Answers
1. Момент інерції — скалярна величина, що є мірою інертності для обертального руху аналогічно до маси для поступального.
2.
3. Період коливань крутильного маятника визначається з формули
(1)
де J - момент інерції маятника.
Для визначення J за формулою (1), крім виміряного Т, необхідно знати модуль кручення дроту f. Це ускладнення можна обійти, навантажуючи крутильний маятник тілами правильної геометричної форми, момент інерції яких легко обчислити. У даній роботі - це 8 металевих дисків, сумарна маса яких m
Якщо диски насадити на шпильки а (по два диски на кожну шпильку), то період коливання одержаної системи
(2)
де J1 — сумарний момент інерції дисків відносно осі обертання маятника.
Якщо ж диски насадити на шпильки b (також по два на кожну шпильку), то період коливання системи
(3)
де J2- сумарний момент інерції дисків відносно осі обертання маятника в новому положенні дисків.
З (2) і (3) в результаті нескладних перетворень одержимо:
(4)
Для визначення і J1, , J2 використаємо теорему Штeйнера, згідно з якою:
(5)
де J0 - сумарний момент інерції всіх дисків відносно осі, що проходить через їх геометричний центр паралельно до осі обертання.
Підставивши J1, J2 з (5) в (4), одержимо:
(6)
Якщо сумарна маса дисків m, а діаметр диска D, то J0 визначиться як:
(7)
Отже:
4:
5: Знак мінус показує, що момент сили, М протидіє повороту диска. Якщо диск відпустити, то під дією моменту М, диск набуде кутового прискорення
, (11.2)
де І – момент інерції. Отже, рівняння руху диска набере вигляду
. (11.3)
Відомо, що
. (11.4)
Підставивши в (11.3) вирази (11.2) і (11.4) одержимо рівняння
. (11.5)
Поділимо рівняння на І, перенесемо всі члени у ліву частину і введемо позначення
. (11.6)
Тепер рівняння руху набере вигляду
. (11.7)
Рівняння (11.7) - це диференціальне рівняння гармонійного коливання. Тобто, наш диск буде здійснювати крутильні коливання з круговою частотою
. (11.8)
Відповідно період коливань
. (11.9)
Якщо на диск покласти тіло будь-якої форми, але так, щоб центр мас тіла лежав на одній вертикалі з центром мас диска, то період крутильних коливань змінюється, тобто
, (11.10)
де І0 —момент інерції покладеного тіла. Розв'язавши систему рівнянь (11.9) і (11.10), знайдемо І0:
. (11.11)
Момент інерції диска І знайдемо, використавши формулу
. (11.12)
Масу диска обчислимо як добуток густини ρ на об'єм диска
, (11.13)
де R — радіус диска, h — його товщина. Одержимо формулу:
. (11.14)
Період коливань визначається як
, де
n
— кількість коливань за час
t
. Для диска безпосередньо вимірюється його діаметр. Якщо кількість коливань,
n
для навантаженого і не навантаженого маятника буде однакова, то формула (11.14), з врахуванням вищесказаного, набере вигляду
, (11.15)
де D – діаметр диска, t1 – час певної кількості коливань маятника, на якому лежить тіло, t – час такої самої кількості коливань не навантаженого крутильного маятника, ρ – густина матеріалу диска, h – товщина диска.