Судебные ошибки и перемножение вероятностей

Ужасающая история Салли Кларк (Великобритания): у неё внезапно умерли два младенца. Изначально рассматривались естественные причины смерти, включая синдром внезапной детской смерти (СВДС). Но в итоге Салли осудили за убийство.

Она провела в тюрьме больше трёх лет — и только потом приговор отменили.

Какова была логика обвинения?

СВДС — редкое событие. Значит, вероятность смерти одного ребёнка маленькая. А вероятность смерти двух — ещё меньше. Настолько меньше, что “быть такого не может”.

Давайте разберём эту ситуацию с точки зрения математики.

Когда мы считаем вероятность двух независимых событий, мы перемножаем вероятности. Например, мы бросаем монетку.

Вероятность орла в одном броске — 0,5. Вероятность двух орлов подряд — 0,5 × 0,5 = 0,25.

Орел или решка — частое событие, поэтому два орла подряд никого не удивляют.

А вероятность СВДС, если говорить про “низкорисковую” семью (условно: благополучие, некурящие родители и т.п.), в суде фигурировала как примерно 1 на 8500 для одного ребёнка. И дальше эту вероятность фактически “возвели в квадрат”.

Перемножили 1/8500 на 1/8500 = 1/72.250.000 и получили “практически невозможно”.

Когда вероятности правда можно перемножать?

Есть правило, которое все помнят со школы: если события независимы, то P(A и B) = P(A) × P(B).

Независимость — это когда второе событие не зависит от первого.

Классика — кубик.
Вероятность выпасть 6 за один бросок: 1/6.
Два раза подряд: (1/6) × (1/6) = 1/36 ≈ 2,78%.

Почему мы можем перемножить вероятности? Потому что кубик «не помнит» прошлый бросок, и каждый раз выпасть может что угодно.

Всегда ли можно перемножать вероятности?

Нет, не всегда. Представьте себе другой эксперимент.

Берём мешок, в котором лежат 3 красных и 2 синих шара. И мы поочередно достаём оттуда шары, не возвращая их обратно.

Какова вероятность вытянуть два красных шара подряд?

Вероятность первого красного: 3/5.
Вероятность второго красного, если первый уже красный: осталось 2 красных из 4 → 2/4 = 1/2.

Значит:
P(два красных) = (3/5) × (1/2) = 3/10 = 0,3.

Если бы мы возвращали шар обратно (независимые события), было бы:
(3/5) × (3/5) = 9/25 = 0,36.

Математика одна и та же. Меняется только модель процесса — “с возвращением” или “без” — и итог меняется.

Что было не так в деле Салли Кларк с точки зрения статистики

Как мы уже говорили выше в суде фигурировала оценка риска СВДС для “низкорисковой” семьи примерно 1 на 8500. Произошло 2 случая - значит (1/8500) × (1/8500), то есть примерно 1 к 72 миллионам.

Проблема в предпосылке. Это вычисление верно только если второй случай не зависит от первого. То есть если:

P(второй СВДС | первый СВДС) = 1/8500.

Но СВДС в пределах одной семьи — это не две независимые монетки и не два независимых броска кубика. У детей общая среда, общие условия сна, общие социальные и медицинские контексты, потенциальные генетические причины. И после первого случая эта семья уже перестаёт быть “типичной низкорисковой” — потому что событие случилось, и это само по себе обновляет оценку риска.

Тогда корректная запись выглядит так:

P(два случая) = P(первый) × P(второй | первый).

Что говорит литература про повторный СВДС?

Если один случай уже был в популяционных регистрах риск для следующего ребёнка в семье заметно выше базового — примерно в 4–6 раз. Например, в датском национальном когортном исследовании (2,6+ млн рождений, 1978–2016) среди 2384 младших сиблингов детей, умерших от СВДС, произошло 8 случаев СВДС — это около 3–4 на 1000 (≈0,3–0,4%).  https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC10187488/

Тоже редко, но уже не выглядит фантастикой.