Как математика влияет на внеземную красоту фильмов

Сложно найти какое-либо произведение, способное оспаривать превосходство Доктора Стрэнджа в мире спецэффектов. Фантастический врач, ставший колдуном, вынужден противостоять злодеям, желающих уничтожить реальность. Дабы главному герою не было совсем просто, они еще и обладают необычными способностями.

“У плохих парней в фильме есть сила, позволяющая менять окружающий мир”, - объясняет Алексис Вайсброт. Он — кинорежиссер, живет в Париже, во Франции. Однако для Доктора Стрэнджа Вайсброт вместо этого служил художником визуальных эффектов.

Плохие парни заставляют обычные предметы летать и менять форму, что позволяет зрителю лицезреть красочные спецэффекты. Городские кварталы и улицы появляются и исчезают вокруг сражающихся волшебников. Противники сталкиваются в так называемом “зеркальном измерении” — месте, где законы природы неприменимы. Забудьте о гравитации: небоскребы крутятся, а затем раскалываются. Волны разбегаются по стенам, сбивая людей с ног. Иногда кажется, что сразу появляется несколько копий всего города, но в разных размерах. А иногда они перевернуты или накладываются друг на друга.

Выход иного, извилистого мира из Доктора Стрэнджа на большой экран требовал времени, усилий и множество компьютеров. Вайсброту также требовался геометрический узор, называемый множеством Мандельброта (Mandelbrot at). Это тип формы, известный как фрактал. Он состоит из кривых и узоров, но эти кривые и узоры имеют свои собственные кривые и узоры. Закономерности внутри закономерностей. Такое случается и в природе: увеличьте масштаб зубчатой вершины горы, и вы найдете меньшие зубчатые пики внутри пиков.

Люди, работающие над спецэффектами для Доктора Стрэнджа, хотели использовать фракталы, говорит Вайсброт, сотрудничающий с компанией Framestore. Когда персонажи пытаются сориентироваться в причудливых изменениях иной реальности, сцены увеличивают или уменьшают масштаб здания, стены или пола. Цель создателей фильма состояла в том, чтобы применить математику при создании эффектов, которые люди никогда ранее не видели в кино. Чтобы получить подобный тип новизны, говорит Вайсбро, им и понадобились фракталы, и из всех фракталов, с которыми они работали, они нашли особое вдохновение в конкретном типе — множестве Мандельброта.

“Множество Мандельброта,” говорит Вайсброт, “был вишенкой на торте.”

Монстры, бесконечности и снежинки

Множество Мандельброта названо в честь Бенуа Б. Мандельброта. Он был математиком польского происхождения, который изучал математику в Париже, Франция. Большую часть своей жизни он провел в Соединенных Штатах, работая в компании IBM. Ушел из жизни в 2010 году. Мандельброт наиболее известен своими исследованиями фракталов — в 1975 году он даже изобрел термин данный термин.

Тем не менее, эти формы изобрел не он. Например, в 1904 году шведский математик Нильс Фабиан Хельге фон Кох (John KOCH) открыл один из самых известных фракталов в истории.

Фрактал фон Коха немного легче понять, чем множество Мандельброта. Вот его рецепт: начните с равностороннего треугольника — тот, где каждая сторона имеет одинаковую длину. Затем удалите среднюю треть каждой стороны. Теперь постройте равносторонний треугольник в каждом из тех мест, где вы удалили линию. Продолжайте идти: везде, где вы найдете отрезок линии, удалите среднюю треть и постройте там равносторонний треугольник.

Эта фигура известна как снежинка фон Коха. Математики иногда называют их математическими “монстрами”, потому что формы не следуют простым правилам. Например: если вы будете продолжать процесс фон Коха вечно, вы получите бесконечно длинную линию. Снежинка фон Коха — это фрактал. Если вы увеличите какую-либо его часть, то найдете тот же самый узор треугольников из треугольниках из треугольников...

Природа действительно груба

Геометрия включает в себя линии и круги. Мандельброт утверждал, что эти понятия не описывают грубость природного мира. Многие объекты в природе, включая горы, облака и береговые линии, издалека выглядят так же, как и вблизи. Чтобы лучше изучить подобные неправильные формы, он обратился к идее измерения. (можете прочитать нашу более раннюю статью о фракталах, где данный вопрос описан более подробно)

Линия имеет одно измерение. Плоскость, как и лист бумаги, имеет два измерения. В коробке их три. Однако идея Мандельброта заключалась в том, что грубые, естественные формы, такие как береговые линии или облака, имеют размерность где-то между двумя целыми числами. Он сказал, что они имеют дробное измерение, что вдохновило его на создание термина фрактал.

Работа Мандельброта дала начало целой области математики, начиная с 1970-х и 1980-х годов. Художникам это дало новые способы воспроизведения пейзажей. Мандельброт показал, что математика может быть использована для создания реалистичной картины гор, воды, облаков или других вещей в природе. Уравнения, образующие фракталы, вскоре стали инструментами художников.

“Многие люди могут даже не осознавать, что они смотрят на фрактальный дизайн, который был создан с помощью математики”, - говорит Хэл Тенни, художник из Нью-Джерси. “С помощью различных компьютерных программ, которые мы имеем сейчас, мы можем создавать практически фотореалистичные фрактальные изображения, настолько отличные от того, что мы привыкли видеть”.

Набор Мандельброта растет... и выходит

Множество Мандельброта вполне можно назвать самым известным фракталом из всех. Подобно снежинке фон Коха, множество Мандельброта следует математическому сценарию, который говорит вам повторять одни и те же шаги снова и снова. Математики называют это итеративным процессом.

Основной рецепт набора Мандельброта включает в себя только умножение и сложение. Это делается снова и снова, снова и снова. “Это удивительная вещь, которая исходит из такого простого правила”, - говорит Сара Кох, математик, работающий в Мичиганском университете в Энн-Арборе, являющийся экспертом в области комплексной динамики.

Математики до сих пор не знают всего о конечном внешнем крае множества Мандельброта. Это не аккуратная линия или кривая. Он настолько извилист, что чем дальше вы приближаетесь, тем больше поворотов вы обнаруживаете. Есть и другие фигуры, притаившиеся у края.

“Если вы возьмете множество Мандельброта и увеличите масштаб в любом месте вокруг границы, вы найдете детское множество Мандельброта, который находится близко к тому месту, где вы увеличиваете масштаб”, - говорит Кох. “В множестве Мандельброта есть маленькие копии самого себя”

Одна из самых удивительных вещей заключается в том, что он всплывает даже тогда, когда люди его не ищут. Математики создают графики, которые не должны иметь ничего общего с фракталом, но когда они увеличивают изображение, то обнаруживают крошечные копии набора Мандельброта.

“Математики теперь начинать признавать множество Мандельброта чем-то базовым, вроде химического элемента. Это строительный блок других форм, один из фундаментальных объектов в данной области”.

Возможно, именно поэтому оно так неотразимо не только для математиков, но и для программистов. Когда компьютеры стали более популярными в 1980-х и 1990-х годах, люди начали писать код, рисующий фракталы на мониторе.

Вскоре они начали задаваться вопросом: как будет выглядеть трехмерная версия множества Мандельброта?

Многие программисты уже разработали на его основе умопомрачительные пространства. Один из них — Тенни, который говорит, что “работает над фракталами ежедневно”, включая их в свое искусство.

Его цифровые изображения выглядят как причудливые миры, которые одновременно знакомы и невероятны. Они настолько убедительно чужеродны, что несколько лет назад он получил приглашение от людей, работающих над новым фильмом об инопланетянах.

От ‘Мандельбульба’ до кинозвезды

Создатели фильма "Хранители" попросили Тенни прислать свои идеи о том, как могут выглядеть экзотические, далекие планеты. Часть фильма 2017 года происходит на планете, населенной Эго, тщеславным и могущественным существом с серьезными видами на вселенную. Именно там Тенни воплотил свои идеи.

“Части моих изображений были отобраны и скомпонованы вместе другими художниками”, - говорит он. Там, на заднем плане, он увидел мелькающие огоньки.

Что такое Мандельбульба?

Еще в 2007 году математик Руди Ракер начал писать уравнения, ориентированные на создание трехмерного множества Мандельброта, будучи еще и писателем-фантастом. Его работа вдохновила других программистов на работу над проектом. Один из них, Дэниел Уайт, дал проекту название: Мандельбульба.

Пол Найландер был еще одним из таких программистов. Сегодняшний инженер-механик в Лос-Анджелесе, Калифорния, он впервые узнал о множестве Мандельброта в 2001 году. В то время он учился в университете. “Я спросил профессоров на математическом факультете, что они об этом знают”, - вспоминает он. После долгих проб и ошибок ему удалось написать собственную компьютерную программу Мандельброта. “Я наконец-то понял, как это сделать”.

Восемь лет спустя он нашел в интернете дискуссию о создании трехмерных фракталов. Он нашел данные о работе Рукера и других программистов. Через 10 дней он создал изображение 3D-набора Мандельброта, которое ему понравилось. Он разместил пузырь изображения Mandelbulb в онлайн группе. С тех пор Мандельбульба зажила своей собственной жизнью.

Увидев продолжение “Стражей галактики" 2017 года, Тенни вспоминает, как ему сказали, что некоторые из его проектов оказались ключевыми при выборе внешнего вида Дворца Эго.

Найландер говорит, что видел много недавних фильмов, черпающих вдохновение для спецэффектов из Мандельбульбы. В конце анимационного фильма 2014 года, "Город героев", главный герой пытается спасти своего робота из странного потустороннего мира, наполненного плавающими, похожими на Мандельбульбы фигурами. В научно-фантастическом фильме 2018 года "Аннигиляция" полупрозрачная желеобразная стена струится Мандельбульбами. Инопланетянин в этом фильме тоже, кажется, сделан из той же формы.

За пределами Mandelbulb

И еще, конечно, есть Доктор Стрэндж. “Мы очень любим фракталы", - говорит Вайсбро. “Довольно рано мы осознали, что хотим использовать Мандельброта.”

Но они не воспользовались Мандельбульбой. Вместо этого они испытали форму, называемую Мандельбоксом. Это куб, который выглядит так, как будто он выгравирован или вырезан в Мандельбротовских узорах. Команда Доктора Стрэнджа в конечном итоге использовала похожую форму, названную Мандельшпонгом, который также является фракталом. Чтобы управлять фракталом — и создавать иллюзию миров внутри миров — создателям фильма пришлось использовать мощные компьютерные программы.

Вайсброт также работал над фрактальными изображениями для сиквела Стражей Галактики. Совсем недавно его команда использовала подобные формы при моделировании подводных кораллов в 2018 году на съемках Возвращения Мэри Поппинс. Они также создали программу виртуальной реальности под названием CORAL, основанную на фрактальных паттернах.

“ CORAL направлена на самостоятельное открытие и исследование, предоставляя пользователю бесконечное пространство для изучения красот математики”, - говорит Вайсброт. “Хороший художник визуальных эффектов должен быть непредубежденным и любопытным к миру, в котором он живет. А во фракталах столь много интересного”.