Константы Капрекара или к чему стремятся разности n-значных чисел
Одним теплым индийским вечером 1949 года школьный учитель Рамчандра Капрекар развлекался с четырехзначными числами.
Он брал произвольное число Y, перестановкой цифр строил из него два новых числа: наибольшее M, и наименьшее m, и находил разницу между ними: M - m.
Выполняя такие действия с четырехзначными числами, он всегда в результате получал либо 0, либо загадочное число 6174.
3412:
4321 − 1234 = 3087 →
8730 − 0378 = 8352 →
8532 − 2358 = 6174 →
7641 − 1467 = 6174.
8991:
9981 – 1899 = 8082 →
8820 – 0288 = 8532 →
8532 – 2358 = 6174.
Число же 6174 порождало само себя.
Почему так происходило? Давайте разберемся.
Допустим, что последовательность полученных разниц не сходится ни к одному стационарному значению, не зацикливается -- т. е. не образует последовательность повторяющихся значений, а продолжается неограниченно долго. То есть она такой себе аналог последовательности знаков числа ПИ.
Однако, как только в нашей последовательности разностей мы встретим число X, которое уже было найдено ранее, мы получим цикл. Потому что все числа после X нам уже известны.
Значит разности не могут образовывать не повторяющуюся последовательность.
Это также следует из того, что множество n-значных чисел конечно. Следовательно в последовательности n-значных разностей через определенное число шагов мы получим уже ранее вычисленное число, то есть зациклимся.
Таким образом предположение о том, что вычисляя последовательность разниц мы никогда не сойдемся к циклу, оказалось неверным. То есть последовательность значений разниц n-значных чисел M и m всегда зациклится.
Цикл может состоять из одного числа — именно такие числа называются константами Капрекара.
При n=4, то есть для четырехзначных чисел таких циклов два и оба состоят из одного элемента -- это числа 6174 и 0.
Ноль получается, когда все цифры числа совпадают: 1111, 2222, ..., 9999. Однако в современной трактовке трехзначные числа не дополняются нулем, поэтому считается, что к нулю ведут и следующие числа: 1000, 1011, 1101, 1110, ...
https://oeis.org/A069746
1000 – 0001 = 999 →
999 – 999 = 0.
Очевидно, что правило Капрекара выполняется для любых n-значных чисел, записанных в любой системе счисления, о чем молчаливо свидетельствует табличка c сайта Вольфрама.
В левой колонке таблицы записано основание системы счисления. А в соответствующей строке — константы Капреката, либо циклы, к которым стремятся разницы n-значных чисел, начиная с двузначных.
Интересно, что из любого четырехзначного числа (включая одно-трехзначные числа, дополненного спереди нулями) можно получить константу Капрекара не более, чем за семь шагов.
Это позволяет изобразить каждое четырехзначное число в виде цветного ковра, где цвет обозначает количество шагов, за которое число сходится к константе Капрекара.
Видно, что такой ковер имеет отнюдь не случайный, а закономерный узор.