№13 Стереометрия. Часть 1. Векторный метод.

Есть 2 основных метода решения задач по стереометрии:

геометрический ( обычно требуются дополнительные построения для нахождения искомой величины, могут быть сложности с построением)
координатно—векторный ( с помощью нескольких основных формул и введения xyz плоскости)

Геометрический метод

Обычно его проходят в 10 классе и уделяют ему много времени. В этом методе:

необходим качественный рисунок, для этого надо отличать правильную треугольную пирамиду от тетраэдра и треугольной призмы и другие фигуры, это нужно знать и для решения первой части ЕГЭ.

У тетраэдра все стороны равны, со всех сторон равносторонний треугольник. У правильной пирамиды равны боковые стороны, и в основании квадрат. У правильной призмы в основании равносторонний треугольник, но боковые ребра не равны стороне треугольника.

необходимо знать как найти угол между прямыми, плоскостями, расстояние между точкой и плоскостью и т.д.
Для этого надо понимать как задать вообще плоскость (через три точки, через две пересекающихся прямых, точка и прямая или две параллельные прямые), надо знать свойства и признаки, ну и сами принципы решения.

Данный метод разберем позже, он мне кажется более масштабным и сложным иногда, а тут разберем второй метод и две типовых задачи на ЕГЭ.

Координатно-векторный метод

Начнем с того, что этим методом можно не только решать второй пункт, но и доказывать первый пункт №13.

Вектора проходятся в 8 классе. Они характеризуются координатами точек в трех плоскостях. Поэтому сначала надо задаться нулем и направлением осей, все три оси перпендикулярны друг другу!

Если в основании квадрат, то оси x и у задаются по сторонам квадрата, а если треугольник, то можем провести из вершины высоту треугольника и вдоль нее задать ось у, а вдоль основания ось х.

Для задания координат точек нам необходимо знать стороны (не так важно в буквенном виде или численном) и свойства треугольников и четырехугольников в первую очередь.

Найдем координаты вершин куба и тетраэдра для начала по осям x и y. Для этого посмотрим на фигуру сверху, чтобы увидеть XOY плоскость.

В скобочках написаны точки, которые находятся на "втором уровне", то есть смещены вверх по оси z.

Для квадрата все максимально просто, даже не требуется никаких дополнительных расчетов.

А для треугольника, если заметите, то видно, что точка В находится по оси у на расстоянии ОВ, которое надо рассчитать по теореме Пифагора.

А точка D находится на расстоянии 1/3 высоты ОB, так как D - вершина тетраэдра и находится над точкой пересечения медиан треугольника.

Назовем эту точку D1. Тогда DD1- высота тетраэдра также находится через теорему Пифагора для треугольника ADD1, где AD=2/3 медианы ( по свойству медиан). Получается вот что...

Обычно в условии есть дополнительные точки, которые стоят посередине на стороне или в каком-то отношении делят сторону.

Чтобы найти их координаты можно считать через треугольники, а можно использовать формулы ниже.

Если точка посередине, то можем найти ее координату через координаты соседних точек.

В случае, если точка делит отрезок в каком-то отношении, то можно использовать формулу, но иногда проще просто посчитать вручную координату точки.

5/2- коэффициент. Точка К делит отрезок АВ в отоношении 5:2)

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

1 ТИПОВАЯ ЗАДАЧА.

Для нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми в координатном способе даже не обязательно вырисовывать эти прямые.

Чтобы найти угол нам надо знать три формулы:

координаты вектора
длина вектора
нахождение косинуса угла через скалярное произведение

В качестве примера взяли куб и мы видим, что сказать на глаз не получится чему равен угол между скрещивающимися прямыми.

Координаты вектора вычисляются как разница координат конца и начала.

Если бы мы решали геометрически, то нам необходимо было бы построить плоскость, в которой оба этих отрезка пересекаются и найти треугольник, в котором все стороны можно вычислить, а после использовать теорему косинусов.

Теперь вычислим длины векторов ( формула похожа на теорему Пифагора):

Тоже самое можно было вычислить геометрически через треугольники.

Осталось вычислить произведение и найти угол. Можно сразу всё подставлять в формулу для нахождения косинуса угла.

Скалярное произведение векторов - сумма произведения координат векторов

Косинус угла - отношение скалярного произведения к произведению длин векторов

Если косинус получился отрицательный, то это еще не повод все перечеркивать! Просто вектор взят в другую сторону и найден косинус тупого угла между прямыми. А косинус острого угла будет такой же, только без минуса.

Попробуй самостоятельно найти угол между векторами KD1 и C1A

Можешь написать мне решение и я проверю его https://www.instagram.com/pora_vstavai/

Нахождение расстояния между точкой и плоскостью.

2 ТИПОВАЯ ЗАДАЧА.

Для решения данного задания необходимо знать координаты точек и еще пару формул:

уравнение плоскости
нахождение расстояния между точкой и плоскостью

Плоскость задается по трем точкам, поэтому для нахождения уравнения надо знать минимум три точки с их координатами. Далее задача сводится к составлению системы из трех уравнений. Подробнее смотри ниже.

Уравнение плоскости - Ax+By+Cz+D=0

A,B,C,D - коэффициенты, причём D не ноль, его мы задаем самостоятельно! Подставляем x,y,z трех точек и решаем систему, чтобы найти A,B,C.

Чтобы найти расстояние, например от точки B до плоскости KAC, запишем формулу нахождения расстояния от точки до плоскости.

Подставим все данные и получим...

Попробуй самостоятельно найти расстояние между плоскостью KD1С и точкой А1.

Можешь написать мне решение и я проверю его https://www.instagram.com/pora_vstavai/

Короткий конспект по формулам

В следующей части векторной стереометрии мы разберем нахождение угла между плоскостями и расстояние между точкой и прямой.

Буду рада обратной связи, если статья оказалась полезной!