Задача о 2002

Источник: 2002 JBMO Shortlist, no. 2

Условие

Все натуральные числа расположили в бесконечной таблице следующим образом:

1  3  6 10 15. . .
2  5  9 14 . . . .
4  8  13 . . . . .
7  12  . . . . . .
11 . . . . . . . .
 . . . . . . . . .

Найдите номер строки и номер столбца числа 2002.

Подсказки

Обратите внимание на первую строчку. Чему равно 5-е число? А 10-е?

Набросок решения

1) Заметим, что числа укладываются по порядку в диагонали "право-вверх (п-в)".

2) Заметим, что концы п-в диагоналей лежат в первой строчке, каждая n-ая п-в диагональ содержит n чисел; отсюда несложно понять, что каждое n-ое число в первой строке равно n(n+1)/2.

3) Нам нужна п-в диагональ, на которой лежит 2002. Её начало должно быть не больше 2002, а конец - не меньше 2002.

(n-1)n/2 + 1 <= 2002 <= n(n+1)/2

Методом подбора поймем, что столбик 62 начинается с 1953, а столбик 63 начинается с 2016. Значит, 2002 лежит на диагонали "п-в" номер 63.

4) Значит, 2002 лежит на 14 столбиков левее и на 14 строк ниже, чем число 2016, т.е. на столбике 49 и строке 15.

Примечание

Утверждение пункта (2) следует доказать более строго. Учитель может сказать "несложно понять", ученик - нет :Р