Как читать Principia Mathematica?
Principia Mathematica Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела — монументальный логический и философский труд, содержащий строгий(если не строжайший) вывод основ математики с использованием принципов математический логики и некоторых метаматематических предпосылок. В первых трёх томах обосновываются и конструируются фундаментальные математические концепции: множества, кардиналы, порядок, целые, рациональные и вещественные числа, непрерывные функции и элементарная арифметика. Четвёртый том должен был быть посвящён геометрии, но так и не вышел в свет из-за внутренних распрей.
Однако, несмотря на то, что авторы выстраивают всю математику из самых "базовых" и "примитивных" принципов, современный читатель сталкивается с непреодолимыми затруднениями в попытках разобрать простыню формул, выпадающую на него с первых страниц.
У этой беды есть две немаловажные причины: сам по себе предмет весьма сложный и тяжеловесный, требующий усидчивости и внимательности к мельчайшей детали, а также нотация, система обозначений, используемая в PM попросту устарела и полна анахронизмов, не встречающихся на пути новоявленных математиков.
В этой статьей я постараюсь, насколько мне хватит энтузиазма, перевести язык PM на язык современной математики и тем самым сделать Основы математики ближе к самой что ни на есть математике в её известном всем нам виде. Стоит с прискорбием признать, что из-за теорем Гёделя о неполноте проект Рассела и Уайтхеда потерпел крах. В настоящее время три тома PM представляют собой любопытный музейный экспонат в копилке неудавшихся научных проектов.
Символы математической логики
⊢
Знак утверждения; предшествует утверждению, будь то аксиома (то есть примитивное суждение, которое также обозначается как Pp) или теорема.
Df
Знак определения; следует за определением. Эквивалентно современному :=
, :, :., ::
Точки используются для обозначения пунктуации. В современной логике мы используем ( ), [ ], { }, и пр.
Однако смысл точек в PM контекстуально зависим.
Использование точек. Точки на линии, соединяющей символы, имеют два значения: первое — для обозначения пропозиций, второе — для обозначения логического произведения двух пропозиций. Точки, стоящие непосредственно перед символом ∨” или “⊃” или “≡” или “⊢”, или “(x)”, “(x,y)”, “(x,y,z)” … или “(∃x)”, “(∃x,y)”, “(∃x,y,z)” … или “[(ιx)(ϕx)]” или “[R‘y]” или аналогичные выражения служат для выделения пропозиции; точки, стоящие в других местах, обозначают логическое произведение. Общий принцип заключается в том, что большее количество точек указывает на внешнюю скобку, а меньшее — на внутреннюю. Точное правило определения области действия скобки, обозначенной точками, заключается в разделении точек на три группы, которые мы назовем I, II и III. Группа I состоит из точек, стоящих рядом со знаком импликации (⊃) или эквивалентность (≡) или дизъюнкция (∨) или о равенстве по определению (=Df)Группа II состоит из точек, следующих за скобками, обозначающими видимую переменную, например (x) или (x,y) или (∃x) или (∃x,y) или [(ιx)(ϕx)] или аналогичные выражения. Группа III состоит из точек, которые ставятся между суждениями для обозначения логического произведения. Группа I имеет большую силу, чем группа II, а группа II — большую силу, чем группа III. Область действия скобки, обозначенной любым набором точек, распространяется в обе стороны от любого меньшего количества точек или любого равного количества точек из группы с меньшей силой до тех пор, пока мы не дойдем либо до конца утверждаемого суждения, либо до большего количества точек, либо до равного количества точек из группы с равной или большей силой. Точки, обозначающие логическое произведение, имеют область действия, которая распространяется как в прямом, так и в обратном направлении; другие точки действуют только в направлении от соседнего знака дизъюнкции, импликации или эквивалентности или в направлении к соседнему символу одного из других видов, перечисленных в группе II. Несколько примеров помогут проиллюстрировать использование точек. (PM, 9–10)
p,q,r, и т.д.
Это пропозициональные переменные. Они встречаются почти исключительно в качестве свободных переменных.
∨, ⊃, ∼, ≡ и . , :, :.
Это знакомые всем пропозициональные связки, соответствующие «или», «если, то», «не», «тогда и только тогда» и «и» соответственно.
xRy,aRb,R(x)
атомарные суждения, в которых объекты, обозначенные переменными или константами, находятся в отношении R или обладают свойством R. Утверждения R(x),R(x,y), и т.д., используются во втором издании для обозначения универсалий(неких общих свойств), которые являются составляющими атомарных фактов.
ϕ, ψ, χ, f, g и т.д
Это переменные высшего порядка, которые варьируются в зависимости от пропозициональных функций, независимо от того, простые они или сложные.
ϕx, ψx, ϕ(x,y), и т.д.
Открытые формулы, в которых х и ϕ свободные.
∃ и ( )
Это кванторы «существует» и «для всех» («каждого») соответственно. В современной математике используют, как вы знаете, ∀.
ι
Оператор описания и используется в выражениях для точного описания, таких как (ιx)ϕx (читается как x такое, что ϕx).
E!
E!(ιx)ϕxозначает, что описание (ιx)ϕx является собственным, то есть существует одно и только одно ϕ.
∃!
∃!αозначает, что класс α является непустым, то есть содержит хотя бы один элемент.
Несколько простейших примеров
⊢ : p ∨ p . ⊃ . p Pp
⊢ — указывает, что это не определение, а утверждение(аксиома или теорема).
Теперь смотрим на двоеточие. Большее количество точек указывает на внешнюю скобку, а меньшее на внутреннюю.
Итак, ⊢ [p ∨ p . ⊃ . p]
Далее точки вокруг ⊃ — это ещё одни скобки.
Получаем: ⊢ [(p ∨ p) ⊃ (p)]
И наконец избавившись от лишних скобок: ⊢ (p ∨ p) ⊃ p.
∼{(x).ϕx}. = .(∃x).∼ϕx Df
Вспоминаем, что "Точки работают только в направлении от соседнего знака дизъюнкции, импликации или эквивалентности или в направлении к соседнему символу одного из других видов, перечисленных в группе II» (где группа II включает «(∃x)”).
Получаем,
∼∀xϕx := ∃x∼ϕx
Заметьте, что приоритет операций в PM несколько отличается от привычного:
⊃, ≡, ∨, =,
(x), (x,y)…(∃x),(∃x,y)…[(ιx)ϕx] p.q, ∼
.(x).ϕx ⊃ ψx Df
Аналогично заменяем точки на скобки и добавляет известный нам знак квантора:
∀x(ϕx ⊃ ψx)
⊢::(∃x).ϕx.⊃.q:⊃:.(∃x).ϕx.∨.r:⊃.q∨r
Ну, и оставлю вам в качестве упражнения перевести эту формулу на более понятные рельсы).
Должно получиться: [(∃xϕx)⊃q]⊃[((∃xϕx)∨r)⊃(q∨r)]
Иные символы PM
(α является подмножеством β)
x∈α.⊃x.x∈β
α⊆β
α∩β
(точка пересечения α и β)
^x(x∈α.x∈β)
α∩β
α∪β
(объединение α и β)
x(x∈α∨x∈β)
α∪β
−α
(дополнение к α)
^x(x∼∈α) [то есть ^x∼(x∈α)]
{x∣x∉α}
α − β
(α минус β)
α ∩ −β
{x∣x∈α&x∉β}
R ⊂ ⋅S
(R является подмножеством S)
xRy.⊃x,y.xSy
∀x∀y(xRy⊃xSy)
R˙∩ S
(пересечение R и интервала и С)
^x^y(xRy.xSy)
{⟨x,y⟩|Rxy&Sxy}
−R
(отрицание R отрицания)
˙−R=^x^y{∼(xRy)}
{⟨x,y⟩|∼Rxy}
V
Универсум
^x(x = x)
V или {x∣x=x}
Λ
Пустой класс
−V
∅
∃!α
(класс α существует)
(∃x).x∈α
∃x(x∈α)
˙∃!R
(отношение R существует)
(∃x,y).xRy
∃x∃yRxy
R‘y
(R из y) (описательная функция)
(ιx)(xRy)
R‘y — это (возможно, неполная) функция, где fR(y)=x если x R y и это x является уникальным, в противном случае его значение не определено.
Cnv
(связь между отношением и его обратным)
^Q^P{xQy.≡x,y.yPx}
{⟨Q,P⟩∣∀x∀y(Qxy≡Pyx)}
˘R
(обратное к R)
^x^z(zRx)
{⟨x,z⟩∣Rzx}
→R‘y
(предыдущие R-версии y)
^x(xRy)
{x∣Rxy}
←R‘x
( R-наследники x)
^z(xRz)
{z∣Rxz}
D‘R
(обратная область определения (область значений) R)
^z{(∃x).xRz}
{z∣∃xRxz} а также R‘R
C‘R
(в поле R)
^x{(∃y):xRy.∨.yRx}
{x∣∃y(Rxy∨Ryx)} а также F‘R
R∣S
(относительный произведение R и С)
^x^z{(∃y).xRy.ySz}
R∘S или {⟨x,z⟩∣∃y(Rxy&Syz)}
α ↿ R
(ограничение области R к α)
^x^y[x∈α.xRy]
{⟨x,y⟩∣x∈α&Rxy}
R↾β
(ограничение диапазона R к β)
^x^y[xRy.y∈β]
{⟨x,y⟩∣Rxy&y∈β}
α↑β
(отношение членов α для членов β)
^x^y[x∈α.y∈β]
{⟨x,y⟩∣x∈α&y∈β}, декартово произведение α и β.
P ↾⇂ α
(это ограничение R к α)
α ↿ P ↾ α
{⟨x,y⟩∣x∈α&y∈α&Rxy}
R‘‘β
(термины, связанные отношением R для членов β)
^x{(∃y).y∈β.xRy}
{x∣∃y(y∈β&Rxy)}
R∈
(соотношение α к β когда α — это класс терминов, в которых есть R для членов β)
^α^β(α=R‘‘β)
{⟨α,β⟩∣x∈α&∃z(y∈z&z∈β&Ryz)}
♀y
(соотношение x♀y к x для любого x)
^u^x(u=x♀y)
{⟨u,x⟩∣u=x♀y}
Причем, ♀ - металингвистическая переменная, которая может быть заменена любым отношением, являющимся операцией над своими аргументами
∣R
(отношение одной степени R к следующему)
^P^S(P=R∣S)
{⟨P,S⟩∣P=R∘S}
α ♀ y
(класс значений x♀y когда x является α)
♀y α
{u∣∃x(x∈α&u=x♀y)}
s‘κ
(сумма κ или объединение κs)
^x{(∃α).α∈κ.x∈α}
∪κ, или {x∣∃β(β∈κ&x∈β)}
˙s‘λ
(сумма отношений в λ)
^x^y{(∃R).R∈λ.xRy}
{⟨x,y⟩∣∃R(R∈λ&Rxy)}
α sm β
(класс отношений подобия между α и β)
{R∣R∈1→1.α=D‘R.β=D‘R}
{f∣f:α1−1⟶β}
α→β
(Отношения с референтами в α и relata в β ) (от α на β)
^R(→R“D‘R⊂α.←R“D‘R⊂β)
{R∣∀x∀y(Rxy⊃[{z∣Rxz}∈α&{u∣Rxu}∈β}]}
Поскольку 1 — это класс одноэлементных классов, (1→1) Это будет класс взаимно однозначных (сюръективных) отношений.
Mult ax
(аксиома умножения)
κϵClsex2excl.⊃κ:(∃μ):αϵκ.⊃α.μ∩αϵ1
∀κ{[∀α(α∈κ⊃α≠∅)& ∀α∀β(α∈κ&β∈κ⊃(α=β∨α∩β=∅))]⊃ ∃μ∀α∃x(α∈κ⊃μ∩α={x})}
α + β
(арифметическая сумма α и β)
↓(Λ∩β)“ι“α∪(Λ∩α)↓“ι“β
Это объединение α и β после того, как они будут разделены попарно, каждый элемент β с помощью {α} и каждый элемент α с {β}. Классы α и β пересекаются с пустым классом Λ, чтобы изменить тип элементов суммы.
{⟨{a},∅⟩∣a∈α}∪{∅,{b}⟩∣b∈β}
μ + c ν
(кардинальная сумма μ и ν)
^ξ{(∃α,β).μ=N0c‘α.ν=N0c‘β.ξsm(α+β)}
Кардинальное сложение — это арифметическая сумма однородных кардиналов:
{γ∣∃α∃β[γ≈(α+β)]}, когда α и β это однородные кардинальные числа.
Отсюда, кстати, понятно, почему 1+1 = 2 потребовало столько страниц для своего доказательства...
μ × cν
(произведение однородных кардинальных чисел)
^ξ{(∃α,β).μ=N0c‘α.ν=N0c‘β.ξsm(α×β)}
Если μ=¯¯α&ν=¯¯β тогда μ×ν={β∣β≈(α×β)}
μ^ν
(возведение в степень натуральных чисел)
^γ{(∃α,β).μ=N0c‘α.ν=N0c‘β.γ см (α exp β)}
{γ∣∃α∃β(μ=¯¯α&ν=¯¯β&γ≈αβ)}
Здесь же формулируется свойство булеана быть мощнее изначального множества: Nc‘Cl‘α=2Nc‘α
Итак, μ>ν:
(больше чем)
(∃α,β).μ=N0c‘α.ν=N0c‘β.∃!Cl‘α∩Nc‘β.∼∃!Cl‘β∩Nc‘α
∃δ(δ∈℘α&δ∈¯¯β)&∼∃γ(γ∈℘β&γ∈¯¯α)
S;Q
(S — это коррелятор Q)
S∣Q∣˘S
S∘Q∘S−1
PsmorQ
(класс сходств между P и Q)
^S{S∈1→1.C‘Q=D‘S.P=S;Q}
{f∣FP1−1⟶FQ&∀x∀y[(x∈Df)⊃Pxy≡Qf(x)f(y)]}
Вот так, например, в PM выглядит Теорема Цермело: μ∼∈1.∃!∈Δ‘Cl ex‘μ.⊃.μϵC“Ω - любое множество может быть вполне упорядоченным.
Prm(относительные простые числа)
^ρ^σ{ρ,σϵNC induct: ρ=ξ×cτ.σ=η×cτ.⊃ξ,η,τ.τ=1}
число относительно простое тогда и только тогда, когда ∀j∀l∀k[(r=j×k&s=l×k)⊃k=1]
Θ
(действительные числа)
(ς‘H)↾⇂(−ι‘Λ−ι‘D‘H)
Ряды действительных чисел, отличных от 0 и бесконечности» (PM III, 316) — это ряды отрезков рациональных чисел, отличных от пустого множества и всего ряда.
Заключеньеце
Прочитав несколько сотен страниц этого не побоюсь сказать гроузбуха, я решительно убеждён: это зубодробительная литература подобна бетону по прочности и беспощадно выжигает ганглии потоком громоздких символических салатов.
Сколь мне хватило сил, сколь мне хватило желания, я составил скажем "словарь", благодаря которому неблагодарное чтение PM станет значительно проще, а со временем вы и сам научитесь переводить этот текст не обращаясь к этой статьей.
Впрочем, я опустил некоторые символы, ибо вместе с ними эта статья сама бы сравнялась по объёму с PM и могла бы претендовать на её место.