гольдбаха.
• 13. Можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных?
• 16. Описать взаимное расположение овалов, возникающих из действительной алгебраической кривой и из предельных циклов полиномиального векторного поля на плоскости.

И две проблемы слишком расплывчаты, чтобы их можно было решить.

• 4. Построить все метрики, в которых линии являются геодезическими.
• 23. Дальнейшее развитие вариационного исчисления.

Подробнее о них написано в Википедии.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Проблемы_Гильберта

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_problems

Проблемы Смейла

Вдохновленный идеями Гильберта Стив Смейл (steve Smale) — американский математик удостоенный премии Филдса за доказательство теоретической возможности выворачивания сферы наизнанку — в конце XX века сформулировал новый список нерешенных математических проблем.

Smale S. (1998). Mathematical problems for the next century.

Свой список он составил по просьбе Владимира Арнольда. Список содержит 18 проблем, часть из которых уже решена. (Жирным шрифтом отмечены нерешенные проблемы, жирным крусивным — решенные частично.)

1. Гипотеза Римана.
2. Гипотеза Пуанкаре. Доказана Григорием Перельманом в 2003 году.
3. Равенство классов P и NP.
4. Оценка количества целочисленных корней полиномов от одной переменной.
5. Оценка вычислительной сложности решения полиномиальных диофантовых уравнений.
6. Конечность количества точек относительного равновесия в небесной механике. Доказана для частного случая пяти тел Аленом Альбуем (A. Albouy) и Вадимом Калошиным в 2012 году.
7. Распределение точек на сфере.
8. Расширение математической теории общего равновесия на экономическую теорию. Частично решена Гьерстадом (Gjerstad) в 2013 и Линдгреном (Lindgren) в 2022 году.
9. Полиномиальный алгоритм для определения допустимости систем линейных неравенств.
10. Обобщение леммы Пью о замыкании для случая большей гладкости. Частично решена для Гамильтоновых диффеоморфизмов замкнутых поверхностей Асаокой (Asaoka) и Ирие (Irie) в 2016 году.
11. Является ли одномерная динамика гиперболичной в общем случае? Частично решена для вещественного случая Козловским (Kozlovski), Шеном (Shen) и фон Штейном (van Strien) в 2007 году.
12. Централизаторы диффеоморфизмов. Решена только для C1 топологии Бонатти (Bonatti), Кровизье (Crovisier) и Уилкинсоном (AWilkinson) в 2009 году.
13. Шестнадцатая проблема Гильберта.
14. Атрактор Лоренца: проявляются ли свойства аттрактора Лоренца в свойствах странного аттрактора? Решена. Ответ "да". Решил Варвик Такер (Warwick Tucker) в 2002 году при помощи компьютерного доказательства в сочетании с обычными формулами.
15. Существование и гладкость решения уравнения Навье-Стокса.
16. Проблема Якобиана.
17. Решение систем алгебраических уравнений в среднем за полиномиальное время. Частично решена Белтраном (Beltran) и Мигелем Пардо (Miguel Pardo) в 2008 году, позже решена окончательно Пьером Лайресом (Pierre Lairez) в 2017 году.
18. Выяснение пределов искусственного и человеческого интеллектов. Некоторые авторы говорят о неограниченности человеческого разума и ограниченности искусственного.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Проблемы_Смейла

https://en.wikipedia.org/wiki/Smale's_problems

Задачи тысячелетия

Помимо проблем Смейла, за которые обещают только славу и почет, есть еще задачи тысячелетия, сформулированные Институтом Клея в 2000 году. За решение любой задачи обещают миллион долларов США.

1. Равенство классов P и NP.
2. Гипотеза Ходжа.
3. Гипотеза Римана.
4. Теория Янга-Миллса.
5. Существование и гладкость решения уравнения Навье-Стокса.
6. Гипотеза Бёрча-Свиннертон-Дайера.
7. Гипотеза Пуанкаре решена Григорием Перельманов в 2010 году, но он отказался принять заслуженную премию.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Задачи_тысячелетия

Итог

Знания математики и умение использовать математический аппарат позволяют не только получать интеллектуальное удовлетворение от решения сложных математических задач, но, иногда, и немного заработать.

Учите математику.