Shtuka (Штука) — очень странное алгебраическое существо
Не так давно, охотясь в математических джунглях на новые заметки, я забрел в дебри арифметической геометрии и, внезапно, наткнулся на гнездо Shtukas. Они выглядели очень необычно, имели много ног и вели себя довольно агрессивно. Из-за этого я не стал брать их голыми руками, а зарисовал и обратился к первоисточникам.
Давид Госс (David Goss) в работе «What is… a Shutka?» описал Штуку, как
A special kind of module with a Frobenius-linear endomorphism (as explained below) attached to a curve over a finite field. Shtukas came from a fundamental analogy between differentiation and the p-th power mapping in prime characteristic p.
Мало что поняв, я попросил популярный чат-бот доступно объяснить, что здесь написано. Поскрипев своими электронными шестеренками, он выдал следующее объяснение.
Представь себе, что у тебя есть кривая, которая состоит из точек, каждая из которых имеет координаты в некотором конечном множестве чисел (например, конечном множестве целых чисел). Эти числа называются полем конечного размера, а само такое поле называется конечным полем.
Теперь представим, что мы можем выполнять операции над этими точками, такие как сложение и умножение их координат. Это позволяет нам рассматривать эти точки как элементы некоторого модуля (модуль — это обобщенное понятие группы, где вместо элементов могут быть другие объекты, например, векторы).
Но теперь добавим к этому модулю еще одну операцию — так называемую эндоморфизм Фробениуса. Эндоморфизм Фробениуса — это такая операция, при которой каждая точка нашей кривой возводится в степень p, где p — простое число, которое определяет наше конечное поле. Эта операция напоминает дифференцирование в обычном анализе, но работает в мире конечных полей.
Штуки (shtuka) – это специальные конструкции, которые используют эндоморфизм для изучения свойств кривых над конечными полями. Они позволяют лучше понять, как ведет себя наша кривая под действием операции возведения в степень p.
Таким образом, штука – это модуль с прикрепленной операцией, которая помогает изучать свойства кривых над конечными полями через аналогию между дифференцированием и возведением в степень.
Немного уяснив, что Штуки не так опасны, как кажутся с первого взгляда, меня заинтересовало, как они растут. Оказалось, что
Штука – это вид математического существа с несколькими ногами. Оно рождается в связи с алгебраической симметрией, кодируемой алгебраической группой. Чтобы Штука выросла сильной и здоровой очень важно обеспечить ей достаточно места для передвижения ногами. Движение и трансформация ног одновременно реализуют комбинаторную симметрию (кодируемую операцией Гекке) и арифметическую симметрию (кодируемую операцией Галуа). Вырастив семью Штук, можно наблюдать в ней удивительное математическое явление, известное как соответствие Лэнглендса.
В целом, для того, чтобы понять устройство Штук, необходимо разобраться в теории категорий, алгебраической геометрии, модуле Дринфелда и программе Ленглендса. Долго, сложно и жутко интересно, имхо.
Напоследок замечу, что английское Shtuka это латинизация русского Штука. Владимир Гершонович Дринфельд использовал простое русское слово для обозначения столь сложного математического понятия.