Темпография. А если времени нет?
Перевод
Это вольный перевод: arxiv.org/pdf/0903.3832.
Введение
Следуя направлению исследований, которое развиваю уже несколько лет [Прим. Menaskop: здесь и далее повествование идёт от имени автора оригинальной статьи], утверждаю, что лучшая стратегия для понимания квантовой гравитации - построение картины физического мира, в которой понятие времени вовсе не играет роли.
В этой работе кратко излагаю эту точку зрения, объясняя, почему, по моему мнению, в фундаментальном описании природы нам следует "забыть о времени" - и как это можно сделать как в классической, так и в квантовой теории.
Идея состоит в том, чтобы разработать формализм, который рассматривает зависимые и независимые переменные на равных основаниях. Короче говоря, предлагаю интерпретировать механику не как теорию эволюции переменных во времени, а как теорию отношений между переменными.
I. Необходимость забыть о времени
Общая теория относительности изменила наше понимание пространства и времени.
Попытки создать теорию, способную описать ожидаемые квантовые свойства гравитации, заставляют нас полностью принять это изменение - и, возможно, даже продвинуться дальше.
Пространственно-временной континуум общей теории относительности - четырёхмерное псевдориманово пространство - вероятно, является классическим приближением, теряющим смысл в квантовой теории, по той же причине, по которой теряет смысл траектория частицы.
Как же тогда следует мыслить о времени в будущей квантовой теории гравитации?
Здесь предлагаю возможный ответ на этот вопрос. Ответ, который защищаю, состоит в том, что мы должны вовсе отказаться от понятия времени и построить квантовую теорию гравитации, в которой это понятие не появляется.
Привычное нам понятие времени может быть восстановлено только в особых физических ситуациях или в рамках приближения - так же, как и многие другие привычные физические величины исчезают на более глубоком уровне описания.
Например, "поверхность жидкости" исчезает при переходе к атомному уровню, а понятие "температур"» имеет смысл только при определённых условиях и при достаточном числе степеней свободы.
Уже высказывал эту точку зрения в ряде работ и в книге, но никогда не пытался изложить её кратко, прямо и самодостаточно.Поэтому использую возможность конкурса FQXi, чтобы сделать это.
В дальнейшем подробно объясняю, что имею в виду под "забыванием времени", почему считаю это необходимым для построения квантовой теории гравитации, и каким образом это, на мой взгляд, возможно.
Обсуждение будет общим и сосредоточено на понятии времени: не буду касаться технических сложностей, связанных с определением квантовой теории гравитации.
Обсужу изменение понятия времени, которое, по моему мнению, требуется для более глубокого понимания мира в свете того, что нам дали общая теория относительности и квантовая механика.
Понимаю, что предложенный здесь ответ - только один из возможных.
Некоторые авторы утверждают, что понятие времени является неустранимым и не может быть исключено из фундаментального описания природы так, как я предлагаю.
Пока наши теоретические и экспериментальные исследования не дадут окончательного ответа, важно чётко изложить альтернативы и подробно обсудить их логику и внутреннюю согласованность.
В этом духе я и представляю здесь "безвременную" точку зрения.
II. Время как независимый параметр эволюции
До революции, вызванной теорией относительности, понятие времени играло в физике ясную и неоспоримую роль.
В дорелятивистской физике время - одно из фундаментальных понятий, на которых строится физика. Считалось, что время "течёт", а механика - наука, описывающая законы изменения физических систем во времени.
Время описывается вещественной переменной t. Если состояние физической системы описывается набором физических переменных aₙ, то эволюция системы выражается функциями aₙ(t).
Законы движения - дифференциальные уравнения для этих величин.
Полную теоретическую основу для механики даёт гамильтонов формализм. В нём состояние системы с n степенями свободы описывается 2n переменными (qᵢ, pᵢ) - координатами фазового пространства. Динамика задаётся гамильтонианом H(qᵢ, pᵢ) - функцией на фазовом пространстве. Уравнения движения имеют вид:
Очевидно, что физическая переменная t является существенным элементом картины и играет в этом формализме особую роль.
Эту роль можно сформулировать так: в дорелятивистской механике время - особая физическая величина, значение которой измеряется физическими часами и которая выступает в роли независимой переменной физической эволюции.
III. Механика - отношения между переменными
Революция, вызванная теорией относительности, изменила понятие времени во множестве аспектов. Здесь опущу те изменения, которые принесла специальная теория относительности (в частности, относительность одновременности), - они хорошо изучены и поняты, (но) сосредоточусь на тех изменениях, которые внесла общая теория относительности.
В формализме общей теории относительности можно различать несколько понятий времени.
В частности, нужно отличать координатное время t, которое появляется как аргумент полевой переменной (например, в выражении gₘₙ(x, t)), от собственного времени s, измеряемого вдоль данной мировой линии γ = (γᵐ(τ)), определяемого интегралом: s = ∫ dτ gₘₙ(γ(τ)) (dγᵐ/dτ)(dγⁿ/dτ).
Координатное время t играет ту же формальную роль параметра эволюции в уравнениях движения, что и обычное время в нерелятивистской механике.
Действительно, уравнения движения теории - уравнения Эйнштейна, которые можно рассматривать как дифференциальные уравнения второго порядка по t.
Однако физическая интерпретация t совершенно иная, чем в классической теории. Если в нерелятивистской физике время - наблюдаемая величина, измеряемая физическими часами, то в общей теории относительности часы измеряют s вдоль своей мировой линии, а не t.
Релятивистское координатное t - произвольно выбранная метка, не имеющая прямого физического смысла. Это - известное следствие инвариантности уравнений Эйнштейна относительно общих преобразований координат.
Физическое содержание решения уравнений Эйнштейна не заключается в его зависимости от t, а в том, что остаётся, когда зависимость от t (и x) устранена.
Физический смысл решений уравнений Эйнштейна
Чтобы понять, как описывается эволюция в этом контексте, рассмотрим, что реально измеряется в экспериментах общей относительности. Вот несколько типичных примеров:
- Двое часов. Пусть одни часы находятся на поверхности Земли, а другие - на спутнике, вращающемся вокруг неё. Пусть T₁ и T₂ - показания этих часов.
Каждые часы измеряют собственное время вдоль своей мировой линии в гравитационном поле Земли. Эти показания можно сопоставлять при каждом прохождении спутника над земной станцией, получая последовательность пар (T₁, T₂), (T₁′, T₂′), … Теория (на основе конкретного решения уравнений Эйнштейна для системы "Земля + спутник") предсказывает зависимость T₂ от T₁ (или наоборот). - Солнечная система. Расстояния между Землёй и другими планетами можно измерять с огромной точностью (например, по интервалу собственного времени на Земле между посылкой лазерного импульса и приёмом его эха).
Пусть dₚ - расстояние до планеты p. Повторяя измерения, получаем последовательность значений dₚ, dₚ′, … и можем сравнить её с предсказаниями теории. Решение уравнений Эйнштейна определяет, какие наборы значений (dₚ) возможны. - Двойной пульсар. Это система двух звёзд, вращающихся вокруг друг друга, одна из которых - пульсар, излучающий регулярные импульсы. Частота получаемых нами импульсов модулируется эффектом Доплера: она увеличивается, когда пульсар движется к нам. Таким образом, наблюдаем пульсирующий сигнал с периодически изменяющейся частотой. Пусть n - количество полученных импульсов, а N - количество орбитальных периодов. Можем построить график зависимости N(n) (или наоборот).
Вывод (начальный)
Из этих примеров следует, что в наблюдениях общей относительности нет выделенной независимой временной переменной. Мы измеряем множество физических величин - равноправных между собой - и наблюдаем их взаимную эволюцию.
Первый пример особенно показателен: зависимость T₁(T₂) можно с равным основанием читать как T₂(T₁). Какая из них "независимая"? Никакая - обе равноправны.
Таким образом, в общей относительности изменение описывается не как эволюция физических переменных во времени, а как функциональная зависимость между равноправными переменными (например, между T₁ и T₂, между расстояниями dₚ или между n и N в случае пульсара).
В теории нет наблюдаемой величины, играющей роль независимого параметра эволюции, как это было в классической механике. Общая теория относительности описывает относительную эволюцию наблюдаемых величин, а не эволюцию по "привилегированному" времени.
Образно говоря, с ОТО мы осознали, что ньютоновских "больших часов", отмеряющих "истинное универсальное время", просто не существует.
Считаю, что это свойство общей теории относительности нужно принять всерьёз, особенно в свете трудностей при попытках построить квантовую теорию гравитации.
В классической теории четырёхмерный континуум пространства-времени ещё даёт полезную интуицию "текущего времени". Но в квантовой теории этот континуум, вероятно, перестаёт существовать как фундаментальная структура (хотя некоторые его аспекты могут сохраняться). Понятия вроде "квантового состояния системы в момент времени t" выглядят неестественно в релятивистском контексте.
Можем получить гораздо более адекватное понимание системы, если забудем о таких понятиях, как "эволюция во времени t" или "состояние в момент t",
всерьёз воспримем отсутствие привилегированного времени и переосмыслим механику как теорию относительной эволюции переменных, а не как теорию эволюции переменных во времени.
В разделе IV покажу, как это можно сделать. Но прежде, позвольте вернуться на мгновение к нерелятивистской механике.
A. Возврат к Галилею и Ньютону
Часовое дело многим обязано Галилео Галилею, открывшему, что малые колебания маятника изохронны. Согласно легенде, Галилей наблюдал в кафедральном соборе Пизы, как раскачивается большая люстра, и, сверяя её колебания со своим пульсом, заметил, что число ударов пульса в каждом колебании одно и то же. Позже появились маятниковые часы, и врачи стали использовать их, чтобы измерять пульс больных.
Что происходит в этих измерениях? Колебания маятника измеряются относительно пульса, а пульс - относительно маятника! Как мы вообще знаем, что часы измеряют время, если проверить их можно только по другим часам?
Исаак Ньютон в Principia дал этому чёткое разъяснение.
По Ньютону, мы никогда напрямую не измеряем истинную переменную времени t.
Мы создаём приборы - часы, - у которых есть наблюдаемая величина (например, угол β между стрелкой и цифрой "12"), изменяющаяся пропорционально "истинному" времени - с достаточной для нас точностью.
Иными словами, следуя Ньютону, можно сказать: мы наблюдаем физические величины системы aᵢ и показатель часов β, а также их относительную эволюцию - функции aᵢ(β).
В теории же описываем это, предполагая существование некоторой "истинной" переменной t, записываем уравнения aᵢ(t) и β(t) и сравниваем их с наблюдаемыми изменениями aᵢ(β). Таким образом, даже в нерелятивистской механике реально измеряется только относительная эволюция между переменными.
Однако оказывается удобно - по Ньютону - предположить существование некоей фоновой переменной t, относительно которой эволюционируют все наблюдаемые величины, и в терминах которой уравнения принимают простую форму. Всё, что я предлагаю сделать далее, - отказаться от этого предположения.
IV. Формальная структрура безвременной механики
В своей обычной форме механика описывает эволюцию состояний и наблюдаемых величин во времени. Эта эволюция управляется гамильтонианом. (То же самое верно и для специальных релятивистских и полевых теорий: эволюция там задаётся представлением группы Пуанкаре, один из генераторов которой и есть гамильтониан.)
Однако это традиционное формулирование слишком узко, поскольку системы общей теории относительности - а значит, и сам реальный мир - не вписываются в эту концептуальную схему. Нам требуется более общая формулировка механики, чем стандартная. Она должна основываться на понятиях "наблюдаемого" и "состояния", которые сохраняют смысл в релятивистском контексте.
Далее я опишу, как можно построить такую формулировку.
A. Гармонический осциллятор - новый взгляд
Предположим, хотим описать малые колебания маятника. Для этого нужны два прибора:
Пусть α - показание прибора, измеряющего отклонение, а β - показание часов (например, угол между стрелкой и цифрой "12"). Переменные α и β назовём частичными наблюдаемыми маятника.
Физически осмысленным наблюдением является одновременное измерение α и β. Таким образом, наблюдение даёт пару (α, β). Назовём такую пару событием.
Пусть C - двумерное пространство с координатами α и β. Назовём его пространством событий маятника.
Опыт показывает, что можно найти математические закономерности, связывающие такие события (именно это и делает возможной науку). Эти закономерности имеют следующий вид: пусть γ - непараметризованная кривая в пространстве C, описывающая движение системы.
В результате серии измерений пар (α, β) оказывается, что все точки измерений лежат на кривой γ. Тогда γ называется физическим движением. Оно выражается как соотношение в C: f(α, β) = 0. (1).
Таким образом, движение γ - отношение (корреляция) между частичными наблюдаемыми.
Теперь встряхнём маятник (т.е. возмущаем систему) и повторим эксперимент. В каждом новом опыте обнаруживается другая кривая γ, то есть иное математическое соотношение.
Опыт показывает, что пространство всех физических движений ограничено:
оно лишь двумерное подпространство в бесконечномерном пространстве всех возможных кривых. Именно эти кривые реализуются в природе.
Для малых колебаний невязкого маятника физические движения можно параметризовать двумя числами - амплитудой A ≥ 0 и фазой 0 ≤ φ < 2π - и уравнение (1) принимает вид: f(α, β; A, φ) = α − A sin(ωβ + φ) = 0. (2).
Это уравнение задаёт кривую γ в пространстве C для каждой пары (A, φ). Оно полностью выражает всю эмпирическую информацию о динамике маятника.
Пусть Γ - двумерное пространство всех физических движений, параметризованное A и φ. Это - релятивистское фазовое пространство маятника (или пространство движений). Точка в Γ соответствует релятивистскому состоянию. Такое состояние, заданное парой (A, φ), определяет кривую γ в плоскости (α, β), то есть корреляцию между частичными наблюдаемыми α и β через уравнение.
B. Общая структура динамических систем
Описанный язык тройки (C, Γ, f) универсален. С одной стороны, он достаточен, чтобы описать все предсказания классической механики. С другой - достаточно широк, чтобы охватить и общерелятивистские системы.
Все фундаментальные системы, включая релятивистские, можно описать (в пределах, где квантовые эффекты пренебрежимо малы) с помощью трёх элементов:
- Релятивистское конфигурационное пространство C - пространство частичных наблюдаемых.
- Релятивистское фазовое пространство Γ - пространство релятивистских состояний.
- Уравнение эволюции f = 0, где f : Γ × C → V, а V - некоторое линейное пространство.
Состояние в фазовом пространстве Γ остаётся неизменным, пока система не возмущена. Каждое состояние в Γ определяет (через f = 0) движение γ системы - то есть набор отношений между наблюдаемыми в C.
После того как состояние определено (или выбрано гипотетически),
уравнение эволюции предсказывает все возможные события, то есть все допустимые корреляции между наблюдаемыми при любых дальнейших измерениях.
Следует отметить, что в этом языке нигде не упоминается особая переменная "время".
Определения наблюдаемого, состояния, конфигурационного и фазового пространств здесь отличаются от привычных. В частности, понятия "мгновенного состояния", "эволюции во времени" или "наблюдаемого в данный момент времени" здесь не играют никакой роли - и в релятивистском контексте не имеют смысла.
C. Гамильтонова механика
Кажется, все элементарные физические системы можно описать с помощью гамильтоновой механики.
Когда задана кинематика - то есть пространство C частичных наблюдаемых qₐ -
то динамика (определяемая Γ и f) полностью задаётся поверхностью Σ в пространстве Ω наблюдаемых qₐ и их сопряжённых импульсов pₐ.
Поверхность Σ можно определить функцией: H : Ω → ℝ, так что Σ задаётся уравнением: H = 0.
Пусть γ̃ - кривая в пространстве Ω (наблюдаемые и импульсы), а γ - её проекция на пространство C (только наблюдаемые). Гамильтониан H определяет физические движения через вариационный принцип:
Кривая γ, соединяющая события qₐ₁ и qₐ₂, является физическим движением,
если γ̃ экстремизирует действие S[γ~]=∫γ~pa dqaS[γ~]=∫γ~padqa - среди кривых γ̃, удовлетворяющих H(qₐ, pₐ) = 0, и чья проекция γ на C соединяет qₐ₁ и qₐ₂.
Все известные физические системы - как релятивистские, так и нерелятивистские - могут быть сформулированы именно таким образом.
Заметьте, что понятие времени нигде не использовано.
Называю H релятивистским гамильтонианом, или просто гамильтонианом, если двусмысленности нет. Пару (C, H) можно называть релятивистской динамической системой.
Нерелятивистский случай
В нерелятивистской системе одна из частичных наблюдаемых, называемая t,
выделяется как особая переменная. Тогда гамильтониан имеет вид:
где pₜ - импульс, сопряжённый времени t, а (qᵢ, pᵢ) - остальные переменные. Эта структура не является необходимой для того, чтобы формализм имел физический смысл.
Релятивистский гамильтониан H связан с, но не совпадает с обычным нерелятивистским гамильтонианом H₀. Например, для маятника:
H=pβ+12mpα2+mω22α2H=pβ+2m1pα2+2mω2α2
Гамильтониан H существует всегда, тогда как H₀ имеет смысл только для систем, не подчинённых общей теории относительности.
V. Формальная структура безвременной квантовой механики
Чтобы описывать системы, в которых нет выделенной переменной времени, требуется формулировка квантовой механики, немного более общая, чем традиционная - или, иначе говоря, квантовая версия релятивистской классической механики, изложенной выше.
Здесь я схематично намечу возможность такой формулировки.
Более подробное обсуждение связанных с ней вопросов дано в (других работах).
Квантовая теория может быть определена через следующие понятия:
1. Кинематические состояния
Кинематические состояния образуют пространство S, входящее в усиленное (rigged) гильбертово пространство:
2. Частичные наблюдаемые
Каждое частичное наблюдаемое представляется самосопряжённым оператором в пространстве K. Совместные собственные состояния |s⟩ полного набора коммутирующих частичных наблюдаемых называются квантовыми событиями.
3. Динамика
Динамика определяется самосопряжённым оператором H в пространстве K - это (релятивистский) гамильтониан. Оператор
(предел интегрирования зависит от рассматриваемой системы) - называют проектором (хотя это не всегда строго корректно).
W(s′,s)=⟨s′∣P∣s⟩(6)W(s′,s)=⟨s′∣P∣s⟩(6)
называются амплитудами перехода.
4. Вероятность
Пусть спектр дискретен (для простоты). Тогда вероятность квантового события s′ при условии события s равна:
Ps′s=∣W(s′,s)∣2,(7)Ps′s=∣W(s′,s)∣2,(7)
где состояния |s⟩ нормированы по условию ⟨s∣P∣s⟩=1.⟨s∣P∣s⟩=1.
5. Состояния
Физическое состояние определяется как решение уравнения Уилера - ДеВитта:
Эквивалентно, оно является элементом гильбертова пространства H, определённого через квадратичную форму ⟨⋅∣P∣⋅⟩⟨⋅∣P∣⋅⟩ на S.
6. Полные наблюдаемые
Полное наблюдаемое A представляется самосопряжённым оператором в H. Самосопряжённый оператор A в K определяет полное наблюдаемое, если:
То есть он коммутирует с гамильтонианом.
7. Проекция
Если наблюдаемая A принимает значения в спектральном интервале I, то состояние ψ становится состоянием P_I ψ, где P_I - спектральный проектор на этот интервал.
Если обнаружено событие, соответствующее достаточно малой области R,
то состояние системы становится |R⟩.
Таким образом, релятивистская квантовая система определяется:
- усиленным гильбертовым пространством K кинематических состояний, и
- набором частичных наблюдаемых Aᵢ, включая релятивистский гамильтониан H.
Альтернативно, систему можно определить, просто задав проектор P.
Эта структура всё ещё предварительная и, возможно, неполная. Некоторые её аспекты требуют дальнейшего прояснения - например, корректное описание повторных измерений.
С другой стороны, обычная структура квантовой механики явно физически неполна в свете общей теории относительности. Приведённая выше схема - попытка сделать её совместимой с релятивистскими принципами.
A. Квантование и классический предел
Пусть дано классическое релятивистское описание системы, определённое конфигурационным пространством C с координатами qₐ и релятивистским гамильтонианом H(qₐ, pₐ). Тогда решение задачи квантования можно получить, положив: qa→операторы умножения,pa=−iℏ∂∂qa,H=H(qa,−iℏ∂∂qa),qapaH→операторы умножения,=−iℏ∂qa∂,=H(qa,−iℏ∂qa∂), на гильбертовом пространстве K=L2[C,dqa],K=L2[C,dqa], или, точнее, в тройке Гельфанда, определяемой пространством C и мерой dqₐ.
Вся физика системы выражается через амплитуды перехода:
W(q′,q)=⟨q′∣P∣q⟩,(10)W(q′,q)=⟨q′∣P∣q⟩,(10)
где |q⟩ - собственные состояния операторов умножения qₐ. В пределе ℏ → 0 уравнение Уилера - ДеВиттапереходит в релятивистское уравнение Гамильтона - Якоби.
Пример: квантованный маятник
Пример релятивистского формализма даёт квантование маятника, описанного ранее. Кинематическое пространство состояний:
Частичные наблюдаемые - операторы умножения α и β, действующие на функции ψ(α, β) ∈ K. Динамика задаётся оператором H, данным в (др. работе).
Уравнение Уилера - ДеВитта здесь превращается в уравнение Шрёдингера,
а пространство H - множество решений этого уравнения.
определяет скалярное произведение в H.
Его матричные элементы: W(α′,t′;α,t)W(α′,t′;α,t) между совместными собственными состояниями α и t задаются пропагатором осциллятора
и содержат все предсказания теории. Из-за специфической формы H они определяют плотность вероятности по α, но не по β.
Этот пример, конечно, тривиален - система допускает и обычное гамильтоново квантование. Однако суть в том, что представленный выше формализм остаётся работоспособным и для общерелятивистских систем, которые не допускают стандартного гамильтонова квантования, поскольку в них нет выделенной переменной времени.
VI. Восстановление времени
Если формулируем фундаментальную теорию природы в безвременных терминах, то перед нами встаёт задача восстановить привычное понятие времени. Эта задача имеет два аспекта.
1. Эффективное появление времени в приближении
Первый аспект - проверка, допускает ли общая теория режим или приближение, в котором релятивистский гамильтониан H можно аппроксимировать гамильтонианом вида для некоторого частичного наблюдаемого t.
Если такое приближение возможно, то система в этом режиме описывается как стандартная нерелятивистская, и переменная t естественно отождествляется с обычным временем.
2. Время как термодинамическое явление
Второй аспект гораздо более тонкий. Время, каким его переживаем, обладает рядом особых свойств: оно "течёт", мы не можем "вернуться назад", мы помним прошлое, но не будущее и т.д.
Откуда происходят эти уникальные свойства переменной времени?
Полагаю, что они не механического происхождения. Они возникают на термодинамическом уровне - точнее, это свойства, возникающие при статистическом описании систем с большим числом степеней свободы.
Наше неполное знание о системе выражается в виде статистического состояния ρ. Это нормированная неотрицательная функция на релятивистском фазовом пространстве Γ: ρ:Γ→R+,∫Γds ρ(s)=1.(11–12)ρ:Γ→R+,∫Γdsρ(s)=1.
Значение ρ(s) - предполагаемая плотность вероятности для состояния s в Γ.
Тогда математическое ожидание любой наблюдаемой A : Γ → ℝ в состоянии ρ равно:
ρ[A]=∫Γds A(s) ρ(s).(13)ρ[A]=∫ΓdsA(s)ρ(s).(13)
3. Время в статистической механике
Основной постулат статистической механики утверждает, что система, предоставленная сама себе, в состоянии термодинамического равновесия описывается распределением Гиббса:
ρ0(s)=Ne−βH0(s),(14)ρ0(s)=Ne−βH0(s),(14)
где β = 1/T - обратная температура, а H₀ - нерелятивистский гамильтониан.
Классическая термодинамика следует из этого постулата. Эволюция определяется потоком Гамильтона s(t), индуцированным H₀, а корреляция между наблюдаемыми A и B имеет вид: WAB(t)=ρ0[αt(A)B]=∫Σds A(s(t))B(s) e−βH0(s).(15)WAB(t)=ρ0[αt(A)B]=∫ΣdsA(s(t))B(s)e−βH0(s).
4. Почему статистика выделяет время?
Я утверждал, что в механике нет выделенной переменной времени,
поскольку все переменные равноправны и предсказания можно получить, используя релятивистский гамильтониан H.
Это верно и для статистики - но только частично.
Равенства (выше) справедливы и в релятивистском контексте,
однако (некоторые из них) зависят от H₀ и тем самым выделяют переменную t. То есть: чисто механическими измерениями нельзя определить, что есть время,
но термодинамическими - можно.
Действительно, если определим распределение микросостояний ρ₀,
то гамильтониан H₀ выражается через него как:
H0=−1βlnρ0+const.(16)H0=−β1lnρ0+const.
Это означает, что в статистике существует операциональная процедура
для определения, какая переменная является временем:
- измеряем ρ₀,
- вычисляем H₀ по (16),
- находим гамильтонов поток s(t) на Σ, и параметр t этого потока - время.
Множитель перед H₀ просто задаёт единицу измерения времени. Так мы можем "восстановить" время из статистического состояния, в отличие от чисто механического контекста, где это невозможно.
5. Тепловое время и гипотеза теплового времени
Теперь рассмотрим действительно релятивистскую систему, где нет выделенного наблюдаемого времени. Пусть система описывается некоторым статистическим состоянием ρ. Определим:
Пусть s(tₚ) - гамильтонов поток, порождаемый Hₚ. Назовём tₚ тепловым временем, а любой прибор, показания которого растут линейно с этим потоком, - тепловыми часами.
Для наблюдаемой A введём семейство A_{tₚ}(s) = A(tₚ(s)). Тогда корреляция между A_{tₚ} и B выражается как: WAB(tρ)=∫Σds A(tρ(s))B(s)e−Hρ(s).(18)WAB(tρ)=∫ΣdsA(tρ(s))B(s)e−Hρ(s).
Между этой формулой и (14–15) нет физической разницы: всегда существует переменная tₚ, измеряемая "тепловыми часами", относительно которой система находится в равновесии - точно как в обычной статистике.
Гипотеза теплового времени
В природе нет выделенной физической переменной времени t. Нет привилегированных равновесных состояний ρ₀. Все переменные эквивалентны. Если система находится в состоянии ρ, то само состояние ρ выделяет предпочтительную переменную, и именно её мы называем временем.
Иными словами, именно статистическое состояние определяет, какая переменная выступает в роли физического времени, а не некий "поток", задаваемый априори.
Когда говорим, что "эта переменная - время", не утверждаем ничего о фундаментальной механической структуре реальности, (но) описываем способ статистического описания макроскопических свойств системы.
"Тепловое время" - то, что называем временем в терминах термодинамического состояния, в котором находится мир, когда описываем его с помощью выбранных макроскопических параметров.
Иными словами, время - выражение нашего незнания полного микросостояния.
6. Примеры и расширение в квантовую теорию
Гипотеза теплового времени хорошо работает во многих случаях. Например, если рассмотреть космологическую модель, заполненную излучением и не имеющую выделенной временной переменной, и взять статистическое состояние, соответствующее фоновому космическому излучению, то тепловое время этого состояния совпадает с временем Фридмана.
Эта гипотеза естественно переносится и в квантовый контекст, а особенно - в квантовую теорию поля (QFT), где она приводит к абстрактному, зависящему от состояния, понятию потока времени.
7. Квантовый поток времени и состояния KMS
В квантовой механике поток времени задаётся как:
At=αt(A)=eitH0Ae−itH0.(19)At=αt(A)=eitH0Ae−itH0.
Статистическое состояние описывается плотностной матрицей ρ, которая определяет ожидание любой наблюдаемой:
Для распределения Гиббса имеем ту же связь, что и в (уравнении выше):
Тогда корреляции записываются как: WAB(t)=ρ[αt(A)B]=Tr[eitH0Ae−itH0Be−βH0].(22)WAB(t)=ρ[αt(A)B]=Tr[eitH0Ae−itH0Be−βH0].
Из этого немедленно следует соотношение:
ρ0[αt(A)B]=ρ0[αt−iβ(B)A],(23)ρ0[αt(A)B]=ρ0[αt−iβ(B)A],
WAB(t)=WBA(−t−iβ).(24)WAB(t)=WBA(−t−iβ).
Состояние ρ₀, удовлетворяющее (формуле выше), называется KMS-состоянием (Kubo–Martin–Schwinger) относительно потока αₜ.
8. Обобщение гипотезы теплового времени
Для произвольного состояния ρ определим тепловой гамильтониан:
а поток теплового времени - как:
Atρ=αtρ(A)=eitρHρAe−itρHρ.(26)Atρ=αtρ(A)=eitρHρAe−itρHρ.
Тогда ρ является KMS-состоянием относительно собственного потока теплового времени.
В квантовой теории поля (QFT) состояния при конечной температуре не принадлежат тому же гильбертовому пространству, что и состояния при нулевой температуре, и оператор H₀ становится там расходящимся, так что (уравнение выше) теряет смысл. [Прим. Menaskop: все пояснения по уравнениям и их нумерации - см. в оригинале].
Тем не менее, состояние Гиббса можно по-прежнему охарактеризовать соотношением (выше): любое такое состояние является KMS-состоянием относительно потока αₜ.
Известная теорема Томиты утверждает, что для любого состояния ρ над алгеброй фон Неймана всегда существует поток αₜ (называемый потоком Томиты данного состояния), удовлетворяющий (уравнению выше).
Это позволяет распространить уравнения ... на квантовую теорию поля:
поток теплового времени αₜₚ определяется как поток Томиты статистического состояния ρ...
Следовательно, гипотеза теплового времени естественно продолжается на QFT:
то, что называем "потоком времени", - поток Томиты состояния ρ, в котором находится мир, если описывать его через выбранные макроскопические параметры.
VII. Заключение
Я изложил несколько ключевых идей и результатов:
- Классическая механика может быть сформулирована так, что переменная времени рассматривается на равных основаниях с другими физическими переменными, а не выделяется как независимая. Это - естественный язык для описания общерелятивистских систем.
- Квантовая механика может быть построена аналогично, и, по моему мнению, это - наиболее подходящая форма для квантовой гравитации.
- Особенности времени имеют термодинамическое происхождение
и описываются гипотезой теплового времени. В контексте квантовой теории поля "время" - поток Томиты состояния ρ, в котором находится мир, рассматриваемый через макропараметры нашего описания. - Чтобы построить квантовую теорию гравитации, наиболее эффективная стратегия - полностью отказаться от понятия времени и формулировать теорию, способную предсказывать корреляции между частичными наблюдаемыми.
Разумеется, изложенная точка зрения не оригинальна: она опирается на идеи многих исследователей - Брайса ДеВитта, Джона Уилера, Криса Айшема, Абхая Аштекара, Хорхе Пуллина, Родольфо Гамбини, Дона Маролфа, Дона Пейджа, Бьянки Диттрих, Джулиана Барбура, Карела Кучара, Уильяма Вуттерса, Жана-Мари Сурио, Ли Смолина, Джона Бейза, Джонатана Халлиуэлла, Джима Хартла, Алена Конна и других.
Моя цель - свести их идеи в целостную картину проблемы времени в квантовой гравитации. В то же время понимаю, что это видение спорное. Многие авторы считают, что понятие времени неустранимо и не может быть исключено из фундаментальной физики. Возможно, они правы.
Но, по моему убеждению, понятие времени кажется нам естественным потому, что укоренено в человеческой интуиции, точно так же, как когда-то казались естественными идеи об абсолютной одновременности, абсолютной скорости или плоской Земле.
Интуиция - плохой советчик для понимания режимов природы, столь далёких от повседневного опыта. Лучший ориентир - эмпирически подтверждённые теории, которые суммируют наше знание о мире. А общая теория относительности решительно ставит под сомнение нашу интуицию о "всемирном течении времени". И считаю, что её урок следует принять всерьёз.
В контексте квантовой теории поля "время" - поток Томиты состояния ρ, в котором находится мир, рассматриваемый через макропараметры нашего описания.
Отлично - это одна из самых глубоких и трудных идей современной физики. Разберём её по смысловым уровням, от простого к точному.
1. Контекст: что такое "состояние ρ"?
В квантовой теории поля (QFT) состояние системы описывается не одной волновой функцией, а плотностной матрицей ρ - это статистическое распределение вероятностей по всем возможным микросостояниям поля.
То есть ρ говорит не что именно происходит, а насколько вероятны разные квантовые конфигурации. Примеры:
- при нуле температуры ρ описывает "вакуум";
- при ненулевой температуре - тепловое равновесие;
- в космологии - фон космического излучения и т.п.
2. Что значит "поток Томиты"?
В математике квантовой теории поля существует теорема Томиты–Такэсаки.
Она утверждает, что: для любого состояния ρ над алгеброй наблюдаемых (то есть для любого мира, описанного статистически) всегда можно построить автоматическую “времеподобную” эволюцию - поток αₜ, который ведёт систему через последовательность состояний, и при этом выполняется квантово-термодинамическое условие (KMS).
- даже если в теории нет внешней переменной "время",
- само состояние ρ "внутренне" определяет, что будет считаться временем.
Этот математический поток αₜ называется потоком Томиты (Tomita flow).
3. Перевод идеи на язык интуиции
Автор (это Карло Ровелли) говорит следующее: "Мы привыкли думать, что время - некий объективный “поток”, в котором живёт мир. Но в фундаментальной физике (в общей и квантовой теории поля) такого потока нет. Вместо этого - есть состояние мира, и само оно “определяет”, что будет восприниматься как течение времени".
- "время" не встроено в физику заранее;
- оно появляется из состояния - из статистического распределения материи, энергии, поля.
Такое "время" называют тепловым временем, а его математическое воплощение - потоком Томиты.
4. Пример: простая аналогия
Представьте огромную систему - например, газ в комнате. Микроскопически всё хаотично, но макроскопически у газа есть температура. Температура - не фундаментальная переменная, а описание нашего незнания микросостояний. Точно так же - и время.
Когда система находится в состоянии ρ (скажем, равновесие), можно определить внутреннюю "стрелу времени" как параметр, с которым изменяются статистические корреляции в этом состоянии. Этот параметр и есть поток Томиты, "тепловое время" tₚ.
5. Смысл фразы об отсутствии времени
"В контексте квантовой теории поля „время“ - поток Томиты состояния ρ,
в котором находится мир, рассматриваемый через макропараметры нашего описания".
Можно переформулировать это так: когда описываем Вселенную статистически (через плотность ρ), то "течение времени" не является внешней координатой - оно внутренне порождается самой структурой состояния ρ. Этот внутренний поток изменений и есть то, что воспринимаем как время.