Необычный способ простого решения квадратного уравнения
Общеизвестная формула вычисления корней квадратного уравнения
для неокрепшего ума выглядит довольно громоздко
Франсуа Виета в 16 веке открыл, что сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при x, а произведение - свободному члену, деленным на a.
По-Шен Лох в 2019 году заметил, что если сумма двух чисел равна какому-то числу m + p = q, когда среднее арифметическое данных чисел равно половине этого числа (m + p)/2 = q/2. Отсюда следует, что исходное числа равны q/2 ± z.
Тогда, из первой формулы Виета получим значения корней
Отсюда легко найти z и вычислить оба корня.
легко найти сумму и произведение корней
Представим каждый корень в виде отклонения от половины их суммы
приведет к несложному уравнению
Отсюда найдем, что z равно 8 или -8, а искомые корни равны 3 и -13.
Рассмотрим квадратное уравнение с очень большим свободным членом
Если мы будем его решать по общеизвестной формуле, то нам придется оперировать с огромными числами. Поэтому опять представим каждый корень в виде отклонения от половины значения b = 1:
Произведение корней равно свобоному члену:
и корни уравнения: 33 333 333 и -33 333 334.
В 2005 году Эйнарссон предложил квадратное уравнения с рациональными коэффициентами
и показал, что точности вычислений (это был 2005 год) недостаточно, чтобы правильно вычислить корни. При стандартных расчетах корни получаются равными
тогда как верные значения такие
Если использовать метод Лоха, мы придем к уравнениям
И мы получим точные значения корней.
Были времена, когда знание правильной формулы давало огромное преимущество при решении ряда задач, и вызывало благоговейный трепет у окружающих. В настоящее время есть масса программных продуктов, которые способны с любой точностью решить практически любое уравнение, а необходимость знать правильные формулы постепенно сходит на нет. Но умение рассуждать, умение логически мыслить, умение применять знания к поиску нетрадиционных решений казалось бы очевидных задач - все также остается актуальным.